最新Buck-Boost電路建模及分析

1、題目：Buck-Boost電路建模及分析摘要：作為研究開關(guān)電源的基礎(chǔ)，DC-DC開關(guān)變換器的建模分析對優(yōu)化開關(guān)電源的性能和 提高設(shè)計效率具有重要意義。而Buck-Boost電路作為DC-DC開關(guān)變換器的其中一種電路拓 撲形式，因其輸出電壓極性與輸入電壓相反，而幅度既可比輸入電壓高，也可比輸入電壓 低，且電路結(jié)構(gòu)簡單而流行。為了達到全面而深入的研究效果，本文對Buck-Boost電路進行了穩(wěn)態(tài)分析和小信號分 析。穩(wěn)態(tài)分析中，首先介紹了電路工作原理，得出了兩種工作模式下的電壓轉(zhuǎn)換關(guān)系式， 并同時可知基于占空比怎樣計算其輸出電壓以及最小最大電感電流和輸出紋波電壓計算公 式；接著推導(dǎo)了狀態(tài)空間模型，以

2、在MATLAB中進行仿真；而最后仿真得到的電感電流、輸 出電壓的變化規(guī)律符合理論分析。小信號分析中，首先推導(dǎo)了輸出與輸入間的傳遞函數(shù)表 達式，以了解低頻交流小信號分量在電路中的傳遞過程；接著分析其零極點，且仿真繪制 波特圖進行了驗證。經(jīng)過推導(dǎo)與研究，穩(wěn)態(tài)分析和小信號分析下仿真得到的變化規(guī)律均與理論上的推導(dǎo)一 致。關(guān)鍵詞：Buck-Boost；穩(wěn)態(tài)分析；小信號分析；MATLAB仿真概論現(xiàn)代開關(guān)電源有兩種：直流開關(guān)電源、交流開關(guān)電源。本課題主要介紹直流開關(guān)電源， 其功能是將電能質(zhì)量較差的原生態(tài)電源，如市電電源或蓄電池電源，轉(zhuǎn)換為滿足設(shè)備要求 的質(zhì)量較高的直流電源，即將“粗電”轉(zhuǎn)換為“精電。直流開關(guān)

3、電源的核心是DC-DC變換 器。作為研究開關(guān)電源的基礎(chǔ)，DC-DC開關(guān)變換器的建模分析對開關(guān)電源的分析和設(shè)計具 有重要意義。DC-DC開關(guān)變換器最常見的三種電路拓撲形式為：降壓(Buck)、升壓(Boost) 和降壓-升壓(Buck-Boost) 1，如圖1-1所示。其中Buck-Boost變換器因其輸出電壓極性 與輸入電壓相反，而幅度既可比輸入電壓高，也可比輸入電壓低，且電路結(jié)構(gòu)簡單而流行。(a) Buck型電路結(jié)構(gòu)(b) Boost型電路結(jié)構(gòu)(c) Buck-Boost型電路結(jié)構(gòu)圖1-1 DC-DC變換器的三種電路結(jié)構(gòu)本課題針對Buck-Boost變換器的建模分析進行深入研究，以優(yōu)化開關(guān)電

4、源的性能和提 高設(shè)計效率。根據(jù)傳輸信號的種類，DC-DC變換器模型可以分為穩(wěn)態(tài)模型、小信號模型和大信號模 型等，其中穩(wěn)態(tài)模型主要用于求解變換器在穩(wěn)態(tài)工作時的工作點；小信號模型用于分析 低頻交流小信號分量在變換器電路中的傳遞過程，是分析與設(shè)計變換器的有力數(shù)學(xué)工具， 具有重要意義；大信號模型則主要用于對變換器進行數(shù)值仿真計算，有時也用于研究不滿 足小信號條件時的系統(tǒng)特性。DC-DC變換器的建模方法有很多種，包括基本建模法、狀態(tài)空間平均法、開關(guān)元件與 開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均模型法等。雖然每種方法有其不同的著眼點和建模過程，但它們的最基本 思路是相同的。這是因為在實際變換器電路中，用于構(gòu)成開關(guān)的有源開關(guān)元件和二

