高中數(shù)學蘇教版選修1課本習題答案掃描版

1、數(shù)學蘇教版選修2-1課本習題答案掃描版代K 弟一早練習（P7）（1）正確正確.（1）逆命題若以 二公則| 口 | = |的.（真） 否命題，若I s IHI勿，則。不整真） 逆否命題：若 。聲乩喇Jn |工|占|.（假）O）逆命即：若，0,則工V。，假否命即：若10+則，（假）逆 否命題：哲/0冽20.（M）練習（P8）.A. L （D #武2） 0M3）M4）手.3.門）充要條件“2）充分不必要條件M3）必要不充分條件*；：一：；，；,一.：CD若兩條直線分別垂直于同一個平面，則這兩條直線平行“冷著兩條直線的斜率相等,剛這兩條直線 平行M3）若一個角為鈍帝，則這個角的余弦值為負數(shù).（1）逆命

2、題若上=1,則/ = 1. f真）否命題若L則f關L （其）逆否命題j若上#3則 儲父1.1假）幻逆命題：若一個四邊形的時角線相等，則這個四邊形為矩形.（假）否命題：若一個四邊形 不是矩形.則這個四邊形的對角線不相等.（假）逆否命題二若一個四邊形的對角線不相等，則這個四邊形一 定不是矩形,（真）d 四邊形為正方形釗四邊形為菱形是討的充分不必要條件.2）外教口為無限小數(shù)應：數(shù)。 為無理數(shù)是4的必要不充分條件,3）加工=卅=%Q式十 丁 cO.p是q的充要條件.（G八口 專3是4的既不充分又不必要條件.（1）充要條件；色）既不充分又不必要條件*13）必要不充分條件武4）充分不必要條件.亂設滿足條件

3、P的元素構成集合啟.滿足條件w的元素組成集合氏若月二H,則P是9的必要條件.例如， pi z 1 工一 1 ,小 H =】/叫 A = * I x1 =Vx- 1= ix|-T ”，有小 n Br所以p是4的必要條件.若為U且An氏即八=B，則p是g的充要條件.例如：*Hl=v=I,如加=1 魂m = 2,則4=1I jc 1 =4工二 = 1|上=1或*=2）*8 = （|工=1或工=2）,有A =氏且A曰0, 即A = B,所以戶是守的充要條件.壕可（P12）L門） /或公函數(shù)人上）=/（上 R）是偶函數(shù)或函數(shù)工三（e6即是單調(diào)遞增函數(shù)”且外函數(shù) ，口）=*（二 IU是偶函數(shù)且函數(shù)八工）=

4、/（工E R）是單調(diào)遞增函數(shù)?非版函數(shù)R）不是 偶函數(shù).（？）或等 3是正數(shù)或3是奇數(shù)g且大 3是正數(shù)且W是奇數(shù)非孰3不是正數(shù),（3）戶或由正方形是 矩形或正方形是菱形2且口正方形是蛆形且正方形是菱形非外正方形不是矩形. BC,所以點A在以B ,C為焦點的橢圓上運動. 這個橢圓的焦點坐標分別為(-3, 0), (3, 0).由AB+BC + AC=16, BC = 6可得AB+AC = 106 = HC.故頂點A在以B,C為焦點，到兩焦 點距離之和等于10的一個橢圓上運動.當時，截線為橢圓；當0工。(6時,截線為雙曲線*當。=&時，截線為掘物線.陽光照射籃球留F影子的外廓，可看成圓柱面被一個平

5、面(地面)斜截所得的用形，它是一個桶圓.如果 將光源換成點光源，影子可看成圓錐面被一個平面截得的圖形，那么它可能是拋物線.此時，光源到地面的距離 等于球的直徑，也就是說截面平行于圜錐的母線.練習(P28)1*條+于=1. 2)4+丁 = 1. 占0),由題意知.25 + A = K/正一解得a* = 10.牙=6,所以,所求橢圓的方程為言+4=1.(4)可設橢圓的標準方程為 .10 6皿工+=i (如為不相等的正數(shù))，則有i -,1解得用=：,不二卷 所求橢圓方程為與十 = l5 = 1.494 gK (一底0),(。九將橢圓方程化為匕+手=1,焦點為(0, - 3), (0, 3).1b 1

6、3.設尸5，%), FNJ 0),其中則 FF 75 +1 +端因為4+ 1=4 一小 y-所以，PFi =+c)2 + / /4=J3H；+2a。+口2 = a +又由 PF + PFZ = 2a,可知PF； = a a習理2.2(1)(P28). (1) (-2/2, 0),(24，0)(2)(0, 3), (0, 3)；(3)一&, 0，(& 0),(4) (0, ), (0, 一/). +y = i；翕+盍=h 易+ = 1；設橢圓的標準方程為= 1(皿打4fn + gn = 1.Z1,為不相等的正數(shù))，則有 0東焦點在y軸上的條件是，2 m0,解得 用-1或iVmV參.2 m j m

7、 I 1.5根據(jù)題意，包一 it+y= jt-l0,gP 19-40,即549.由?=停，2b = 4解得a2 = 9,從=4,所以橢圓方程為/10 - -/5 ,故 6 =。=信.=/6,所求橢圓方程為喧+巴=1.Iv H.設矩形兩鄰邊的長分別為2。,2b.取其一邊AA為工軸,AAZ的垂直平分線為軸.設第m組對應直線AQ與A欠的交點為P（z, y）（如圖所示），則APHsZAQK,所以笈 = /a.等，即 _ = _?_ =巨. 又APHsZVlRA,所以黑 =KAa -X 2a- maAHn26 即 =一廠生=呼. X 消去加，小得7 =即 A A a +x 2a na/4+ = i-這說

