《現(xiàn)代分析測試》04-05晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)

1、22 晶體幾何學(xué)基礎(chǔ) 晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣 晶體的晶面和晶向第二章 X射線衍射方向晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)固體物質(zhì)的分類 晶體 準(zhǔn)晶體 非晶體晶體的定義：晶體是由許多質(zhì)點(diǎn)（包括原子、離子或原子團(tuán)）在三維空間呈周期性排列而形成的固體。（長程有序） 對稱性：晶體的宏觀外形和內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)都具有特定的 對稱性。均一性：晶體內(nèi)部各個(gè)部分的宏觀性質(zhì)是相同的。各向異性：晶體中不同的方向上具有不同的物理性質(zhì)。封閉性：晶體是由多個(gè)晶面組成的有限封閉體。自由能最?。涸谄胶鈼l件下，晶體相是自由能最小的物相。晶體的物理特點(diǎn)金剛石 鍺酸鉍鄰苯二甲酸氫典型的晶體形態(tài)典型的晶體形態(tài) 空間點(diǎn)陣為了反映原子排列的周期性，用幾何點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）代

2、替原子或原子團(tuán)。這些結(jié)點(diǎn)在三維空間的周期性排布與晶體中的原子或原子團(tuán)的排布完全相同。所有結(jié)點(diǎn)的幾何環(huán)境和物理環(huán)境是相同的。晶體結(jié)構(gòu)空間點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)基元(原子或原子團(tuán))空間點(diǎn)陣示意圖晶體結(jié)構(gòu)和空間點(diǎn)陣之間的關(guān)系空間點(diǎn)陣是從晶體結(jié)構(gòu)中抽象出來的幾何圖形，它反映晶體結(jié)構(gòu)最基本的幾何特征。將原子安放在布拉菲點(diǎn)陣的結(jié)點(diǎn)上即形成晶體結(jié)構(gòu)。(d)甲烷晶體 四種具有面心立方點(diǎn)陣的晶體 晶體結(jié)構(gòu) 空間點(diǎn)陣的選?。悍从尘w結(jié)構(gòu)的周期性和對稱性?？臻g點(diǎn)陣 二多一少（等長度軸要多，直角要多，晶胞體積要?。┚О倪x取原則5 Bravais Lattice in 2DP PNPSquarea=b =90Rectangular

3、a b=90Centered Rectangulara b=90Hexagonala=b=120Obliquea b905 Bravais Lattice in 2D晶胞：在空間點(diǎn)陣中，能代表空間點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的小平 行六面體，反映晶格特征的最小幾何單元。 整個(gè)空間點(diǎn)陣可由晶胞作三維的重復(fù)堆砌而構(gòu)成。一個(gè)晶胞的典型結(jié)構(gòu)晶胞結(jié)構(gòu)Lattice parameters: a, b, c; a, b, g7 Crystal SystemsThe 14 Bravais Lattices 七大晶系、14種Bravais點(diǎn)陣晶系單胞特征Bravais點(diǎn)陣三斜abc, 簡單三斜abg90單斜abc, 簡單單斜a

4、g 90=b底心單斜正交abc, 簡單正交，底心正交a=b=g=90 體心正交，面心正交三角a=b=c, 簡單三角a=b=g120 90, 60四方a=bc, 簡單四方a=b=g=90 體心四方六角a=b, 六角b=g=90, a=120立方a=b=c, 簡單立方，體心立方a=b=g=90面心立方晶系最低特征對稱素晶胞形狀三斜單斜正交三角四方六角立方無對稱素一個(gè)二次對稱軸三個(gè)互相垂直的二次對稱軸一個(gè)三次對稱軸一個(gè)四次對稱軸一個(gè)六次對稱軸四個(gè)三次對稱軸任意的平行六面體直立的平行六面體矩形的平行六面體菱形，或與六角晶系的晶胞相同直立的柱體，底部為正方形直立的柱體，底部為菱形立方體七大晶系所要求最低

