東南大學(xué)《數(shù)值分析》上機(jī)題

1、設(shè)$廠-4J1其精確值為俁怙卜編制按從大到小的順序幾=亠+42-131Nl順序計算幾的通用程序。(2)編制按從小到大由-走+詔E+H計算“的通用程月按兩種順序分別計算,%,%,有效并指出位數(shù)。(編制程序時用單精度)通過本上機(jī)題，你明白了什么?程序代碼(matlab編程):clccleara=single(1/(2:10A7A2-l);(1)=single(0);SI(2)=1/(2A2-1);forN=3:10A2Sl(N)=a(l)；fori=2:N-lSI(N)=S1(N)+a(i);endend(l)=single(0);S2(2)=1/(2A2-1);forN=3:10A2S2(N)=

2、a(N-l);fori=linspace(N-2,1,N-2)S2(N)=S2(N)+a(i);endendS1表示按從大到小的順序的SNS2表示按從小到大的順序的SN計算結(jié)果從大到小的順序的值從小到大的順序的值精確值有效位數(shù)從大到小從小到大%0.7400490.740050.74004965幾，0.7498520.74990.749944%0.7498520.7499990.74999936通過本上機(jī)題，看出按兩種不同的順序計算的結(jié)果是不相同的，按從大到小的順序計算的值與精確值有較大的誤差，而按從小到大的順序計算的值與精確值吻合。從大到小的順序計算得到的結(jié)果的有效位數(shù)少。計算機(jī)在進(jìn)行數(shù)值計算

3、時會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象，導(dǎo)致計算結(jié)果的精度有所降低，我們在計算機(jī)中進(jìn)行同號數(shù)的加法時，采用絕對值較小者先加的算法，其結(jié)果的相對誤差較小。數(shù)值分析上機(jī)題 20（上機(jī)題）Newton迭代法（1）給定初值、及容許誤差，編制Newton法解方程/“根的通用程序。（2）給定方程弘,易知其有三個根X：=V3,a*=0,X；=J3o1由Newton方法的局部收斂性可知存在5o,當(dāng)“（一恥）時,Newton迭代序列收斂于根工;。試確定盡可能大的恥2試取若干初始值,觀察當(dāng)（一一）,x0e（-00,-1）91,（恥），1）,（is時Niwton序列是否收斂以及收斂于哪一個根。MATLAB程序問題1dx=05

4、;x(l)=0.5;while(dxle-6)i=l；error=l;while(errorle-8)x(i+l)=x(i)-(l/3*x(i)A3-x(i)/(x(i)A2-l);error=abs(x(i+1)-x(i);i=i+l;endif(x(i)=0)x(l)=x(l)+dx;elsedx=dx/2;x(l)=x(l)-dx;endend經(jīng)計算，最大的2為0.774596問題2clcclearx2(l)=lel4;i=l；error=l;while(errorle-8)x2(i+l)=x2(i)-(l/3*x2(i)A3-x2(i)/(x2(i)A2-l);error=abs(x2

5、(i+1)-x2(i);i=i+l;if(ile4)對于不同得初始值收斂于不同的根，心在（8,-1）內(nèi)收斂于，在（-0.774,0.774）內(nèi)收斂于0,在（1,+8）內(nèi)收斂于朽，但在內(nèi)（0.774,1）和（一1,0.774）均可能收斂于和厲。分析：對于不同的初值，迭代序列會收斂于不同的根，所以在某個區(qū)間內(nèi)求根對于初值的選取有很大的關(guān)系。產(chǎn)生上述結(jié)果的原因是區(qū)間不滿足大范圍收斂的條件。數(shù)值分析上機(jī)題39.(上機(jī)題)列主元三角分解法對于某電路的分析，歸結(jié)為求解線性方程組RI=VO(1)編制解n階線性方程組Ax=b的列主元三角分解法的通用程序;用所編制的程序解線性方程組RI二V,并打印出解向量，保留

6、五位有效數(shù);本編程之中，你提高了哪些編程能力?程序：clcclearA=31,-13,0z0z0z-10z0z0z0-13,35,-9,0,-11,0,0,0,00,-9,31,-10,0,0,0,0,00,0,-10,79,-30,0,0,0,-90,0,0,-30,57,-7,0,-5,00,0,0,0,-7,47,-30,0,00,0,0,0,0,-30,41,0,0zzzzzz0z0,0,0z5,0,0z27z-20,0z0/-9/0z0z0/-2,29;b=-15,27,-23,0,-20,12,-7,7,101;mzn=size(A);Ap=Azb；x=zeros(n,1);for