8、明這些交點都在同一個橢圓上. a b212.圓的面積為穴1 = mx*如果把橢圓看作是對圓上的點從上向下進行等比例壓縮變換而成，則水平方 向長度不變，豎直方向由“變?yōu)?,故可猜想：橢圓的面積為兀必.：,二練習（P36）.（1）旨一4=1;（2）（一境=h（3）設雙曲線方程為皿= 1 （機 V0）,將M,N點的坐標代入方程，并聯(lián)立方程組，解得m = J, n =一所求的雙曲線方程為一1=1. GO43.雙曲線方程可化為上三丁 = 19 a2 =I,甘=所以c2 = a2 + =即_= 9,4 =一且-卜 卜卜 kk k.；?；L 選 B.習題 2.3（1）（P37）.與一4一 = 1. 44o

9、o.橢圓方程為一2.當VI時，雙曲線的焦點坐標為（一后主，0）, =2； 0）|當42時，焦點坐標為（0, 一儂二？），（0, 723）.雙曲線的焦點（- 10, 0）, （10, 0）,設PG7）,則一三玄=-1,且吉一2=1,解得丁 =禁，x 4-10 x 10o4 36,=舉，所以EPF2的面積為J X BF? X| 4 =得X 20 X空=36.（另解：分別記PF. ,PF2為如明 貝。十/ =400，|m-| = 16.一2得到2w = 144,所以卜；打、2的面積為S = 4的=36.）練習（P41）.實軸長4,虛軸長26,焦點坐標（一，0）, （77, 0）,頂點坐標（一2,0）

10、, （2,0）,離心率漸近線方程 ）二士緣. A（提示：因為漸近線方程為z土卷=0,所以雙曲線方程可設為12=A。#0）.將坐標（一打，6） V，2代入，得A =- 1,故所求的雙曲線方程為不一/ = 1）./一（=1和/一（=1（由此可見雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸的長）. L乙. yz jr2 = 4.習題23【2）（P41）. （1）實軸長8g,虛軸長4,頂點坐標（4&, 0）,焦點坐標（6, 0）,離心率為半，漸近線方程 y =，卬（2）實軸長6,虛軸長18,頂點坐標（3, 0）,焦點坐標（土3/2, 0）離心率為/而漸近線方程 y=3xi （3）實軸長4,虛軸長4,頂點坐標（

11、0, 2）,焦點坐標（0, 2&）,離心率為女，漸近線方程y =土/； （4）實軸長14,虛軸長10,頂點坐標（0. 7）,焦點坐標（0, 土木），離心率為隼，漸近線方程=土工.W-4 = h（2）= h鬣一翼=1.16936 64416234. R = tan 300或等=tan 30,此雙曲線的離心率為4 或2. aoo.橢圓嗡+若=1的焦點為（5, 0）,所以雙曲線的半焦距c = 5.又由? = I得a = 3,所以分=4,所 求雙曲線的方程為（一三=1.y io.橢圓號+4 = 1的焦點，即雙曲線的頂點，為（6，0）.橢圓有四個頂點，但由雙曲線的焦點在工軸上, O 5知其應為（2，0）

12、.故。=仆，c = 2虎 62 = c2 a2 = 5,所求雙曲線的方程為4。=1.寫一孑=1. 7. /一 J = 8. B（提示：當A V9時，曲線/1 + 且 =1表示橢畫,其半焦距為4；當9V6V25時，曲線是二一 Zb - k 9 kQ - R工=1表示雙曲線,其半焦距也為4）.k 9.設雙曲線C的方程為一1=1,則它的共規(guī)雙曲線c的方程為衛(wèi)一 = 1,所以CC有共同的漸近 a 夕;b a線3 =土小C、C的焦點坐標分別為（土+。2，0）和（0,+a?）,它們都在以原點為圓心，滔+從為 TOC o 1-5 h z 半徑的網(wǎng)上.二：.設最小半徑處所在直線為“軸，虛軸所在直線為y軸，則a

13、 = 8,且雙曲線過點(15, 24),設雙曲線方 程為慧一(=1，將(15, -24)代入方程,求得八嚅&，雙曲線方程為/一普旦=1.將上口處的一點(孫 bivi04 3b oo43)代人雙曲線方程，可得/k66. 52, z = 8J6.答：上口半徑約為8. 16米.11設AA,AB長分別為加,26,取AA所在直線為上軸,AA的垂直平分線為y軸，設第m組對應直線26 必AQ與AR的交點為PCr,必則由圖可知APHsAARA,所以 第=怒，即嚏士 =警(第11理)又APHs.AQK,所以需=馥即日=&=恐,上n面兩式相乘，可得1=4即=1.這說明，點P在一條雙 x a 。： a b曲線上.折

14、痕圍成的輪廓是雙曲線.練習(P45)1 京點坐標為保0)，準線方程為1=一率 (2)焦點坐標為(0, 一分，準線方程為了 焦點坐標為(-8, 0),準線方程為 = 8； (4)焦點坐標為(0,引，準線方程為行一空.2. D. 3, C.4.(1) y2 = 24x；(2) x2 =20y(3) x2 =/ =10、或 / =士 10工O5直線2% 3+ 6 =。與7軸交于點(-3, 0),與了軸交于點(0, 2).若以(-3, 0)為焦點,則拋物線的標 準方程是J =一12白若以(0, 2)為焦點，則拋物線的標準方程是/ = 8A練習(P47).(1)/ =_20y；(2) y =-12x；(