5、極管都 是在其特性曲線的大范圍內(nèi)工作，從而使變換器成為一個強非線性電路。針對變換器的這 一特殊性，各種建模方法均采取如下建模思路：首先，對變換器中的各變量在一個開關(guān)周 期內(nèi)求平均，以消除高頻開關(guān)紋波的影響；其次，分解各平均變量，將它們表達為對應(yīng)的 直流分量與交流小信號分量之和，方程兩邊直流分量、交流分量對應(yīng)相等，從而達到分離 小信號的目的；最后，對只含小信號分量的表達式作線性化處理，將非線性系統(tǒng)在直流工 作點附近近似為線性系統(tǒng)，從而線性系統(tǒng)的各種分析與設(shè)計方法均可應(yīng)用于DC-DC變換器?；谶@一思路直接得到的方法稱為基本建模法；開關(guān)元件與開關(guān)網(wǎng)絡(luò)平均模型法則是 以受控源為基礎(chǔ)的開關(guān)元件或開關(guān)網(wǎng)

6、絡(luò)的等效平均電路，也稱為大信號等效電路，由此進 一步求得直流等效電路和交流小信號等效電路；而狀態(tài)空間平均法是對這一思路的直接應(yīng) 用，即用狀態(tài)方程的形式具體描述建模過程，其簡化了計算過程，可操作性更強，更具普 遍適用性。因此，本課題采用狀態(tài)空間平均法進行建模。Buck-Boost電路穩(wěn)態(tài)分析如緒論中所述，Buck-Boost電路的輸出電壓幅度可低于或高于輸入電壓。如果將源電 壓的負端作為參考節(jié)點，則輸出電壓的極性與源電壓相反。Buck-Boost電路原理圖如下圖 2-1所示，其中SW1、SW2均為理想開關(guān)。Buck-Boost電路可以在連續(xù)導(dǎo)通模式(CCM)和非 連續(xù)導(dǎo)通模式(DCM)下工作。連

7、續(xù)導(dǎo)通模式在穩(wěn)態(tài)工作時，整個開關(guān)周期內(nèi)都有電流連續(xù) 通過電感；而非連續(xù)導(dǎo)通模式下的電感電流是不連續(xù)的，即在開關(guān)周期內(nèi)的一部分時間電 感電流為0，且它在整個周期內(nèi)從0開始，達到一個峰值后，再回到0。圖2-1 Buck-Boost電路原理圖2.1 CCM模式分析在連續(xù)導(dǎo)通模式下，Buck-Boost電路在每個開關(guān)周期內(nèi)有兩種工作狀態(tài) 當(dāng)SW1閉 合、SW2斷開時，為開態(tài)(ON)，如圖2-2(a)所示；當(dāng)SW1斷開、SW2閉合時，為關(guān)態(tài)(OFF)， 如圖2-2(b)所示。下面分別對這兩種工作狀態(tài)進行分析：開態(tài)：參考圖2-2(a)，輸入電壓直接加載在電感兩端，且由于加載的電壓通常必須為 定值，因此電感

8、電流線性增加，而所有的輸出負載電流由輸出電容C提供。其中，“開態(tài)” 的時間設(shè)為ton= DxT，D為控制回路設(shè)定的占空比，代表了開關(guān)在“開態(tài)”的時間占整 個開關(guān)周期T的比值。如圖2-3所示。關(guān)態(tài)：參考圖2-2(b)，由于SW1斷開，電感電流減小，電感兩端電壓極性翻轉(zhuǎn)，且其 電流同時提供輸出電容電流和輸出負載電流。根據(jù)電流流向可知輸出電壓為負的，即與輸 入電壓極性相反。因為輸出電壓為負的，因此電感電流是減小的，而且由于加載電壓必須 是常數(shù)，所以電感電流線性減小。其中，“關(guān)態(tài)”的時間設(shè)為toff = DxT，且因為對于連 續(xù)導(dǎo)通模式，電路在整個開關(guān)周期中只有兩種狀態(tài)，因此D = 1 -D。如圖2-

