2022-2023學(xué)年人教A版2019高中數(shù)學(xué) 必修1 4.3.2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 第2課時(shí) 換底公式

1、第2課時(shí)換底公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握換底公式及其推論.2.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值一、對(duì)數(shù)的換底公式問(wèn)題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，但對(duì)于一些式子，比如log48，log93等式子的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題還不能做到，你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？提示設(shè)log48x，故有4x8，即22x23，故xeq f(3,2)，而log283，log242，于是我們大膽猜測(cè)log48eq f(log28,log24)，同樣log93eq f(log33,log39) .問(wèn)題2是否對(duì)任意的logab都可以表示成logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；b0；c0，且c1)？說(shuō)出你的理由提示依據(jù)當(dāng)a

2、0，且a1時(shí)，axNlogaNx推導(dǎo)得出令eq f(logcb,logca)x，則logcbxlogcalogcax，故bax，xlogab，logabeq f(logcb,logca).知識(shí)梳理1對(duì)數(shù)換底公式：logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；c0，且c1；b0)2對(duì)數(shù)換底公式的重要推論(1)logaNeq f(1,logNa)(N0，且N1；a0，且a1)(2) (a0，且a1，b0)(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)注意點(diǎn)：(1)公式成立的條件要使每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義(2)在具體運(yùn)算中，我們習(xí)慣換成常用對(duì)

3、數(shù)或自然對(duì)數(shù)，即logabeq f(lg b,lg a)或logabeq f(ln b,ln a).例1(1)計(jì)算：(log43log83)(log32log92)；(2)已知log189a，18b5，用a，b表示log3645的值解(1)原式eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,lg 4)f(lg 3,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,lg 9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,2lg 2)f(lg 3,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,2

4、lg 3)eq f(5lg 3,6lg 2)eq f(3lg 2,2lg 3)eq f(5,4).(2)方法一log189a，18b5，log185b.log3645eq f(log1845,log1836)eq f(log1895,log18182)eq f(log189log185,1log182)eq f(ab,1log18f(18,9)eq f(ab,2a).方法二log189a，18b5，log185b.log3645eq f(log1895,log18f(182,9)eq f(log189log185,2log1818log189)eq f(ab,2a).延伸探究若本例(2)條件不

5、變，求log915(用a，b表示)解因?yàn)?8b5，所以log185b.所以log915eq f(log1815,log189)eq f(log1835,log189)eq f(log183log185,a)eq f(log18r(9)b,a)eq f(f(1,2)log189b,a)eq f(f(1,2)ab,a)eq f(a2b,2a).反思感悟利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧跟蹤訓(xùn)練1(1)eq f(log89,log23)的值是()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2)C1 D2答案A解析方法一將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)，即eq f(log89,log23)eq

6、f(f(lg 9,lg 8),f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 3,3lg 2)eq f(lg 2,lg 3)eq f(2,3).方法二將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對(duì)數(shù)，即eq f(log89,log23)eq f(f(log29,log28),log23)eq f(2log23,3log23)eq f(2,3).(2)計(jì)算：eq f(log5r(2)log79,log5f(1,3)log7r(3,4).解原式eq f(log5r(2),log5f(1,3)eq f(log79,log7r(3,4)eq f(1,2)log323log23eq f(3,2).二、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合

7、運(yùn)用例2(1)設(shè)3a4b36，求eq f(2,a)eq f(1,b)的值；(2)已知2x3y5z，且eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)1，求x，y，z.解(1)方法一由3a4b36，得alog336，blog436，由換底公式得eq f(1,a)log363，eq f(1,b)log364，eq f(2,a)eq f(1,b)2log363log364log36361.方法二由3a4b36，兩邊取以6為底的對(duì)數(shù)，得alog63blog64log6362，eq f(2,a)log63，eq f(1,b)eq f(1,2)log64log62，eq f(2,a)eq f(1,b

8、)log63log62log661.(2)令2x3y5zk(k0)，xlog2k，ylog3k，zlog5k，eq f(1,x)logk2，eq f(1,y)logk3，eq f(1,z)logk5，由eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)1，得logk2logk3logk5logk301，k30，xlog2301log215，ylog3301log310，zlog5301log56.反思感悟利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k0