15、3) y =一號無. C(提示：因為拋物線的準線是1=8,所以PF等于點P到準線的距離8 4).以拱頂為原點水平直線為.1軸建立直角坐標系.設拋物線方程為/=一2分，由于點(2,2)在拋物線 上，解得p = 1,拋物線方程為/ =一 2y 當水面下降1 m時,拋物線上的點的縱坐標為一 3，代人方程可得其 橫坐標為土通，這時水面寬度為276 m.習題2.4(P47)1(1)焦點為F(一小。)，準線方程為i=(2)焦點為F(0, 2),準線方程為丁=一2； (3)焦點為F(去0)，準線方程為 “一？ (4)焦點為尸(一看，0),準線方程為z =看.設拋物線上該點的坐標為P(g, %),點P到拋物線

16、準線1 =-1的距離4+ 1 = 5,解得=4,代人 拋物線方程得 =4.故所求點的坐標為(4, 4).根據(jù)題意,拋物線的焦點是直線2y4 = 0與坐標軸的交點，而此直線與之軸交于點(4, 0),與軸 交于點(0, -2),所以，當焦點為(4, 0)時，拋物線的方程是丁 = 16與當焦點為(0, -2)時，拋物線的方程為 X2 8y.拋物線開口向上.標準方程可設為/ = 2%(0).因為拋物線過點(3. 5, 0.7),代人方程得3.=2P X 0. 7,解得p = 8. 75,這條拋物線的方程是x2 = 17. 5A.雙曲線16*一曠= 144的中心為原點，左頂點是(-3, 0),故拋物線的

17、頂點為原點,焦點為(-3, 0),出 拋物線的方程是，=- 12工.設的中點為M,點H，P2，M在拋物線準線上的射影分別為Q1，Q,N,則PR = RF, P2Q2 = P2F.因為MN 是直角梯形PQQ2P2 的中位線,所以 MN = |(P1Q1 +P2ft) = p,P2.乙L4圓心M到準線的距離等于圓的半徑，所以此圓與準線相切.依題云，拋物線開口向下,其標準方程可設為工2 =- 2py(/0),點乂(加，-3)到焦點距離為名-(-3) = 5,故p = 4,拋物線標準方程為/ =-8”準線方程是y = 2.將M點坐標代入拋物線方程，得m =主 2 癡*1 8.由y= 2工解得 夕=1-

18、2,=3 + 遮，=1 +遍，、=3 氐、=1 -/5kOA =5喀，=;二因為 4MMb =- 1, 3 +v 5o -VO所以OA OB.過焦點 售.0)的直線方程可設為“ =%+會代入拋物線方程，得y2小一 =0,故|出=一.如圖，以。為原點,DC為軸建立直角坐標系，則CQ, 0), H(0, 一h), B Q, 一五)設第帆組對應直線的交點為PCr,、),則有CPMsAOQK,所以要 = 窸=色，即一 NL = 4 =詈,因此O =_號季=_菅，即彳2 =_,這說 QK na n a / mh n hhn明點p在滿足條件的拋物線上,這種畫法是正確的.這些折痕圉成的輪廓形成一條拋物線.(

19、第10題)練習(P50)L因為點P到定點F的距離與到定直線I的距離之比為尊V 3所以點P的軌跡為橢圓. 乙Z (1) y u士學(2) T =ix =*(4) y =/,(5)工=4.(6) y = o ； if； , JJ ,：. 4續(xù)賽標池方程圖象熬點坐標準線方程卜” (a,萬0)(0. c)y cy = 2/ (/0)-4（去。）px =-2y =_ 2pcr (Z0)*ri)工=2一 2= 2 py (p0)A(o.1)y=_2y2f =2py . (/0)/(T)“22. （1）焦點坐標為（土作，0），準線方程為*=2作；（2）焦點坐標為（十，。）,準線方程為* =1;（3）焦點坐標

20、為（土帶，0）,準線方程為工=士空；（4）焦點坐標為（0, 士6）準線方程為了 =土點；（5）焦點坐標為（0,一十），準線方程為y =焦點坐標為（十，o）,準線方程為1 =/練習（P55）1. a 2. B. 3,& = 6.4.兩條相交直線V = 2%和y =-2工（1）曲線只表示方程所表示的曲線上的一部分點;（2）方程只表示曲線上的一部分點;（3）方程與曲線相 對應，即方程是此曲線的方程./：/ -習題 2.6（1）（P56）；:：.；可 .充分不必要條件.2.錯;錯，對.3.只有（4中兩個方程表示的曲線相同.4. |卬| = 2.練習(PS7)二一：二1.設小，力則渭=果+4,化筒得土入

21、*知2).2分別以互相垂直的兩條直線為軸和y軸，并設軌跡上點尸(為山,則所求軌跡方程為|0| =瓦習施 2.6(2)(PS8)” ：.以AB所在直線為工軸，線段A8的垂直平分線為)軸，建立直角坐標系，則A(-l, 0), B(l, 0).設 M(x,山，則由 M42+MB2 = io可得(了+1)2+/ +(-1)2+，= io,化簡得/+/ =么.設 MCr,依題意得，(i 2)2=2 |工+1 |,化簡得 3/一，+ 12%=0.3設ACz, 丁)，則心B =氏AC =*，=1，所以當A在直線BC的右上方時，tanNAC8 =1+1X- 1與？ tan/ABC=U士.根據(jù)題意,得一言讓=2