5、的對稱性Simple Cubic LatticeCaesium Chloride (CsCl) is primitive cubicDifferent atoms at corners and body center. Also CuZn, CsBr, LiAgCoordinate： （000）BCC Lattice-Iron is body-centered cubicIdentical atoms at corners and body center (nothing at face centers) Also Nb, Ta, Ba, Mo.Coordinate： （000）（1/2, 1

6、/2, 1/2 ）FCC LatticeCopper metal is face-centered cubicIdentical atoms at corners and at face centers also Ag, Au, Al, Ni.Coordinate：（000）（1/2, 1/2, 0） (0, 1/2, 1/2 ） (1/2, 0, 1/2 ）e.g. NaCl Na at corners: (8 1/8) = 1 Na at face centres (6 1/2) = 3Cl at edge centres (12 1/4) = 3 Cl at body centre =

7、1Unit cell contents are 4(Na+Cl-)晶胞與原子關(guān)系螢石結(jié)構(gòu)（ CaF2 ）氯化鈉結(jié)構(gòu)(NaCl)晶體結(jié)構(gòu)輝鉬礦的化學(xué)成分：MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；輝鉬礦的特征：鉛灰色，金屬光澤，硬度低，底面解理極完全，比重大，光澤強(qiáng)。晶體結(jié)構(gòu)石墨的晶體結(jié)構(gòu)金剛石的晶體結(jié)構(gòu)C60的晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)石墨金剛石C60晶體結(jié)構(gòu)X衍射圖譜晶面指數(shù)與晶向指數(shù) 晶向：晶體中的某些方向，涉及到晶體中原子的位 置，原子列方向，表示的是一組相互平行、方向一致的直線指向。晶面：晶體中原子所構(gòu)成的平面。晶體結(jié)構(gòu)中的晶向和晶面相當(dāng)于空間點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)直線和結(jié)點(diǎn)平面，國際上通用的是用密

8、勒指數(shù)表示晶面及晶向。步驟 a.建立坐標(biāo)系,以某一陣點(diǎn)為原點(diǎn)O,以三個(gè)基矢為坐標(biāo)軸,以晶胞邊長作為坐標(biāo)軸的長度單位。b.作直線OP平行與待標(biāo)志的晶向或待標(biāo)定晶向的直線通過坐標(biāo)原點(diǎn)。c.確定通過原點(diǎn)直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)值。D.將坐標(biāo)值化為.最小整數(shù)并加上方括號UVW晶向指數(shù)標(biāo)定方法晶體結(jié)構(gòu)中那些原子密度相同的等同晶向稱為晶向軸，用表示 晶面指數(shù)的標(biāo)定方法晶面指數(shù)確定步驟： 建立坐標(biāo)系 確定晶面在各坐標(biāo)軸上的截距 取截距的倒數(shù)，并通分，化為最小的簡單整數(shù)（hkl）晶體中具有等同條件（這些晶面的原子排列情況和面間距完全相同），而只是空間位向不同的各組晶面稱為晶面族，用 hkl表示。(100)(111)

9、(200)(110) 晶面族晶面間距(d)：兩個(gè)相鄰的平行晶面間的垂直距離。對立方晶系而言：一般是晶面指數(shù)數(shù)值越小，其面間距較大，并且其陣點(diǎn)密度較大，而晶面指數(shù)數(shù)值較大的則相反。晶面間距晶面間距(100) intersects with a at 1 b at (100) c at (200) intersects with a at 1/2 b at (200) c at (110) intersects with a at 1 b at 1 (110) c at 立方晶系中點(diǎn)陣常數(shù)與晶面的關(guān)系晶面間距(d)公式：立方晶系：四方晶系：正交晶系：晶面間距晶面夾角的計(jì)算公式立方晶系正方晶系所有相