7、i=l:m-lj=i；maxa,maxi=max(abs(Ap(i:end,j);maxi=maxi+i-1;if(maxa=0)mid=Ap(maxi,:);Ap(maxi,:)=Ap(i,：)；Ap(i,:)=mid;fork=i:mAp(i+1:mz:)=Ap(i+1:m,:)-Ap(i+1:m,j)*(Ap(i,:)/maxa);endendendfori=linspace(mz1,m)x(i)=(Ap(i,end)-Ap(i,1:endl)*x)/Ap(1,i);end結(jié)果：方程的解為（保留5位有效數(shù)字）:xl=-0.28923,x2=0.34544,x3=-0.71281,x4=-

8、0.22061,x5=-0.43040,x6=0.15431,x7=-0.057823,x8=0.20105,x9=0.29023習(xí)題437(上機(jī)題)3次樣條插值函數(shù)(1)編制求第一型3次樣條插值函數(shù)的通用程F;(2)已知汽車曲線型值點的數(shù)據(jù)如下：012345678910兒2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80端點條件為=0&3-0.2o用所編制程序求車門的3次樣條插值函數(shù)S(x)，并打印出S(i+05)(i=0,1,-9)o程序：1)clcclear%x=0,lz2,3z4,5z6z7,8z9z10；y=2.51,3.30z4.04z4.7,

9、5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70z5.80;yl=08;yend=02;%n=size(x,2)-1;h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)/(h(1:end-1)+h(2:end);1amda=1-miu;f1=ylz(y(2:end)-y(1:end-1)/h,yend;%fxn-1,xnf2=f1(2:end)-f1(1:end-1)/h(l)zh(1:end-1)+h(2:end),h(end);%fxn-1zxn,xn+lA=2Sye(n+1);A(2:end,1:end-1)=A(2:end,1:end-1)+diag(m

10、iu,1*);A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag(1,lamda1);M=A(6*f2f);Sx=y(l:end-1)z(y(2:end)-y(l:end-1)/h)-(1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)*hl)z1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1)/hf;%xx=input(zx=r);forj=2:n+1ifxxx(j)S=Sx(j-l,:)*l,xx-x(j-l),(xx-x(j-l)A2,(xx-x(j-l)A3；breakendendclcclear%x=0zlz2,3z4z5z6

11、z7z8z9z10；y=2.51,3.30,4.04,4.7,5.22,5.54,5.78,5.40,5.57,5.70,5.80;yl=08;yend=02;%n=size(x,2)-1;h=x(2:end)-x(1:end-1);miu=h(1:end-1)/(h(1:end-1)+h(2:end);lamda=l-miu;f1=yl,(y(2:end)-y(1:end-1)/h,yend;%fxn-1zxnf2=fl(2:end)-fl(l:end-l)/h(l)zh(1:end-1)+h(2:end)zh(end);%fxn-1zxnzxn+lA=2(n+1);A(2:end,1:en

12、d-1)=A(2:end,1:end-1)+diag(miu,1);A(1:end-1,2:end)=A(1:end-1,2:end)+diag(1,lamda1);M=A(6*f2);Sx=y(l:end-1)z(y(2:end)-y(l:end-1)/h)-(1/3*M(1:end-1)+1/6*M(2:end)*h-),1/2*M(1:end-1)z1/6*(M(2:end)-M(1:end-1)/hf;%fori=0:9xx=i+0.5;forj=2:n+1ifxx05e-5)xzy=meshgrid(linspace(c,dz2Ak+l),linspace(azbz2Ak+l);h=

13、(b-a)/2Ak;l=(d-c)/2Ak;z=f(x,y)；zl=z(1:end-1,1:end-1);z2=z(1:end-1,2:end);z3=z(2:end,1:end-1);z4=z(2:end,2:end);t(k)=h*l/4*(sum(sum(zl)+sum(sum(z2)+sum(sum(z3)+sum(sum(z4);%extrapolationif(k=2)T(l,k-l)=4/3*t(k)-l/3*t(k-l);%T(l)error=min(error,abs(t(k)-t(k-1);if(k=3)T(2fk-2)=16/15*T(lzk-l)-1/15*T(1,k-