22、 .當化簡得1 + , =。或M 3y 2 = 0.當A點在直線BC的左下方時結論相同，點4的軌跡方程為1+ y = 0或既一3? 2 = 0.(可以考慮將B、C兩點剔除).以直線AB為力軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A(3. 0), B(3, 0).設M(z,y),則 tan /MAB = kMA = tan /MBA =J.依題意，J =三土J,化簡得 y = Qh + 3z 3 x 3 I y El(一3 V ” V 3)或 3, 一 a? + 6% 9 = 0.設軌跡上任意一點的坐標為Cr, y),依題意有，(l一 I)? +- + 2、二？，化簡得2工一.一：”/

23、 .,：. ,底1 = 0.(事實上，點(1, 1)在直線/ + 2y 3 = 0上，所求軌跡就是過點A且垂直于直線z +2)，- 3 = 0的一條 直線).設拋物線的焦點為FCr, y),因為點(1, 0)在拋物線上,所以點(1, 0)到F的距離等于它到準線軸的 距離，于是，(N 1)2 +y2 = 1 ,化簡得彳2 + / 21 = 0 (1# 0).分別以十字架的兩邊所在直線為了軸和y軸，建立直角坐標系.設PGr, y), A(0, m), 85, 0).作 垂直于/軸于H點，由ABOsAAPH,得見j -衛(wèi)，解得 =a x.同理，過尸作軸的垂線，可得 m= 出二也.在/MBO中.有W+

24、/ = Q Z)2,故可得魚+ .= (a 6)2. 因為ai#0,化簡得g+ = LP點軌跡是橢圓.；：:?a If練習(NO)1. (1, 0), (-1, 0), (0, -1). 2. D. 3. C.4.將y =1+ m代入)=f 一 + 2，得*z -21+2一6=0.因為直線與曲線有兩個公共點所以此方程 有兩個不相等的實根.由 = 4-4(2 7) 0,可得ml.習題 2.6(3)(P60) 二2/_5)+ 5 = 0,./:： .(1)聯(lián)立方程組110消去3得2/+5% + 50 = 0,沒有實數(shù)解,故這組曲線沒有公共y l x點；(2)聯(lián)立方程蛆 卜 二：+2消去3,得，=4

25、,工=-2或工=2,這組曲線有兩個公共點(-2, y 1 + 6,8)和(2, 4), (3)聯(lián)立方程組消去y可得Z，故y =塔這組曲線有一個公共點E y =1,a a(一，) (4)有兩個公共點(一 1，D和(1，D)=任+ 3,.即方程組4fly 、有實數(shù)解.消去3得(9公+4X? +5聯(lián)r+45 = 0,此方程有實數(shù)解的條件是 .仁+彳=1(5聯(lián))2 4 (馱2+4)7520,解之得4&-哼或/冬所以當九一4或時，直線與橢圓有公共點. JJJJ12 + 4/ = IQ.聯(lián)立方程組4 2 I ：二兩式相減得,2 = 2,所以/ = 5,這兩條曲線共有四個公共點1(底, U +y = 76、

26、(-75, 72), (75, 一)，(-75. -72). 條直角邊所在直線為y- 2n則另一條直角邊所在直線為一 4巧它們與拋物線的交點(非原點)坐標分別為e，p),(M 4M這兩點之間的距離為5值可解得力=察，拋物線的方程為/=嚕工.聯(lián)立方程組.) 消去”得/ 一2,-26 = 0.設A(皿，y), B(xtt %),由OA, 08可得 lx = 2y.XjX2 +筑 =。，即工仔2 +(i +b)5 +6)= 0,也即2Hl%+6(為+*2)+ = 0.由韋達定理，得士 +%=2, XjX2 =- 2d,代入解得 b = 2(舍去 b = 0).直線AB過拋物線y =2的焦點(?, 0

27、卜方程可設為 =磔+,代入拋物線方程得：/一2mpy，=0.設 ACq , % ) 9 B(x2 9 32)，則 71y2 = BC *軸,工 C(一 與， 0),即/ + / - 2, = o,其與，=2 (04 了 /2； 44當季V a V9時,Sin a cos a 0,方程表示焦點在y軸上的橢圓；（5）當。=辛時，方程化為=1,它表示兩條平行直線N=l；（6）當 Va V n時,sina0, cosa V 0,方程表示焦點在#軸上的雙曲線；（7）當a = 時，方程化為一/ = 1,它不表示任何曲線.因為a= 5. 6 = 3,所以c = 4,橢圓的右焦點為F（4, 0）.設MQ:,

28、）,因為MF = MN,所以 y（x 4）2 +/ = | 6 x | 化簡得 y1 =- 4z + 20. TOC o 1-5 h z .設橢圓白+ W = 1上的點為MCr,）,焦點為6（0, - 5）, Fz（0, 5）.因為MF】工MF2，所以三 43 4Ux止 =- 1,即/+y2 = 25.由上述兩個方程可求得滿足題意的點共有4個：M（4, 3）, Mz（4, 3）, M?（-4, x3）, M（ 3）.因為雙曲線= 1的焦點在1軸上，半焦距為/申，所以橢圓十q=1的焦點也在軸匕半 bIv m10 m = 1 +b., 工+ = 1,/焦距為,則由融意知 9 m解得崔=1 = 8,

29、所求橢圓方程為希+，= 1,雙曲線方1P_2 = 119 b # * j 1.程為=o.設雙曲線方程為q一白八。*。）.當人0時域一舌=1.2 = 4/疚=8,入=2,所以此時雙曲 線方程為左一當=1當av 0時，三一4 =1，2c = 4，=不 =8,4=- 2,所以此時雙曲線方程為一 b- OA 一。人若=L.設PQ, y）為等軸雙曲線/一寸=/儲0）上一點，焦點為b（一怎，0）, F,（%、0）,則 OP2 = 工2+/，PFj=G+2+y2，p瑾=（# 一圖）2十y2,將，=/一2分別代入上述各 式，得 OP? = 2x2-a PF = （z + , PF| =（伍c-a,所以尸艮 P

