電磁場與電磁波 第4版 第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解1

1、電荷體密度標量電流標量電流密度矢量庫倫力矢量電場強度矢量電位移矢量矢量（為電介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）安培力矢量磁場強度矢量磁感應密度矢量（為磁介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系）恒定電磁場時變電磁場邊界條件為分界面上的自由電荷面密度 為分界面上的自由電流面密度 第3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 以矢量分析和亥姆霍茲定理為基礎(chǔ)，討論靜電場、恒定電場的特性和求解方法。 首先建立真空、電介質(zhì)和導電媒質(zhì)中電場的基本方程；引入電位函數(shù); 導出電位滿足的泊松方程和拉普拉斯方程；確立電場的邊界條件 。 最后討論電容的計算，電場能量的計算。 實驗表明，導體中有恒定電流通過時，在導體內(nèi)部和它周圍的媒質(zhì)中 ，不僅有恒定電場 ，同時還有

2、不隨時間變化的磁場 ，簡稱 恒定磁場。 首先建立真空與磁介質(zhì)內(nèi)恒定磁場的基本方程；引入矢量位A;確立磁場的邊界條件；在特定條件下引入標量位 。 最后討論自感和互感的計算、磁場能量和磁場力。 3.1 靜電場分析的基本變量 關(guān)系式 稱為真空的電特性方程或本構(gòu)關(guān)系 靜電場的源變量是電荷 第2章中已由庫侖定律引入了電荷 產(chǎn)生的電場強度 任意電荷分布產(chǎn)生的電場強度 定義任意電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量 3.1.1 靜電場的基本方程 邊界條件真空中電場的基本方程電場強度E的邊界條件：或表示為電位移矢量D 的邊界條件用矢量表示為分界面上的自由電荷面密度直角坐標系3.1.2 電位函數(shù)由 ， 稱為靜電場的標量位函數(shù)

3、，又稱電位函數(shù) 由此可求得電位的微分在任意方向上的分量 空間A、B 兩點的電位差 若選取 為電位參（即 ）， 則任意點 的電位為 對于點電荷的電場，其電位為 體電荷 、面電荷 、線電荷 產(chǎn)生的電位分別為若取 處的電位為零，則由在直角坐標系中電位的泊松方程若空間電荷分布為零，則有電位滿足的拉普拉斯方程格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。具體說明兩個場之間的關(guān)系格林第二恒等式由散度定理為閉合面S的外法向單位矢量， 為體積V內(nèi)任意兩個標量函數(shù)， 為矢量。設而得格林第一恒等式同理，若設格林第一恒等式表示為利用格林函數(shù)的性質(zhì)和格林第二恒等式可得到有界空間中的泊松方程的積分解以上公式說明，只要知道區(qū)域 內(nèi)

4、的電荷分布 以及區(qū)域邊界面 上的電位 和電位梯度 值，就可求出區(qū)域內(nèi)的電位分布。3.1.3 導體系統(tǒng)的電容電容：導體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量 電位的邊界條件由 N 個導體組成的導體系統(tǒng)，其中第i個導體的電位與自身的電荷和其他導體的電荷關(guān)系為 其中 為常數(shù)，稱為電位系數(shù)，與系統(tǒng)中所有導體的形狀、位置及周圍介質(zhì)有關(guān)。（共有 N 個方程） 由以上N 個方程可解出（共有 N 個方程） 當 時 稱為電容系數(shù)， 時 稱為感應系數(shù)，且 引入，方程 可寫為與導體i的電位成正比與導體i、j的電位差成正比其比值3.1.4 靜電場的能量 電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)過程中外界提供的能量。 設系統(tǒng)完全建立時，最終的電荷

