復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)原則

1、復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如它是由復(fù)合而成的由于 f 沒有具體給出 一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。一、鏈?zhǔn)椒▌t證上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù). 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：鏈?zhǔn)椒▌t如圖示稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或 這個(gè)公式的特征：函數(shù)有兩個(gè)自變量 x 和 y故法則中包含兩個(gè)公式；由于在復(fù)合過程中有兩個(gè)中間變量 u 和 v故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有 每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即“函數(shù)對中間變量

2、的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘” 特殊地其中即令兩者的區(qū)別區(qū)別類似注 此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的情形如則 從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)數(shù)無關(guān)關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系函數(shù)對某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成） 的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵 弄清

3、 仍是復(fù)合函數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的 f ( u , v ) 完全相同即仍是以 u , v 為中間變量，以 x , y 為自變量的復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對 再求偏導(dǎo)數(shù)這一步 是與 f ( u , v ) 具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是 u 的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉原因就是不注意 求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo) 的合并問題視題設(shè)條件解解例3 設(shè)均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件計(jì)算（兩重復(fù)合問題）解由鏈?zhǔn)椒▌t故同理可得解令記同理有于是二、全微分形式不變性全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)： 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的. 利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運(yùn)算的結(jié)果對自變量的微分 來說是線性的從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯(cuò)例5 設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求解一變量間的關(guān)系如下圖所示這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解由全微分定理注意到 x , z 是獨(dú)立自變量 解二由全微分定義注解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)故 三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)?/p>