30、F2 = | 2d -Y |.因為 |0,2x2-a2 0,所以 OPZ = PF1 PF2.拋物線” =4n的焦點F（ 1, 0）,直線AB的方程可設為力=my 4-1,代人拋物線方程得，一 4叼- 4 = 。設A（q9 y）, B（xr, ”），則切+2 = 4m, yxy2 =- 4.線段AB中點的橫坐標為2 =+生）= W3（+）工龍 +的）2 ZyyJ =16 +8）,解得一=y.因為 AB? （X1 x2）2 +（一”=（1 + 1）61 az）? = （1 + ,（8 +” - 4M=（8 + 16） = 36,所以 AB = 6.y _ 1 = kx 2）.聯(lián)立方程組= i消去

31、了并化簡得（1-4叢）+84-l）z-16/ + 16A-8 =0. 當1-4A? =0,即友=4時：A = 4時，上式無解決 =一）時，有一解.當1一4/二：0時必= 44L-6444-32.當AV0且1-4必#0,即3十時,無解，當 0且1 -4必工0,即力V/且山彳一4時,有解；當 = ()且1-4必#0時,無解.所以當左V4且Ar一年時，有兩個交點，當 ”一手時,有一個 乙乙U交點，當1 3時，無交點.一 ,V = (IX + 1 ：22, 消去山得(3才一2or 2 = 0.因為有兩個交點，所以=：界&”上。.解得入6且3x y - 1.,x)x2 = 二 2(1) | AB | =

32、3 - a/l +a2 |x2 | =V1 + a ，(*i +亞)2 -44如=24產(chǎn)1蕓6 (ar V 6 且 / W 3). (2)由題意.知員以兒=-1,即=0,即工1* +(1 +l)(ar2 + l) = 0,即(1+a2)ZRz+(1+%)+1 = 0,即(1 +/) J +。產(chǎn)r + 1 = 0, a2 = 1,符合/ v 6且Y # 3的條件.所以a =士 1時，以AB為直徑 a 33 - a，的圓過坐標原點，(第12題).建立如圖所示的坐標系,拋物線方程可設為/ =-2%(p0).根據(jù)題 意,此拋物線過點(一4,-4),代入拋物線方程解得p = 2,拋物線方程為f=-4).

33、 在方程中取力=-3,解得=一搭,所以4以=6 一曰=苧,所以限制高度為苧一 0. 5 =孕弋 3. 3(m).拋物線J = 2z的準線方程為i=-0.5.設點P在準線上的射影為R,則 P到焦點可距離4就等于PR.當折線QPR在一條直線上時,a + PQ取得最小值，此時PQ與準線垂直.點P坐標為(2, 2),最小值為7. 5.因為(2。+ 6)/ +(0+方方+(o 6)=0,即(2 + +1)。+ (工+-1力=0對任意實數(shù)。力都成立, 所以2z + y+l =0且N + y-l = 0,解得工=-2,3=3,即兩條直線過定點(-2, 3)代人一z + 2；y + = 0,得2m之 +6 +

34、 = 0,即 =2m2 6,故點(m, n)在拋物線 y = 2x?1 6 上.以橢圓為例加以證明.由于曲線在平移、旋轉(zhuǎn)變換時不改變它的形狀和大小故可取兩個中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓.不 妨設橢圓G4瑤。 9 ), G W =】 4 ) .根據(jù)離心率相等有？ = *下面說明 這兩個橢圓是位似圖形.根據(jù)對稱性,只研究在第一象限的情形.% ,，a2mz + 廬 abjan 十記過原點作射線OP分別與C| C 相交于？，Pz，設OP的方程為y =皿(加 0,1 0),聯(lián)立方程組，解得( 劭 ._皿p /以也1 Va2m2 +“2m2 +廿卜 2 /府十 44m之十記=?,這是一個與直線無關的常

35、數(shù)，說明這兩個橢圓是以原點為位似中心的位似圖形，因此 0.這兩個圖形的形狀是相同的.類似地.也可以證明任意兩個離心率相同的雙曲線的形狀也相同. TOC o 1-5 h z AfV*弟二早練習（P71）1. 濡i評（注工教材中本題印刷有設施為4雄+比+ 3”，而不是44病十度十 JWJ占方歷“)-6丸(1) m = n = -yj (2nt - ri 焉.3. 3 - CP =象三+俞)=上7 一吐 UUf練習(P74)T淑=4荏=4（就+蕉）=AC-BC, A麗與啟，前共面.，,1 :西羋比羥嘉叁1弟用白罡鼻上二苫: X由工1o + mb+啊e 工述+ 了述+勺。,得（上1 hQs +（m 的

36、）8十 （/一均兀=且為 著曲，a ,：.：；? - :二:Y三:三.L事理理耳；，,宸歸，,.C *絲二曲8+王3內(nèi)從而可知叫hC共面.回一g 電一向 TOC o 1-5 h z 3.；SS = KS+和，施=標+五，乂 UABCD中*遂 +多 =E, ,癥+笳 =2疏+ 這， : , J , F 匚:工，三二號s3i4w,l 革弋 丁 尸，0 , ,.:.PA =京 +m =2蔽+ET = 笳+流,，包. 施* 就共面. PA不在平面BM0內(nèi)，,PA / 平面 BMD.匚. （1） 口ABC。中，/=荏 +病. , 正= 5?一左=。通一= a就=*（崩+ 與）= -工 : , , ,3;