5、分布為 ，電位為 。 設充電過程中，各點的電荷密度按其終值的同一比例因子 增加，則各點的電位也將按同一因子增加。即在某一時刻電荷分布為 時，其電位分布為 。 的變化為 。 整個充電過程外界對整個系統(tǒng)提供的總能量 用場變量表示該能量為 單位體積的能量，稱為能量密度 對某一體積元 ， 變?yōu)?時（此時電位為 電荷增加 ）外界提供的能量3.1.5 靜電力 靜電場中，個個帶電體都受電場力作用。理論上，庫侖定律可以計算電場力 用虛位移法計算靜電力。1. 各帶電體的電荷保持不變- 電場力做功依靠系統(tǒng)的電場能量減少實現(xiàn)，電荷不變，系統(tǒng)與外界隔絕2. 各帶電體的電位保持不變系統(tǒng)不與外界隔絕，外部提供能量。3.2

6、 導電媒質(zhì)中的恒定電場分析 由JE 可知，導體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。 恒定電場與靜電場重要區(qū)別： （1）恒定電場可以存在導體內(nèi)部。 （2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。 恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。 3.2.1 恒定電場的基本方程和邊界條件1. 基本方程 恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式： 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度 線性各向同性導電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)

7、系 恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷2. 恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1 場矢量的邊界條件即即 導電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場矢量的折射關(guān)系 電位的邊界條件 恒定電場同時存在于導體內(nèi)部和外部，在導體表面上的電場 既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因 而導體表面不是等位面； 說明：媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1 如21、且290，則10， 即電場線近似垂直于與良導體表面。 此時，良導體表面可近似地看作為 等位面； 若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即10，則 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即導體中 的電流和電場與分界面平行。3.2.2 恒定電場與靜電場的

8、比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學問題。只需求出一種場的解，就可以用對應的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區(qū)域） 本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場3.3 恒定磁場分析 第2章中已由安培力定律引入了恒定電流元產(chǎn)生的磁感應強度 關(guān)系式 稱為真空的磁特性方程或本構(gòu)關(guān)系。 恒定磁場的源變量是電流密度矢量 3.3.1 恒定磁場的基本方程和邊界條件真空中磁場的基本方程 任意電流閉合回路c 產(chǎn)生的磁感應強度

9、定義任意電流閉合回路c 產(chǎn)生的磁場強度 磁場強度H 的邊界條件：若分界面上沒有自由的表面電流磁感應強度B 的邊界條件用矢量表示代入矢量磁位3.3.2 矢量磁位和標量磁位 為了簡化磁場的求解，通常采用間接方法。 由磁場的散度為零，引入矢量磁位。 利用磁場的旋度方程導出矢量磁位滿足的微分方程。由其單位為Tm（特米）或Wb/m（韋/米）得即得矢量位的泊松方程規(guī)定其散度（庫侖規(guī)范）1. 矢量磁位而另一矢量（ 為任一標量函數(shù)）則有說明 也是矢量磁位若（A為矢量磁位）這是因為， 因此，為了惟一確定矢量位，除了規(guī)定A的旋度外，還必須規(guī)定A的散度值。在恒定磁場中，一般令 該條件稱為庫侖規(guī)范，又稱庫侖條件，在時

10、變場中將采用洛侖茲條件。庫侖規(guī)范在直角坐標系中可分解為三個標量泊松方程其解于是，矢量位滿足的泊松方程的解為體電流 、面電流 、線電流產(chǎn)生的矢量位分別為 矢量磁位滿足的邊界條件 由由在恒定磁場無電流區(qū)域標量磁位，單位：A（安培）。 標量磁位 僅適合于無自由電流區(qū)域，且無物理意義。標量磁位 的特點：2. 標量磁位 標量磁位 滿足的微分方程 標量磁位滿足的邊界條件 3.3.3 電感 在線性介質(zhì)中，一個電流回路在空間任意一點產(chǎn)生的 B與電流成正比，因而穿過任意回路的磁通 也與電流成正比；若一回路由N匝導線繞成，則總磁通是各匝磁通之和，成為磁鏈，用 表示。且可近似為 當磁場由自身回路的電流產(chǎn)生則回路磁鏈