9、)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問(wèn)題得解跟蹤訓(xùn)練2已知3a5bc，且eq f(1,a)eq f(1,b)2，求c的值解3a5bc，c0，alog3c，blog5c，eq f(1,a)logc3，eq f(1,b)logc5，eq f(1,a)eq f(1,b)logc15.由logc152得c215，即ceq r(15)(負(fù)值舍去)三、實(shí)際問(wèn)題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算例3某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)需求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%.若初始時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq f(1,3)，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則至少應(yīng)過(guò)濾的次數(shù)為(已知：lg 20.30

10、1 0，lg 30.477 1)()A6 B7 C8 D9答案C解析設(shè)至少需要過(guò)濾n次，則0.02eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)n0.001，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)neq f(1,20).所以nlg eq f(2,3)lg eq f(1,20)，即n(lg 2lg 3)lg 20，即neq f(lg102,lg 2lg 3)eq f(1lg 2,lg 3lg 2)7.4.又nN，所以n8.所以至少過(guò)濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求反思感悟關(guān)于對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用(1)在與對(duì)數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中，先將題目中數(shù)量關(guān)系理清，再將相關(guān)數(shù)據(jù)代入

11、，最后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式進(jìn)行計(jì)算(2)在與指數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中，可將指數(shù)式利用取對(duì)數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練3標(biāo)準(zhǔn)的圍棋棋盤(pán)共19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不同的情況而我國(guó)北宋學(xué)者沈括在他的著作夢(mèng)溪筆談中，也討論過(guò)這個(gè)問(wèn)題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書(shū)萬(wàn)字五十二”種，即10 00052，下列數(shù)據(jù)最接近eq f(3361,10 00052)的是(lg 30.477)()A1037 B1036 C1035 D1034答案B解析根據(jù)題意，對(duì)eq f(3361,10 00052)取常用對(duì)數(shù)得l

12、geq f(3361,10 00052)lg 3361lg 10 00052361lg 352435.8，則eq f(3361,10 00052)1035.8，選項(xiàng)B中的1036與其最接近1知識(shí)清單：(1)換底公式(2)對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2方法歸納：換底公式、轉(zhuǎn)化法3常見(jiàn)誤區(qū)：要注意對(duì)數(shù)的換底公式的結(jié)構(gòu)形式，易混淆1eq f(1,2)log23log34的值為()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C1 D.eq f(3,2)答案D解析原式eq f(1,2)eq f(lg 3,lg 2)eq f(lg 4,lg 3)eq f(1,2)eq f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 2,l

13、g 3)eq f(3,2).2已知2x3，log4eq f(8,3)y，則x2y的值為()A3 B8C4 Dlog48答案A解析由2x3得xlog23，x2ylog232log4eq f(8,3)log23eq f(2log2f(8,3),log24)log23(3log22log23)3.3已知lg 2a，lg 3b，則log36等于()A.eq f(ab,a) B.eq f(ab,b)C.eq f(a,ab) D.eq f(b,ab)答案B解析log36eq f(lg 6,lg 3)eq f(lg 2lg 3,lg 3)eq f(ab,b).4已知2a5bM，且eq f(2,a)eq f(

14、1,b)2，則M的值是_答案2eq r(5)解析因?yàn)?a5bM，且eq f(2,a)eq f(1,b)2，所以alog2M，blog5M，所以eq f(1,a)logM2，eq f(1,b)logM5，所以eq f(2,a)eq f(1,b)logM4logM5logM202，所以M220，又M0，所以M2eq r(5).1化簡(jiǎn)得log832的值為()A.eq f(1,2) B2 C4 D.eq f(5,3)答案D解析log832eq f(log232,log28)eq f(log225,log223)eq f(5,3).2log29log34等于()A.eq f(1,4) B.eq f(1,

15、2) C2 D4答案D解析方法一原式eq f(lg 9,lg 2)eq f(lg 4,lg 3)eq f(2lg 32lg 2,lg 2lg 3)4.方法二原式2log23eq f(log24,log23)224.3已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x2lg y答案D解析2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy)故選D.4已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足log2alog3blog6c，則()Aabc Bb2acCcab Dc2ab答案C解析由題意，令log2