9、3所示。以下論文所有討論中變量均只表示大小，其具體方向如圖2-2中所示。till圖2-2 Buck-Boost電路等效原理圖圖2-3 CCM模式下Buck-Boost電路電感電流波形圖為推導(dǎo)Buck-Boost電路在穩(wěn)態(tài)連續(xù)導(dǎo)通模式下的電壓轉(zhuǎn)換關(guān)系，首先分析開關(guān)周期中電感兩端的電壓，然后根據(jù)“伏秒平衡”原則7即可得到。因為，電感兩端的電壓為:di(2.1 )VL = FV 則電感電流的增加量或減少量為：叫=V ATL2.2而參考圖2-2可知，開態(tài)、關(guān)態(tài)時電感兩端的電壓分別為VL1 = Vs、2 = V，其中Vs、 分別表示輸入電壓和輸出電壓。M G)= *tL l on 叫(-)=V T -

10、ton)因此，可得：ton t T(2.3 )在穩(wěn)態(tài)條件下，開態(tài)下的電流增加量叫（+）與關(guān)態(tài)下的電流減小量ail （-）必須相等。否 則，在一個周期到下一個周期，電感電流就會有一個凈的增加量或減小量，這就不是穩(wěn)態(tài) 了，即其滿足“伏秒積平衡”原則。 TOC o 1-5 h z AL（+）= AL（-）（24 ）LL.fVton = V（TTon）（2.5 ）解得： HYPERLINK l bookmark12 o Current Document V 1 -DD = V + V（2.6）ss因此，式（2.6）即為Buck-Boost電路在穩(wěn)態(tài)連續(xù)導(dǎo)通模式下的電壓轉(zhuǎn)換關(guān)系式。且 根據(jù)上式可知，輸出

11、電壓與占空比成正比例關(guān)系，占空比越大，其輸出電壓越大；反之占 空比越小，其輸出電壓越小。又電感電流為：1 t，L。） = L VLdT + Zm in（2.7 ）其中V :電感兩端的電壓 、Imin : t=10時刻的電感電流將 VL1 = Vs、VL2 = V 代項得：1於）=Kt+1 .0ttonL1m inonV（2.8 ）iL2（t）= L - ton）+ Im axton t T如果輸出電容旁路掉iL （t）中所有的諧波，則負載電流等于電感平均電流。但在 Buck-Boost電路中，參考圖2-2可知，電感只有在“關(guān)態(tài)”時才與負載連接，因此僅僅電 感平均電流的一部分流過負載電流。Io

12、= （1 D）xIL“）（2.9 ）根據(jù)上式可知，電感平均電流與輸出負載電流成正比例關(guān)系，因為電感紋波電流ail與ton輸出負載電流無關(guān)，而電感電流的最大值、最小值精確地跟隨電感平均電流變化。例如， 當(dāng)電感平均電流由于負載電流降低而減小1A時，電感電流的最大值和最小值也會隨著減小 1A （假定一直工作在CCM模式下）。時，電感電流達到最大。同時由上述分析可知，當(dāng)如圖2-3中電感電流波形所示，DV t= s +1 .Lf m in計算矩形區(qū)和三角區(qū)的面積總和為:m ax(2.10 )+ TI .m in(2.11 )底）=出+1 .L avg 2 Lf m in聯(lián)合式（2.9）（2.12）可得最

13、小、最大電感電流計算公式為: I =_L-DV m in 1 - D 2 LfI =里+性m ax 1 - D 2 Lf(2.12 )(2.13 )現(xiàn)推導(dǎo)輸出紋波電壓計算公式：根據(jù)上述電路分析可知，當(dāng)電感與負載連接時，電容電流等于電感電流減負載電流;A = - T 2電感平均電流即為上式所表示的面積與開關(guān)周期的比值:當(dāng)電感與負載沒有連接時，負載電流由電容提供。因此，根據(jù)式（2.8）可得:0 t t(2.14 )onLSt= t t )+1 I t t TC 2 l on m ax o on根據(jù)電荷平衡原則，電容電流在整個開關(guān)周期內(nèi)的積分為零，因為積分代表面積，即電荷。因此，在圖2-4所示的圖形