14、2);%T(2)error=min(error,abs(T(1,k-1)-T(1,k-2);if(k=4)T(3zk-3)=64/63*T(l,k-2)-1/63*T(1,k-3);%T(3)error=min(error,abs(T(2,k-2)-T(2zk-3);if(k=5)endendendendk=k+l;enderror=min(error,abs(T(3,k-3)-T(3fk-4);T(f)Tf)Tf)0.51979650.3440320.3373930.38797340.3378080.3365920.35034950.3366680.3365240.34008870.3365

15、330.336521Tf)0.3377090.336650.3365310.33742180.33652160.3367464I(f)=0.33652二分6次習(xí)題623.(上機(jī)題)常微分方程初值問題數(shù)值解(1)編制RKU方法的通用程序;(2)編制AB4方法的通用程序(由RKU提供初值);(3)編制AB4-AM4預(yù)測校正方法的通用程序(由RK4提供初值);編制帶改進(jìn)的AB4-AM4預(yù)測校正方法的通用程序(由RKu提供初值)；對于初值問題門j亍(0X1.5)y(o)3取步長“0.1，應(yīng)用(1)(4)中的四種方法進(jìn)行計算，并將計算結(jié)果和精確解y(x)=3/(l+x)作比較;(6)通過本上機(jī)題，你能得

16、到哪些結(jié)論?程序:%Originalquestionf=inline(1-x*x*y*yz1xzy1);yo=3；h=01;xstr=0;xend=l5;x=xstr:h:xend;八yx=3/(1+x3);n=size(xz2);%RK4methodRK4y(l)=yO;fori=l:n-1kl=f(x(i),RK4y(i)；k2=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*kl);k3=f(x(i)+h/2,RK4y(i)+h/2*k2);k4=f(x(i)+h,RK4y(i)+h*k3);RK4y(i+l)=RK4y(i)+h/6*(kl+2*k2+2*k3+k4);end%AB4me

17、thodAB4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1AB4y(i+1)=AB4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zAB4y(i)-59*f(x(i-l),AB4y(i-1)+37*f(x(i-2)zAB4y(i-2)-9*f(x(i-3)zAB4y(i-3);end%AB4-AM4predictivemethodBM4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1yp(i+1)=BM4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zBM4y(i)-59*f(x(i-l),BM4y(i-1)+37*f(x(i-2)zBM4y(i-2)-9*f(x(i-3),BM4y(i-

18、3);BM4y(i+1)=BM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+l),yp(i+1)+19*f(x(i)zBM4y(i)-5*f(x(i-1),BM4y(i-l)+f(x(i-2)zBM4y(i-2)；end%ImprovedAB4-AM4predictivemethodimprBM4y(1:4)=RK4y(1:4);fori=4:n-1yP(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(55*f(x(i)zimprBM4y(i)-59*f(x(i-l)zimprBM4y(i-1)+37*f(x(i-2)zimprBM4y(i-2)-9*f(x(i-3)zimprBM4y(i-3);yc

19、(i+1)=imprBM4y(i)+h/24*(9*f(x(i+1)zyP(i+1)+19*f(x(i),imprBM4y(i)-5*f(x(i-1),imprBM4y(i-1)+f(x(i-2),imprBM4y(i-2);imprBM4y(i+1)=251/270*yc(i+1)+19/270*yP(i+1);end%Error計算結(jié)果：x(k)y(x)RIG方法謀差A(yù)B4方法澳差.XB4-AM4謀差帶改進(jìn)AB4-AM4瞇帶改進(jìn)的AB4-AM4預(yù)測校正方法結(jié)論AM4預(yù)測校正方法精度更高，ab4方法比AB41033030303020.12.9970032.9970031J7E-072.997

20、0031JJ7E072.9970031.87E.Q72.9970031.87E-0730.22.976192.976193.92E-072976193.92E072.976193.92EU72.976193.92E4I740.32.9211329211297.58E-072.9211297J8E-0729211297.58E-0729211297.58E4750.42.8195492.8195471.61E-062.8183890.0011628196780.00013281958838E4)560.52.6666672666663318E-062.664672000199426668760.00020926667134.62E-0570.62.4671052.46715.01E-062.4652030.00190324672520.0001472