16、alog3blog6ck，則a2k，b3k，c6k，c6k(23)k2k3kab.5.等于()Alg 3 Blg 3 C.eq f(1,lg 3) Deq f(1,lg 3)答案C解析原式=.6(多選)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a5b10，則下列關(guān)系正確的有()A.eq f(1,a)eq f(1,b)1 B.eq f(2,a)eq f(1,b)lg 20C.eq f(1,a)eq f(2,b)2 D.eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,2)答案AB解析由題意知，alog210，blog510，eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,log210)eq f(1,log510)lg

17、 2lg 51，故A正確；eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(2,log210)eq f(1,log510)lg 4lg 5lg 20，故B正確；eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,log210)eq f(2,log510)lg 2lg 25lg 50，故C，D不正確7若ln 3a，則log9e_.答案eq f(1,2a)解析因?yàn)閘n 3a，則ea3，所以log9eeq f(ln e,ln 9)eq f(1,lnea2)eq f(1,2a).8設(shè)log23log36log6mlog4(2m8)，則實(shí)數(shù)m_.答案4解析左邊eq f(ln 3,ln 2)eq f(ln 6,

18、ln 3)eq f(ln m,ln 6)log2mlog4m2，所以m22m8，解得m4或m2(負(fù)值舍去)9計(jì)算下列各式的值：(1)；(2)(log2125log425log85)(log52log254log1258)解(1)原式log535log550log514log5eq f(3550,14)log55312.(2)方法一原式eq blc(rc)(avs4alco1(log253f(log225,log24)f(log25,log28)eq blc(rc)(avs4alco1(log52f(log54,log525)f(log58,log5125)eq blc(rc)(avs4alco

19、1(3log25f(2log25,2log22)f(log25,3log22)eq blc(rc)(avs4alco1(log52f(2log52,2log55)f(3log52,3log55)eq blc(rc)(avs4alco1(31f(1,3)log253log5213log25eq f(log22,log25)13.方法二原式eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 125,lg 2)f(lg 25,lg 4)f(lg 5,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 5)f(lg 4,lg 25)f(lg 8,lg 125)eq blc(rc)(

20、avs4alco1(f(3lg 5,lg 2)f(2lg 5,2lg 2)f(lg 5,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 5)f(2lg 2,2lg 5)f(3lg 2,3lg 5)eq blc(rc)(avs4alco1(f(13lg 5,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3lg 2,lg 5)13.10設(shè)xaybzc，且eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，求證：zxy.證明設(shè)xaybzck，k0，則alogxk，blogyk，clogzk.因?yàn)閑q f(1,a)eq f(1,b)eq f(1,c)，所以eq

21、 f(1,logxk)eq f(1,logyk)eq f(1,logzk)，即logkxlogkylogkz.所以logk(xy)logkz，即zxy.11設(shè)log83p，log35q，則lg 5等于()Ap2q2 B.eq f(1,5)(3p2q)C.eq f(3pq,13pq) Dpq答案C解析log83eq f(lg 3,lg 8)eq f(lg 3,3lg 2)p，lg 33plg 2.log35eq f(lg 5,lg 3)q，lg 5qlg 33pqlg 23pq(1lg 5)，lg 5eq f(3pq,13pq).12若eq f(1,m)log35，則5m5m的值為()A.eq f(8,3) B.eq f(10,3) C.eq f(24,5) D.eq f(26,5)答案B解析由于eq f(1,m)log35，所以mlog53，.13根據(jù)有關(guān)資料，汽車二級(jí)自動(dòng)駕駛儀能夠處理空間復(fù)雜度的上限M約為1010，目前人類可預(yù)測(cè)的地面危機(jī)總數(shù)N約為36230.則下列各數(shù)中與eq f(M,N)最接近的是()(參考數(shù)據(jù)：lg 20.30，lg 30.48)A.eq f(1,10) B.eq f(1,100)C.eq f(1,1 000) D.eq f(1,10 000)答案B解析汽車二級(jí)自動(dòng)駕駛儀能夠處理空間復(fù)雜