10、交于某一晶向直線或平行于此直線的晶面構(gòu)成一個(gè)晶帶，此直線稱為晶帶軸。設(shè)晶帶軸的指數(shù)為UVW，則晶帶中任何一個(gè)晶面的指數(shù)（hkl）都必須滿足：hu+kv+lw=0，滿足此關(guān)系的晶面都屬于以UVW為晶帶軸的晶帶，已知兩個(gè)非平行的晶面指數(shù)為（h1k1l1）和（h2k2l2）則其交線即為晶帶軸的指數(shù)。晶 帶 屬于001晶帶的某些晶面晶 帶 倒易點(diǎn)陣 P.1361）倒易點(diǎn)陣概念倒易點(diǎn)陣是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)概念，最初德國晶體學(xué)家布拉未所采用，1921年愛瓦爾德發(fā)展了這種晶體學(xué)表達(dá)方法。正點(diǎn)陣：與晶體結(jié)構(gòu)相關(guān)，描述晶體中物質(zhì)的分布規(guī)律，是物質(zhì)空間或正空間。倒易點(diǎn)陣：與晶體中的衍射現(xiàn)象相關(guān)，描述的是衍射強(qiáng)度的分布

11、，是倒空間。 晶體的空間點(diǎn)陣是描述原子或原子團(tuán)在三維空間中平移周期性的一種表達(dá)方式，是由具體的晶體結(jié)構(gòu)抽象出來的。由于空間點(diǎn)陣的內(nèi)容代表了真實(shí)的物質(zhì)，是具體的客觀存在。 倒易空間點(diǎn)陣是由正空間點(diǎn)陣推導(dǎo)出來的，倒易空間點(diǎn)陣不代表真實(shí)的物質(zhì)內(nèi)容，是抽象的客觀存在。但是倒易空間點(diǎn)陣在描述X射線和電子衍射方面具有諸多便利。因?yàn)閺牡挂钻圏c(diǎn)與反射球面的相對幾何關(guān)系就能判斷在方向是否有衍射束出現(xiàn)。 倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣是由正點(diǎn)陣派生出的幾何圖像，是晶體點(diǎn)陣的另一種表達(dá)形式?？梢詫⒕w點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)與其電子或X射線衍射斑點(diǎn)很好聯(lián)系起來。我們觀測到的衍射花樣實(shí)際上是滿足衍射條件的倒易點(diǎn)陣的投影。倒易點(diǎn)陣已成為解釋物質(zhì)衍射

12、現(xiàn)象、揭示晶體結(jié)構(gòu)、以及理論研究中不可缺少的手段和工具倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣的定義假設(shè)給定一個(gè)基矢為a,b,c的正點(diǎn)陣，則必然有一個(gè)倒易點(diǎn)陣與它相對應(yīng)，記倒易晶胞的基矢為a*,b*,c*，兩者之間的關(guān)系為：分別將上式點(diǎn)乘a，b，c得到：aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0dababcc*c*a, c*b; c* =(a, b構(gòu)成的平行四邊形的面積）/（晶胞體積） 1 /dab001*(001)倒易點(diǎn)陣的定義倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣根據(jù)定義在倒易點(diǎn)陣中,從倒易原點(diǎn)到任一倒易點(diǎn)(hkl)的矢量稱倒易矢量ghkl g*hkl =可以得出: 1.g*矢量的長

13、度等于其對應(yīng)晶面間距的倒數(shù) g*hkl =1/dhkl 2.其方向與晶面相垂直 g* /N(晶面法線) 3. 倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面1晶面間距 *= 例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 倒易點(diǎn)陣的作法 首先求基矢，然后利用基矢繪圖。由a,b,c,求a*,b*,c*,*,*,*進(jìn)而求倒易點(diǎn)陣.同樣可求 得b*,c*。同樣可求 得 *, *。正空間七大晶系在倒易空間它的晶系仍然不變。正空間所有的矢量運(yùn)算-埸論，在倒易空間均能用。對于一種正點(diǎn)陣，其倒易點(diǎn)陣是唯一的，與基矢的選取無關(guān). 正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系 正、倒點(diǎn)陣在晶體幾何中的關(guān)系1）正點(diǎn)陣中的一

