等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)精講[知識(shí)點(diǎn)+典型例題]

1、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)精講知識(shí)精講.等差數(shù)列的定義：an an 1 d （d為常數(shù)）（n 2）;【例1】設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且$=2n2-5n,證明數(shù)列an是等差數(shù)列?！纠?】設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S=n2,則an是（）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列*.等差數(shù)列通項(xiàng)公式：anai （n 1）d dn a d（n N ）,首項(xiàng)為a1，公差為d,末項(xiàng)為an推廣：an am (n m)d ,從而 d aam； n m總結(jié)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 （n 1）d dn a1 d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為

2、公差 d ；說(shuō)明：等差數(shù)列的單調(diào)性： d 0為遞增數(shù)列，d 0為常數(shù)列，d 0為遞減數(shù)列。1 TOC o 1-5 h z 【例1 1 （2003年全國(guó)局考題）等差數(shù)列 an中，已知a=3，a2+a5=4, an=33,則門(mén)為（）A. 48B. 49C. 50D. 51【例2】首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 ?！纠?】（2006年全國(guó)卷1）設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1 +a2+a3=15,a1a2a3=80,貝Uan+a12+a13等于 （）【例4】若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-10n（n = 1,2,3, 丹此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ;數(shù)列nan中數(shù)值最

3、小的 項(xiàng)是第 項(xiàng)。.等差中項(xiàng)（1）如果a, A, b成等差數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：a 3 或2A a b2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列an是等差數(shù)列2anan-1an1（n 2）2amanan2【例1 如果等差數(shù)列an中，a3 a4 a5 12,那么a1 a2 L a7【例2】已知1, a, b成等差數(shù)列，3, a+2, b+5成等比數(shù)列，則等差數(shù)列的公差為（A. 3 或3B. 3 或1C. 3D. 3a9 10 ,則a5的值為（【例3】（2010年高考重慶卷文科 2）在等差數(shù)列 an中，a1A、5B、6C 8D、10【例4】在等差數(shù)列an中，a2+a6=32;則sin(2a4 3)=

4、()C.32D.【例5】（2009北京東城高三第一學(xué)期期末檢測(cè)）已知an為等差數(shù)列，若a+a5+a9=兀，則cos（a2+a8）的值為【例6】等差數(shù)列an的前三項(xiàng)為x 1, x 1, 2x 3,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）nai 鮑一1)d dn2 (a1 - d)n An2 Bn (其中 A、B 是常數(shù), 222A. an2n 1 B. an 2n 1C. an 2n 3 D. an 2n 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn n（& an）2所以當(dāng)dwo時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為 0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，an 1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)：S2nl2n 1 a1 a2

5、n 12n 1 an 1（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）【例1】（2011年高考江西卷文科）設(shè)an為等差數(shù)列，公差d = -2, Sn為其前n項(xiàng)和.若S10 1,則a1=（）【例2】設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，若S3 3 24，則a9 TOC o 1-5 h z 【例3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,若S972,則22 a4a9.【例4】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,若S972,貝岫a5為a.【例5】設(shè)an是公差為-2的等差數(shù)列，如果 a1+a4+-. +a97 =50,那么a3+a6+ a9+- -. +a99 =（）B.-78【例6】（2006年重慶高考題）

6、在等差數(shù)列an中，若a4+a6=12, Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則S9的值為（）B.54【例7】（1）已知等差數(shù)列 an的前5項(xiàng)之和為25,第8項(xiàng)等于15,求第21項(xiàng)。(2)等差數(shù)列-16, -12, -8；前幾項(xiàng)的和為72.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)m n p q時(shí)，則有am an ap aq ,特別地，當(dāng) m n 2P時(shí)，則有am an 2ap注：ai an a? an 1 a3 an 2,【例1】已知an是等差數(shù)列，且a4 a7a1o57自aa6而77,若ak13,則k= 【例2】在等差數(shù)列an中，若ada6a84。a12120 ,則2a1042 【例3】等差數(shù)列 an中，a2+a7+ a

7、12 =24,求S13 = 【例4】已知an為等差數(shù)列，a1+a8+ a3+ a8=100,求a1o= 【例5】(2005年福建高考題)已知等差數(shù)列an中，a7+a9=16, a4=1,則a12=()B.30(2)若an、 bn為等差數(shù)列，則 an b , 1an2bn都為等差數(shù)列(3)若an是等差數(shù)列，則Sn,S2n Sn,S3n $2n , 也成等差數(shù)列【例1】在等差數(shù)列an中, 若 S=1, S8=4,貝U a9+a10+a11+a12= 【例2】設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n和.若S4 L 則里 TOC o 1-5 h z S83S16.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值311【例1】已知數(shù)列an為等

8、差數(shù)列，若 0的n的最大值為()a10A. 11B. 19C. 20D. 21【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=n(n-40),則下列判斷正確的是()0,a210,a21000【例4】等差數(shù)列an中，a1 25【例3】等差數(shù)列an中，a0, $=S9,則與取最大值時(shí)，n= S9 S17,問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大并求此最大值。【例5】若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)0, a2003a20040 , 32003 320040 ,則使前n項(xiàng)和Sn 0成立的最大正整數(shù)6.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問(wèn)題【例1】（武漢調(diào)研）已知等差數(shù)列 an bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若一- ,求一- TOC o 1-5 h z

9、HYPERLINK l bookmark8 o Current Document Tn 3n 138【例2】（2004年福建高考題）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a5 5 ,則9（）339S5A. 1B. -1【例3】設(shè)an與bn是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前7.設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)an a1 （n 1）d奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為 ，a 2d,a偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為 ，a 3d ,a【例1】成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第二個(gè)C. 2D. 一2n項(xiàng)和分別為Sn和Tn ,若Sn 3n 1 ,那么anTn 4n 3bnd,a,a d, a 2d （公差為 d ）;d,a d,a 3d ,（注意；公

10、差為2d）與第三個(gè)數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù)。8.設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，d為公差,N是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和,Sn是前n項(xiàng)的和SJa1a3a5n a1a2n 1a2n 1nanS偶a2a4a632 nn 3232nnan 122G禺SWnan 1nan n a。1 4=ndSwnananS禺nan 1an 1當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí),當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，則SfS偶(2n 1)an+1SS 偶 an+1Si(n1)an+1SgyS偶nan+in 1 , , , ，一、 （其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)）【例1】一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和胃354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32:27,求公差d【例2】項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列 an的奇數(shù)項(xiàng)的和和偶數(shù)項(xiàng)的