14、中，時間軸上下的面積必須相等。因此，電荷:輸出紋波電壓:圖2-4 CCM模式下Buck-Boost電路電容電流波形圖VDQ = CAV = Itnn =亍AV =VDRfC(2.15 )(2.16 )AVDr =V RCf紋波：(2.17 )2.2 DCM模式分析現(xiàn)在我們研究當(dāng)導(dǎo)通模式從連續(xù)變?yōu)榉沁B續(xù)，負載電流降低時會發(fā)生什么。根據(jù)式 (2.9),我們知道在連續(xù)導(dǎo)通模式下，電感平均電流跟隨輸出電流變化，也即是，如果輸 出電流減小，則電感平均電流也會減小。此外，電感電流的最大值和最小值也會準確地隨 著電感平均電流變化。如果輸出負載電流減小到臨界電流水平以下，在開關(guān)周期的一部分時間內(nèi)電感電流就 會

15、變?yōu)?。在Buck-Boost電路中，如果電感電流試圖降低到0以下時，它就會停在0 (實 際電路中SW2 只允許單向電流通過)，并保持為0直到下一個開關(guān)周期的開始。這個工作模 式就叫做非連續(xù)導(dǎo)通模式(DCM)。相比CCM，DCM在每個開關(guān)周期內(nèi)有三種工作狀態(tài)6當(dāng) SW1閉合、SW2斷開時，為開態(tài)(ON)；當(dāng)SW1斷開、SW2閉合時，為關(guān)態(tài)(OFF)；當(dāng)SW1、SW2 均斷開時，為空閑態(tài)(IDLE)。前兩種狀態(tài)與CCM模式是一樣的，因此圖2-2顯示的電路也 是適用的，但。&-D)x T，且開關(guān)周期的剩余時間即為空閑態(tài)(IDLE)。如圖2-5所示，為便于分析 將各狀態(tài)的持續(xù)時間分別表示為：開態(tài)(O

16、N)時間 為ton= DxT，其中d為占空比，由控制電路來設(shè)定，表征開關(guān)開態(tài)內(nèi)的時間與開關(guān)周期 總時間T的比值；關(guān)態(tài)(OFF)時間為tof = D2xT而空閑態(tài)(IDLE)時間即為開關(guān)周期的剩 余時間 T fn-y = D3 x T圖2-5 DCM模式下Buck-Boost電路電感電流波形圖同理CCM：* = Ld = K AT(2.18)dtL0 t DT，(+)=匕xt = LdT= IL L on L pkV V(2.19)DT t (D + D 2 T AIl(-)= x toff = D T紋波電流幅度匕(+)也是峰值電感電流偵，因為在DCM模式下，每個周期內(nèi)電流都 是從0開始的。同

17、理，與CCM模式一樣，開態(tài)(ON)下的電流增加量Ml(+)與關(guān)態(tài)(OFF)下的 電流減小量Ml(-)必須相等。令/+)=/-)，即“伏秒積平衡” VDT = VDT，解得：LLs2DD(2.20 )同理，因為電感只有在“關(guān)態(tài)”時才與負載連接，利用輸出負載電流I0與電感平均電流IL質(zhì))的關(guān)系可得:即：V =D.R22 LI, 八1 V 2虧=D22 JDTDT(2.21 )(2.22 )聯(lián)合式(2.20)(2.22)解得:設(shè)陣蘭則:RTD 2 = xkV D=7k sV -D = 一 y kVs(2.23 )因此，式(2.23)即為Buck-Boost電路在穩(wěn)態(tài)非連續(xù)導(dǎo)通模式下的電壓轉(zhuǎn)換關(guān)系式。

18、且根據(jù)上式可知，輸出電壓與占空比也成正比例關(guān)系，占空比越大，其輸出電壓越大；反 之占空比越小，其輸出電壓越小。同時，由上述分析可知，最小、最大電感電流計算公式為:(2.24 )或=0Im a、= 3 =叩現(xiàn)推導(dǎo)輸出紋波電壓計算公式：由上述分析可知，電感電流為:s=V+或iL ()= %ion)+1m axL 3 )= 0因此，電容電流為:涕)=IolC2)= J -lon)+ L ax0tDTDT t (D + D 2 T(D + D 2 T t T0tDTDT t (D + D 2 T(D + D 2 T t Lccm時，Buck-Boost電路則工作在CCM模式L Lccm，因此其工作于連