37、 - - .,1 1 J, , . 1限初一色J+營一示）。（而一行+ （萬一而b=H?十的文J, AlBC,。四點共面. 由 福=4荏，可得詞/蕊，曲/平面ABCR同理AD，平面ABCD.又詞仆初=*,：,平 面 ABCD /平面 AB CD,練習（P76）加=談十通+ 前,又加=欣5+設 +港.點M. N為。A,bC中點龍 +歷 =。， 前卡西。0 2 WE =。+匕 + c* H/C = B +0 G? =。- b + a DG =+ jfr + -re： CE =卷(0B +QO+ .；= OA+M = OA+qAE = CM+等(支-OA=看(OA+。舊 +OC).。濠.二C 芍.練

38、習(P78)：濘工羨；1. A(0, Of 0), B(2f Op 0)t CX2, 2, 0), 2,。).*(。，0, 2), E(2, 0+ 2), C 2, 2), 17(0, 2, 2.1. (1) (一2, 8. 3)j(2) (0t 0, -5)；(3)(一5, 0, 2).(19, 10, 9). % (-5, -8, 13).5.；6=%，二n”以(2) ： 8 T 2)壬2。5,，。與8不平行.事 7 宮 ,.：；：； ； ,； -： ,氏m x彳*翼=0練習1P82). ： ；：.1.；：.：.；二L 略，2, a * b = 0r a _ bt 3. 1見G-1/+G+

39、0，+依V3消工 16；(1) */ m | = | n|-1* m * n -, /* a * b (2m + ji)(3m + 2n) =- &m2 + 2/ + 惻冷 士，i二?I；：.：；.；：、.,(2) ”: 一 =(2ai +川 V = 4陋？ I 4訊嚴 + / = 7,升=(-3m + 2理爐=9m2 - 12 fft.卻 + 4 / = 7, :* I 厘 I =|b| = 由cosa, b備=一耳，可知向量。與b的夾角為120.& 由 OA _L OB, OA J_ OC, OB J_ OC,可知欲- OB=0,OA.OC = 0,OB.OC = O.AB.AC = (O

40、B-OA) .(比=55 比一35 市一中炭+。左=示20,故NA為銳角.同理，NB ZC為銳角.所以AABC為銳角三角形.習題3.1(P82)1.設AD中點為G,則記函=焉荏，加=祕+或=(荏+歷).丸象荏+衣卜而).3度=& = (AP-AC) =J(Q-屈一超). TOC o 1-5 h z V BM = AM AB = -(AC + AP) - AB =-AB -+ AC + 4- AP9 . x =1,= % =4. /了：，ZZ45. AM|(a + b + c), AN = a4-(d4-c).(1) AP = 4-(tf+ b+c)i(2) AM = -a+6+-1-cj(3)

41、 AN = Ja + b+c；(4) AQ 春0 +春c.(1) V OM OA J OB + 卷 OC OA = -y (OB OA) + J(OC OA 3 即AM =4AB 4 O04oo3| AC，A 葡，曲公共面.又A,B,C不共線，可確定平面ABC,從而M與A,B,C共面. A a 6(2) V b=-3a, ： a / b.(1) 60%(2) 120 13T.V AB = (1-27，2-3m, 2m-2), | 荏 f = (x -2m)2 + (2 -3m)2 4- (2m-2)2 = 17(m-尋了 +沙,閑J =空.6萬=用一乖=一獻)=春麗；一EF/BDxi 國 =5

42、乖=說一=示+證一B；瓦布=懣+ 俞=0+豆，故函布=(次+就一席)(bb + bc)= 比2-02 =0 .故即女刀.V ABCD. ACBD, ：. 福=公萬方=0,又布=荏+時衣=或+/，AD BC = (AB+BD) BC = AB BC + BD BC = AB BC + BD (BA+AC) = AB BC + BD HA = 荏(前一彷)=荏灰=0,，AD1,BC 呼17-芯 + 崖+ 4示=而+次+ 屋=荏，(2) 4r = |時加施的值最小.此時,點M的坐標為傳，I，I).、.必要性：若a, b, c共面，T Q, b不共線,由平面向量基本定理可知，存在小y,使得c = m+

43、W， :.m七9+(l)c* 0. 充分性：若存在三個非零實數(shù)/, m, %使得Za+功力+ * =0.則。=*(la+mtf). a, b不共線，a, b, c三個向量共面.20. (1).APODDXRa 一 TZTT PB QC RA, AP CQ1一。 AB CQ QA=ay 又BC = AD, PQ = PB +BC +B = (l-a)i + / + d,辰=或+甌+乖=一近+ (1。 + A.(2)以荏，AD, AAX為坐標軸建立 空間直角坐標系，則 P(a 0, 0), Q(l, h a). R(0, 1 - a, 1), 7X0, 1, 0). AP QR 的重心為 G(牛，

44、寧，號)，育=(號，一中，號)，所以西=守i一守，+中燈祕=(一, q 2), PG DG = 0,即(1 +。) 一(l+a)(2a 1) + (Q 2)(1+q) = 0.因為這個等式恒 O J 3 /成立，所以?？扇⌒∮?的任何正數(shù).練習(P87)1.證明略.2. (1) (-b b -1)?(2) z-y + z-1 =0.練習(P91).設正方體的梭長為2 分別以AB, AD, AA為軸、y軸、z軸.建立坐標系，則而=(1, 2, 1), 而= (2, 0,2),因為前.公5 = 0,所以 AOAiB2已知/ U a, 2，8,求證，。 或a, Z U -ri X I.設正方體棱長為