14、個(gè)方向uvw垂直與倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)同名晶面（uvw）*,即uvw （uvw）*。 倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)方向hkl*垂直于正點(diǎn)陣中的同名晶面(hkl). hkl* (hkl) （證明）2）正點(diǎn)陣中，晶面（hkl）的面間距dhkl是其同名倒易矢量長度ghkl的倒數(shù)，即dhkl=1/ghkl; （證明） 倒易點(diǎn)陣中，晶面（uvw）*的面間距duvw*是正點(diǎn)陣中同名矢量長度ruvw的倒數(shù)，即duvw*1/ruvw。倒易點(diǎn)陣在晶體學(xué)中的應(yīng)用 1晶面間距公式 *= 例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 1/dHKL2=（H2+K2+L2）a2二個(gè)面的夾角就是由二個(gè)面法線的夾角來表示，而在這里

15、就是二個(gè)面對應(yīng)的倒易矢量之間夾角。 （H1K1L1） （H2K2L2） 倒易點(diǎn)陣在晶體學(xué)中的應(yīng)用 由此式可求出夾角 例 立方系 課堂習(xí)題 1. 試求出立方晶系111晶帶的倒易點(diǎn)陣平面。 解： 利用晶帶定律：HU+KV+LW=0 ，用試探法，根椐晶帶定律找出不共線的的兩個(gè)倒易點(diǎn)。 代入晶帶定律檢證 ，利用公式計(jì)算兩倒易點(diǎn)對應(yīng)倒易矢量的長度和夾角。根椐點(diǎn)陣特征周期性，繪出晶帶其它的倒易點(diǎn)。 課堂習(xí)題倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)總結(jié)1）正點(diǎn)陣基矢與倒易點(diǎn)陣基矢之間的關(guān)系： aa*= bb*= cc*=1 ab*= ac*= ba*= bc*= ca*= cb*= 0 2）倒易點(diǎn)陣中，由原點(diǎn)O*指向任意坐標(biāo)為（h,

16、k,l） 陣點(diǎn)的矢量ghkl（倒易矢量）為： ghkl=ha*+kb*+lb*3）倒易矢量的長度等于正點(diǎn)陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù) ghkl=1/dhkl4）對于正交點(diǎn)陣，有： a/a*, b/b*, c/c* a*=1/a , b*=1/b , c*=1/c5）在立方點(diǎn)陣中，晶面法線方向和同指數(shù)的的晶 向是重合(平行)的。即倒易矢量ghkl是與相應(yīng) 指數(shù)的晶向hkl平行的。倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)總結(jié)(hkl)晶面可用一個(gè)矢量或矢量端點(diǎn)來表示，顯然，這種將二維平面用一維矢量或零維點(diǎn)來表示的方法，使晶體幾何關(guān)系簡單化。 一個(gè)晶帶的所有面的矢量（點(diǎn)）位于同一平面，具有上述特性的點(diǎn)、矢量、面分別稱為倒易點(diǎn)，倒易矢量、倒易面。因?yàn)樗鼈兣c晶體空間相應(yīng)的量有倒易關(guān)系。倒易點(diǎn)陣與衍射點(diǎn)陣關(guān)系晶帶與倒易面正、倒點(diǎn)陣之間晶帶之間的倒易關(guān)系正點(diǎn)陣中的一個(gè)晶帶與倒易點(diǎn)陣中的一個(gè)過原點(diǎn)的面相對應(yīng)，或者倒易點(diǎn)陣中一個(gè)過原點(diǎn)的平面代表著正點(diǎn)陣中的一個(gè)晶帶。由于晶帶軸uvw與晶帶面(hkl)的倒易矢之間存在uvw hkl*關(guān)系，所以：已知兩個(gè)晶面（h1k1l1）, （h2k2l2）,即可利用晶帶軸定律，求出晶帶軸。 h1 k1 l1 h1 k1 l1u:v:w= h2 k2 l2 h2 k2 l2例（1