19、續(xù)導(dǎo)通模式下。程序思路：包含兩個m文件。buck_boost.m文件：子函數(shù)，定義狀態(tài)導(dǎo)數(shù)函數(shù)x = Ax + Bu，且包括定義矩陣B、向量u，因為控制輸入矩陣B與狀態(tài)變量v有關(guān)，因 此也在此m文件中定義；CCM.m文件：主程序，ode23函數(shù)求解微分方程。且同時定義矩陣A以及電感電流、輸出電壓初始化，其中初始化遵循一個原則，即讓系統(tǒng)更快速的達到穩(wěn) 態(tài)。仿真程序具體代碼見附錄A。仿真結(jié)果：Inductor CurrentOutput Voltage仿真結(jié)果分析：對于電感電流，理論上根據(jù)式(2.13)可得:I - 絲=5 Amin 1 - D 2 LfIm axDV - / +- = 7 A1

20、- D 2 Lf對照上圖可知，電感電流達到穩(wěn)態(tài)時需要一定時間，但仿真結(jié)果整體符合理論分析。 而對于輸出電壓，理論上根據(jù)式(2.17)可得：=16.7%AVDr V RCf對照上圖可知，輸出電壓約為理論值12VDC，且輸出紋波電壓約為2.06VDC，則紋波 r=2.06/12=17.1%，仿真結(jié)果符合理論分析。實際中，增大輸出電容可改善這一現(xiàn)象，即紋波減小。DCM仿真及分析DCM的仿真過程相對來說更復(fù)雜，因為當(dāng)電路工作在DCM模式下時，電感電流在每個 開關(guān)周期的開始必須為0。而ode23函數(shù)為提高數(shù)值精度，其本身會調(diào)整算法的步長，即 其步長不是常量，這則會導(dǎo)致關(guān)閉時間的電感電流不一致。因此這里采

21、用四階Runge-Kutta 算法 即用一個小的步長，但其為常量來替代可變步長，以維持精度和排除由可變步長 所造成的問題。電路參數(shù)值取為：Vs=12VDC、V=12VDC、R=4.0Q、L=10uH、C=220uF、f=20kHz。 根據(jù)式(2.23)可得D=0.224。而根據(jù)式(2.31)可得臨界電感為：TG - D）2 RLccm =2f= 25uH而實際電感L = 10uH Ts = T 也1* x。Ts + B1us tt+dTs=T 如土xG)；Ts + 昨u (T)Ts dTs +A2；x(T)整理后得：s：x (t) T = d (t )A1 + d G)A21 x(t )：T

22、+ d (t )B1 + d 們B 2)u (t )T式(3.8)即為CCM模式下DC-DC變換器平均變量狀態(tài)方程的一般形式。、分離擾動lu(t)；Ts . u(t)(3.5 )(3.6 )(3.7 )(3.8 )得到平均變量狀態(tài)方程以后，為進一步確定變換器的靜態(tài)工作點，并分析交流小信號 在靜態(tài)工作點處的工作狀況，應(yīng)對平均變量進行分解，分解為直流分量與交流小信號分量 之和。因此，對平均向量 乂)吳、:u()t作如下分解： ：x( ) T= X +x()(3.9 ) :u (t )： T = U + u (t)同時對含有交流分量的控制量d(t)進行分解，分解形式同前，則有：d(t)= D + d

23、G)d4)=1 d(t)= Df-d(t)(3.10 )其中，D = 1 D(3.11 )將式(3.9)、(3.10)代入到式(3.8)中，并合并同類項，可得：X + x()= AX + BU + Ax(t Bu(th (A1 A2)X + (B1 B2U d(h (A1 A2)x()d(h (B1 B2)u(t)d()其中，A = DA1 + DA2B = DB1 + DB2(3.12 )在上式中，等號兩邊的直流分量、交流分量對應(yīng)相等，因此可得：X = A-1BU(3.13 )x()= Ax(th Bu(th (A1 A2)X + (B1 B2Ud(h (A1 A2)xG)d(h(B1 B2