11、與電流之比稱為自感系數(shù)，簡稱自感，單位為H（亨） 第1回路電流 產(chǎn)生的磁場與第二回路交鏈的磁鏈為 ，則比值稱為互感系數(shù)，簡稱互感，單位仍為H 同樣，第2回路電流 產(chǎn)生的磁場與第一回路交鏈的磁鏈為 ，其比值同樣稱為互感系數(shù) 自感與互感都僅取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和介質(zhì)的磁導率?；ジ羞€與兩個回路的相互位置有關(guān)。兩個單匝回路的互感設回路1通過電流而所以同理由此可見諾伊曼公式單匝回路的自感 對于單匝回路，可將電流看作集中于軸線回路 上，而將計算磁通的回路取作導線邊緣的回路 ，應用諾伊曼公式計算自感為與電流交鏈 以上計算的自感只考慮了導線外部的磁通，故稱為外自感；在導線內(nèi)部的磁力線同樣套鏈著電流，其

12、磁鏈與電流比值定義為內(nèi)自感。 假設單匝回路，其橫截面積導線內(nèi)的磁場穿過圖中面積的磁通為穿過圖中面積的磁鏈為長度為l一段圓截面導線的內(nèi)自感為而回路j 的磁鏈為3.3.4 磁場能量 電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流過程中由電源供給的。 當電流從零增加時回路感應電動勢將阻止電流的增加，外加電壓須克服感應電動勢 而作功，使回路能量增加。 若所有回路固定，且忽略焦耳損耗，則電源作功將全部變?yōu)殡娏骰芈废到y(tǒng)的磁場能量，這時回路上的外加電壓和回路中的感應電動勢大小相等方向相反。回路j 中的感應電動勢為外加電壓dt 時間內(nèi)與回路j 相連的電源所作的功若系統(tǒng)包含N個回路，增加的磁場能量為互感系數(shù)自感系數(shù)假設所有回路中

13、的電流同時從零開始以百分比 同比例增加，即則，于是充電過程完成后，系統(tǒng)的總磁場能量例單回路雙回路用場量表示該磁場能量單位體積的磁場能量稱為磁場能量密度3.3.5 磁場力 兩個載流回路間的磁力可由安培力公式計算。也可與靜電力的計算類似，用磁場能量的空間變化率來計算磁場力。磁鏈不變 兩個回路的磁鏈不變，即 回路 發(fā)生位移，兩回路中電流必定發(fā)生變化，才能維持兩回路的磁鏈不變 兩回路中沒有感應電動勢（因為磁鏈不變），故與回路相連的電源不對回路輸入能量。 回路 位移時所須的機械功只有靠磁場能量減少來完成。 電流不變 兩個回路電流不變，即 回路 發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生變化，才能維持兩回路電流不變

14、。兩個回路的能量為 上式表明：在 不變的情況下磁場能量的改變（即磁力）僅是由于互感 的改變引起的。 前面假設的 不變和 不變是在一個回路發(fā)生位移時的兩種假設，無論假設 不變還是 不變，求出的磁場力是相同的。 兩回路中都有感應電動勢（因為磁鏈發(fā)生變化），與回路相連的電源要作功來克服感應電動勢以保持兩個回路的電流不變。 電源作功為 即電源輸入能量的一半用于增加磁場儲能，另一半用于回路 位移所需的機械功。得3.4 靜態(tài)場的邊值問題及解的唯一性定理 靜電場的邊值問題是在給定邊界條件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。 實際邊值問題的邊界條件分為三類第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件3.4.1 邊值問題的類型 靜態(tài)場問題通常分為兩大類：分布型問題和邊界型問題。 分布型問題：已知場源分布，通過積分公式求各點場分布。 邊界型問題：已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)的場分布。通常又分為解析法和數(shù)值法。 可以證明在