45、1,以AB, AD, AA1為坐標軸建立坐標系,則A】(0, 0, 1), B(l, 0, 0), C/l, 1, 1),= (1, 0, -1), AC = (1, h 1), AB AC = 0, AXB AC.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線.如果它和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線 的射影垂直.已知：如圖3-2-2,QB是平面a的斜線是斜足,Ab J_a.A為垂足,CDUa,且CD_LOB.求證:證明：因為 8,OB,所以歷m =0.因為CD Ua,所以AB CD,歷荏 =0.又OA =OB-AB,所以3示=3 (OB-AB) = O) OB-S AB =0.故8,04

46、.設正方體棱長為2,分別以DA, DC, DD為z軸、軸、2軸.建立坐標系，則甌 =(1, -1, 2),說 = (一2, 0. D,而 =(0, 2, 1).因為函:蕩 =0, 而 血 =0,所以嗝上說醞，京.故AQJ_平面MBD.設mfH = P,在平面8過P作 _LZ，記直線加，n，z的方向向量分別為m，* L由于區(qū)可得m， n) = 90,又zn J_ Z，故/n n = 0, m / = 0.對于內(nèi)任意一條直線a ,設a為它的方向向量，則a = xn-yl 所以 m o = m (m +3，)= 0得到 rn a,從而 m X A練習(H96)L 60.不妨設正方體棱長為2,分別以D

47、A. DC, DD為z軸、)軸、2軸，建立坐標系,則DB】=(2, 2, 2), CM = (2, -1, 0), | DB7 |= 273, | CM | = 75 DB 南=2,工 cos函.CM) = J =筆.2 v 3 X V 5. 600. 4. 3015.不妨設正方體的梭長為2,分別以DA, DC, DR為1軸、y軸、之軸，建立空間直角坐標系，則而 = (-1J, 1),函 =(2, 2, 0), 謙 =(0, 2.-2)，。法笳 = 0,0法貓5 = 0,故而是平面A】BD的法 向最(2)又俞二(-2, 0, 0)為平面ABA1的法向量，由| 0而|=偌，|益| = 2,而.俞

48、=2,可得cos茄, OM =夕故二面角A-A】B-D的大小為54. 74.習題3.2(9)a2設AD = 1,分別以DA,DC,DDi為1軸、3軸、z軸，建立坐標系則比=(0, 1, D,史=(0, 1,-1), CB = DA = (1, 0, 0). DE.EC = 0=5e1K,DE-CB=0=DEJ.S, DEJ.平面 EBC.3(1) V AD CC AD J_GD, J. AD J_ 面 BCgB ,故平面 ADC】J_ 平面 0CC】B (2)分別以平 面ABC內(nèi)AC的垂線,AC與AAi為軸、了軸、z軸,建立坐標系.設AC = 1,則面ACC1的一個法向量為t = (1，0,

49、0),而=(冬 0)為AD的方向向量，啟 =(0, 1, 1).設面ADG的法向量為=(a, b, c),由 n AG = 0, n AD = 0,可得 6 + c = 0. a +久b = 0.令 c=l.故= (71, 1, 1),故 cosS, t.(D 二面角 B-AD-C是直二面角,BDJ_AD, BDJ_ 平面 ADC,； BD_LAC. (2)設BD = 1,則 a)=AD = l,AB=y2,AB*ACs=|AB|.|AC| cos = 2cos AB, AC). XAB - AC = (AD 4- DB) -(AD + DC) =： AD2 = 1. A cos = g ZB

50、AC = 60.(1)設AB = 1，分別以BC、BC在平面BDC內(nèi)的垂線、BC在平面ABC內(nèi)的垂線為n軸 =案m, 土)= 45.故AD和平面BCD所成的角為 9045 = 45.(3)沒 n = (a, by c)是平面 ABD 的法向量則 n HA = 0* n BD = 0,則有a+點c 0, -a4 條 =0.令。=6=1,則。=,故=(痣，1, 1),故cosS,幻=喀.二面角A-BO-C的平面角與5,幻互補,它的余弦值為一咯.54. 74.設正方體棱長為2,分別以DA, DC, DDy為z軸、y軸、2軸，建立坐標系，則南 =(2, - 2, 1), 函=(-2, 2, 1),，c

51、os而，函=1,. CM 與D】N所成的角為 83. 62.設正方體樓長為2,分別以DA, DC, DD,為a軸、y軸、z軸，建立坐標系，則同=(-2, 0, 2), EB =(2, 1,2), AD EB| = 0,故 EB)AD.庠=(0, b -2), AC? = (- 2, 2. 2),故 cos(5X 福=一4設平面 ADXE 的法向it為 =(a, b, c), ?! ADX =0. n D】E = 0e則 29 1) 9 n = (1,2, 1)(2, 1, 2) = 6,| EBi | = 3, / cos(n9 EB=球故班 與平面 gE所成的角為54.74：J：-；/-：

52、； ?,15.設PA是平面a的斜線,OA是PA在平面a上的射影,AC是a內(nèi)的一條直線,PA與a所成的角為%, AC與AO所成的角為%,PA與AC所成的角為仇作。8 _LAC于B,連接PB,則PB J_AB,| AO | = | AP | cos, AP -AB = | AP | | AB | cos9. 丫 55 無5 = 0,而工5 = 0,又W? 益=(茄+65+而) AB = | AO | | AB | cos 02 = I AP | | AB | cos % cos 02, :. cos 0 = cos 4 cos %.分別以BC.BA和過B且垂直于平面ABC的直線為1軸、y軸/軸，建