24、)u(t)d() (3.14 )式（3.14）即為變換器交流小信號狀態(tài)方程，方程中狀態(tài)向量的穩(wěn)態(tài)值X由式（3.13） 確定。但上式為非線性方程，還需在靜態(tài)工作點附近將其線性化。三、線性化分析式（3.14）可知，等號右側(cè)的非線性項均為小信號的乘積項。而如上所述，當(dāng)變 換器滿足小信號假設(shè)時，小信號乘積項的幅值必遠遠小于等號右側(cè)其余各項的幅值，因此 可在方程中將這些乘積項略去，且不會給分析引入較大的誤差，以達到將非線性的小信號 方程線性化的目的。因此可得線性化的小信號狀態(tài)方程為：x（t）= Ax（t Bu（t-A2）X +（B1 - B2UdG）（3.15）綜上，式（3.15）即為用狀態(tài)空間平均法為

25、CCM模式下DC-DC變換器建立的交流小 信號模型。為求得變換器的動態(tài)小信號特性，現(xiàn)對其作拉氏變換，并設(shè)各狀態(tài)變量的初始 值均為零，因此可得：sx（s）= Ax（sBu（ （A- A2）X +（B1 -B2UdG）（3.16 ）xQ-QBu（s/-A）1 廈-勺貝 +S-B2Ud（s）（3.17 ）其中，I為單位矩陣。因此：（）G （s）= i_ i） =（sI-A）-1 B（）xui d（s）= 0（3.18 ）u（s）式（3.18）即為一般DC-DC變換器CCM模式下的傳遞函數(shù)表達式，現(xiàn)只需對Buck-Boost 電路進行具體分析，求出矩陣A、B代入即可。Buck-Boost 電路:令狀態(tài)

26、向量、輸入向量分別為:()i(t)X(t )= A )(3.19 )其中，i（t）為電感電流，v（t）為電容電壓或輸出電壓，V G）為輸入電壓。 g如前分析，可知CCM模式下電感電壓、電容電流ic（t）在兩種工作狀態(tài)下的表達式分別為：工作狀態(tài)1：IodTs iC (t )= C將上式寫成狀態(tài)方程形式，則有:dv(t)dtv(t)R(3.20 )(3.21 )V (t)gRC將式（3.21）與式（3.1）相對應(yīng)，可得:00 1A1 =0B1 =LL RC0(3.22 )工作狀態(tài)2：dTs Ts VL (t )= L =A)i 1 )=瘁=，1)-甲(3.23 )同理，將上式寫成狀態(tài)方程形式，則有

27、:方）0-1i (t)0Lv(t )J=1 CiRCLv(t )J+L0V (t)g(3.24 )將式（3.24）與式（3.2）相對應(yīng)，可得:因此:01 A=L211一L cRC JD,0 A = DA1 + DA2 = DB = DB1 + DB 2 =(3.25 )(3.26 )將A、L L RC JB值代入式（3.18）中，并根據(jù)x（t）、u（t）的定義，可得:因此:L gD 1lsLDD1L-s+0L cRCJ 1D (1 :L “RCJ 些LCD 1 +一 s + s2LC RC(3.27 )VgVQ A ()d (s) = 0(3.28 )式（3.28）即為Buck-Boost電路

28、在CCM模式禹輸出出與輸入間的傳遞函數(shù)表達式。若寫為一般形式:d (s) = 0_G1=Gt go/1+點+Qwo頃(3.29 )Ggo =DDwo = Ts 九TIT, + B 3：- d 1 - d 2 TJTs +1 A1 + d 2 A2 + G d 1 - d 2 3) x(t) T + (d 1B1 + d 2 B 2 + G d 1 為便于表達，定義 d 3 = 1 - d 1 - d 2 ，則：t+Cd i+d 2UW：T T s(3.33 )】X G)Ts = G 1A1 + d 2 A2 + d 3 A3)X(t) t+ (d ibi + d 2B 2 + d 3 B).u

29、 C ) t(3.34 )式(3.34)即為DCM模式下DC-DC變換器平均變量狀態(tài)方程的一般形式。但相比CCM 模式，其增加了一個未知量d()，而d()可根據(jù)d()求得，因此需增加兩個輔助分析 條件，其一為電感平均電流，其二為電感平均電壓。首先分析電感平均電流，這里的電感平均電流指其在瞬時值不為零的時間內(nèi)，即Io (d 1+d2T期間內(nèi)的平均值。根據(jù)低頻假設(shè)與小紋波假設(shè)，可近似認為電感電壓在L dT與dT (d 1 + d2T時間段內(nèi)分別維持恒定，分別用VL dT、與VL d2T表示，對 應(yīng)的電感電流分別按斜率為SVAT.與的線性規(guī)律變化，因此可將電感平均電流表 達為：L F粉= 一Lrt1

30、/花弟= 11 d + d2T V dT = VTdT (3 35 ) 頃 31 + d 2 T31 + d 2 T L 2 1 2 s L I、2 L Ld 1Ts 1 s (3-35)VL,dT表達為輸入平均電壓通過分析變換器在開關(guān)周期中的工作狀態(tài)1，總可以將M。;上與輸出平均電壓項久 的函數(shù)，即：(3.36 )t的線性函數(shù)。將上式代入到電感平均電流 sVL ,d 1Ts頊vg妙苧山) 對于DC-DC變換器，f為 v(t)；Ts與:v(t的表達式中，可得：(i(tt= VdT =虬 f (V (t)：T，認)*)= gd，:v (t)：T，展)：)(337 )Ts2 LL，d Tis 2

31、L gTs T 1 g，T、.- ts3.3/)現(xiàn)在分析電感平均電壓，這里指其在一個開關(guān)周期內(nèi)的平均值。因為變換器工作在 DCM模式下，因此電感電流在每個周期的起始時刻和終止時刻i都）等于零0 即，根據(jù)伏秒平衡，必然攜）0 L ；T s 一部）,=0VL （ ）；T = 1 jVL GT = 11+ 1j vg ）T = tst=Q 1+d 嶺t,膈*_=（d 1 + d 2）L 嘩式（3.40）利用了 DCM模式下電感電壓VL（t）在Rd 1 + d2T將式（3.40）代入到式（3.39）中可得：ds = 0dt1 t+(d i j d 2 )Tt了 di G) 7LdTd氣(3.38 )(

32、3.39 )（3.40 ）Ts階段等于零的條件。(3.41 )式（3.37）、（3.41）即為狀態(tài)空間平均法中為確定d（）而增加的輔助分析條件。因此 狀態(tài)方程式（3.34）和輔助方程式（3.37）（3.41）共同組成了分析DCM變換器的平均變量 方程組。二、分離擾動首先處理式（3.34）所示狀態(tài)方程。與CCM模式一樣，將平均變量分解為直流分量與 交流小信號分量之和，如式（3.9），同時：d #)= D1 + d d ( )= D 2 + d # )(3.42 )d ( )= D 3 + d ( )= 1 - d 1(t)- d ( )=(1 - D1 - D 2 )-d &)+ d ()即：d

33、3 =1 - D1 - D2d*)=- dd#)將式(3.9)、(3.42)代入到式(3.34)中，可得:,x (t )Ts=文 + x()=( A、D1 + d人 + k( A d3+d3 a3 kX + x()( A D + d 1 B1 + k”，eD2 + d2 B2 + D3 + d3 B3 k 7 kU + u (t)(3.43 )在上式中，等號兩邊的直流分量、交流分量對應(yīng)相等，因此可得:(3.44 )AX + BU = 0 xt )= A xt h B u G h (A - A)X +(B - B 3d + E(A2 - A)X +(B 2 B 3d 2 +(A1 - A)(11