53、立坐標系，則C(3, 0, 0), A(0, 4, 0),在矩形 ABCD 中，作QHJ_AC 于于M,HN J_AB 于N.易知 H 即為5 在面ABC 上的射影 AD = 3, AB = 4,工 AC = 5, DH = D】H =招，CH =旦 HM =黑 HN =器， 5假，骨，)設平面RBC的法向量為0一(,c), 就=0, 何一 0,則(a = 0._ 八 n = (0,15, 16)是平面D|BC的法向量,乂平面ABC的法向量為r = (0,0, 1),127a+ 64b + 60c = 0. cosS, D =要=即二面角 DBC-A 的大小約為 43.15.:； 二/48T(

54、1)分別以AB、平面ABC內(nèi)AB的垂線、AA1為二軸力軸、之軸，建立坐標系，則循 =(。，。，0)，函 =(0. 0,72a),=(0,緡，0), 樂荏 =0, 溢 甌 =0,故記是平面ABBA 的一個法 向量.怎=出,冬,屆)，團記=(0,卷,0)(梟號I員1=令, I AC. | = J3a, cos運，肅=/， 0), DE= (2, 2, D,印X = 0,印筐=0,所以 D】尸，,平面 ADE.甌=(- 2-2, 2),母=(-2,-1,-1), |BdT | = 273, | 才 |=后，函才=4. 8s國 話=織故肛與EF的夾角為61.87。.M.(1)設 CP = a, 0&q

55、 V4則 CQ、P(2, 2 a, 0), Q(2-v/TZ7, 2, 0), /.方=(一x/2 a2, 2, 2), DP = (2 a, 2).則BQ P 212 2a+ 4 = 0,： a = 1. ； P9 Q分別是BC CD中點時,B|Q，D】P.設平面GPQ的法向量為n = (a,仇c),西=(一 1, 1, 0),居 =(0, 1, 2), n 西 =0, ” 居 =0,二。令c=-l,則 =(2, 2. 1)是平面C|PQ的法向量，又無=(0,。9 2)是平面AP16 + 2c = 0.Q 的一個法向量 cosS,幻=，4=70. 53, .% 二面角 C-PQ-A 的大小為

56、 109. 47.14. (1) AB = (6, 2, 12).線段 AB 的中點為 C(l, 4, 3),而？ = Gr 1, )- 4, z-3).由而 _荏，得 到 6(# 1) + 2(y 4) + 12(z 3) = 0.即 3 +J 3y +(% + 3)2 =(%一4+ 6 5+(n-9)2,得到 31 + 3 + 62 25 = 0.(3)比較(1),(2)的結論可知：在空間，到A,B兩點距離相等的點的集合是經(jīng)過線段AB的中點且垂直于直 線AB的一個平面.同時也可以看到，在空間直角坐標系中,平面的方程是一個三元一次方程.復習題(P101)L C? =a + b, CA = a

57、 + b + 以 CM 。+ 今9 CG = -1-(a + b-c).4o或=戌+病 =(蔭+益)奇，記=元+記=4(就+五)=J詬，函西, 44LLEH /FG. A E, F, G, H四點共面.(2)由上知 BO EH,又 BDZ 平面 EFGH, ；. 8。 平面 EFGH.2或=薩+比，2OV5 = DP + DCt /. 2苑+2面=麗+2i+萌+灰=(荏T而)+ (而 + DP) = 2存，即存=畫J +而J, J AP,俞，奇共面.又PA0平面HMD, PA 平面BMD.V ABa, BCUa, ；油，灰又歷JL灰，與后方=就1方= 0.CD與平面a所成角為30, 且C與A在

58、a同側，工而與前夾角為60,CD與X5夾角為120, AB - m = 2 X 2 X cos 120 =2, :.I AD |2 =(AB+BC + CD)2 =| AB |2+1 BC I2+| CD |2+2 AB - BC-f-2 BC - CD + 2 AB - CD = 3 X 2*+2X(-2) = 8, ； AD 長為 2低V 淑=-i-(AB-bBC), PQ =4-CJ) = y(CC - AB), RS = 1(瓦兀+素)=-4(BC + CC;), a 芯=一(礪+西),故痂，PQ,環(huán)共面. w.分別以 CA, CBt CD 為 軸、y 軸、z軸，建立坐標系，則 A(8

59、,0, 0), B(0, 6, 0), D(0, 0, 8), E(4. 0, 4), BE = (4, -6, 4), GA = (8, 0, 0), BE G4 = 32, | BE | = 2/17, | GA | = 8, cos(BE. C4 = 3Z, 所以BE與AC所成的角約為60. 98. ：:二:. (1) V | O | = | CT I，至，無= 6C：,在=夕,A CQ *BD = CQ .(m-CB)=CC*a5- CCt CB = C f C)C J_ BD i氐麗=(3+荏+,)(E左)=0,故A1C_L平面GBDaGT 忘 =0,即(五+ CB +CC) (CC

60、-S) = 0.設CD = 1, CC=人則有無?十M.CB-OT2-S-S = 0, t2 +fcos。一 l-cos= a-DU + l + cos。)=0., t = L 故卷=1 時,AQJ_ 平面 C|BD.設正方體校長為1,分別以AB,AD.AAi為4軸、y軸、z軸，建立坐標系A-z”，則/ =(1, 1, 0). DC = (1, 0, 1). V M, N分別在AC, DC,上，設M(m, m, 0), N(n, 1, n),而7 = (n-m, l-m, )，由 題意耐就=0,麗.鬲=0,一袱+1-二=解得m = =點M,N的位置可由CM = C4, DN =1DG 來確定.