34、 x(t(A2 A3)d2x(tL(B1 B3)du(t(B2 B)d2uG)(3.45)其中，A = D1 A1 + D2A2 + D3A3B = D1B1 + D2B2 + D3B3(3.46 )其次處理式(3.37)所示的輔助條件。為便于將結(jié)果中的直流項、一階交流項與高階 交流項分離開來，采取對(i(t)Ts作Taylor級數(shù)展開的方法分離變量，可得：寸(t) T= 1 + iG )= g (1， Vg 0 T土 v(t) Pa dg (d1,V ,V) j 6g D，:v (t) ,V f)8g D ,V，:v(t X.=gD|,V ,V)+ d g 1，g， + v ()1g、+貳)

35、VH匚1 g 1ddg伊V 1人矛而兀+高階非線性交流項1g Ts在上式中，等號兩邊的直流分量、交流分量對應(yīng)相等，因此可得：1=g D1,比V )=攵(Vg ,V) ，Vg(虹 + 確)g D1，%飛V()T 。：&)工(3.47 )(3.48 )G)= d1 也V” + Vdd1g8(v+高階非線性交流項最后處理式(3.41)所示的輔助條件。d.i (t)dI di()八=+= 0dt dt dtdi()八=0dt而直流項史=0，因此:dt(3.49 )(3.50 )(3.51 )求解方程綜上，式(3.44)(3.48)組成了變換器在DCM模式下的直流分量方程組，組可以得到變換器的直流工作點

36、和穩(wěn)態(tài)時的D2值。式(3.45)(3.49)(3.51)組成了變換 器在DCM模式下的交流分量方程組，但方程組中除式(3.51)外均為非線性方程，還需將 各非線性方程線性化。三、線性化對式(3.45)(3.49)作線性化處理。當(dāng)變換器滿足小信號假設(shè)時，只需將式(3.45) 中的小信號乘積項略去，即可得到變換器在DCM模式下的線性交流小信號狀態(tài)方程，且 不會引入較大的誤差，則線性小信號狀態(tài)方程為：x(t)= A x(th B u(tL KA A3)X + (B B3jd+ Ka? A3)X + (B2 B3)ld2(3.52 )對于式(3.49)，其中的一階交流項為線性項，當(dāng)變換器滿足小信號假設(shè)

37、時，可以忽略當(dāng)感電流小信號方程為： u (). T，V + vt )6 6 Vg 9 Ts勞島)Ts(3.53 )式中的高階非線性交流項，得到線性化的 i(t)= d也Q + v (t度 1 dd 1g式(3.51)(3.52)(3.53)即組成了變換器在DCM模式下的線性交流分量方程組，根據(jù)式(3.51) (3.52) (3.53)可以建立變換器的DCM小信號等效電路并分析變換器的DCM 低頻動態(tài)特性。DCM變換器的等效電路：為求得一般DC-DC變換器在DCM模式下的傳遞函數(shù)表達式，需在上述利用狀態(tài)空間 平均法為變換器建立解析模型的基礎(chǔ)上，繼續(xù)建立等效電路模型。但DCM等效電路模型 不同于C

38、CM標準型電路，無法在同一電路結(jié)構(gòu)中為直流、交流兩種狀態(tài)建模，只能分別 建立直流等效電路和交流小信號等效電路。統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的DCM直流等效電路如圖3-1 (a)所示4,圖中的理想變壓器可以變換直流,變壓器的變比M為理想變換器的電壓變比M=-,其不僅是控制變量。，的函數(shù)，同時 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark116 o Current Document V1與負載人、電感心開關(guān)周期T有關(guān)。*統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的DCM交流小信號等效電路如圖3-1 (b)所示囹，之所以如此設(shè)計等效電路的結(jié)構(gòu)，是由于輸入電流4)易于表達為A)、uG)與的函數(shù)，線性化后可表達為：Sg1(3.54 )i 0=-gj d%)g ir gii根據(jù)式(3.54)即可建立輸入側(cè)等效電路。g2v GL j 2 g J 21對于輸出電壓0),分析過程中易于將其一階變量uG)也表達為uG)與G)與G)的函 數(shù)，用電容C乘vG)使其具有物理意義，并對函數(shù)作線性化處理后可整理為：(3.55 )根據(jù)式(3.55)即可建立輸出側(cè)等效電路。圖3-1 DCM模式下理想變換器直流與交流小信號等效電路(a)直流等效電路 (b)交