電子技術(shù)導(dǎo)論第1章-開關(guān)理論基礎(chǔ)

1、1.1 二進(jìn)制系統(tǒng)1.2 數(shù)制與碼制1.3 邏輯函數(shù)及其描述工具1.4 布爾代數(shù)1.5 卡諾圖1.6 數(shù)字集成電路第1章 開關(guān)理論基礎(chǔ)1.4 布爾代數(shù)1.4.1 布爾代數(shù)的基本定律1.4.2 布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則（續(xù)）1.4.3 用布爾代數(shù)簡化邏輯函數(shù)1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法1.4.5 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 目的：要求學(xué)會(huì)證明函數(shù)相等的方法，運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律，得出一些常用公式。吸收律：（互補(bǔ)率）說明：兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若乘積項(xiàng)分別包含B和/B兩個(gè)因子。而其余因子相同。則兩項(xiàng)定能合并成一項(xiàng)，消去B和/B兩個(gè)因子。 說明：兩個(gè)乘積項(xiàng)相與時(shí)，其中一項(xiàng)的部分因子恰好是另一乘積項(xiàng)的補(bǔ)（/

2、A)，則該乘積項(xiàng)中的/A是多余的。吸收律：對(duì)偶式：對(duì)偶式：布爾代數(shù)若干常用公式包含律：推論：對(duì)偶式：證：布爾代數(shù)若干常用公式A+BC = (A+B)(A+C)證：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互換率：對(duì)偶式：加對(duì)乘的分配率：對(duì)偶式：布爾代數(shù)若干常用公式1.4 布爾代數(shù)1.4.1 布爾代數(shù)的基本定律1.4.2 布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則1.4.3 用布爾代數(shù)簡化邏輯函數(shù)1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法1.4.5 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式 本節(jié)主要介紹如何用代數(shù)法將邏輯函數(shù)簡化為最簡與-或式。掌握了最簡

3、與或式的方法，就可以利用對(duì)偶規(guī)則化簡邏輯函數(shù)為最簡或與表達(dá)式。與項(xiàng)中的變量最少。與門輸入端少。與項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少。與門少，或門輸入端少。最簡與-或式的標(biāo)準(zhǔn)：如果將F進(jìn)行化簡：實(shí)現(xiàn)該函數(shù)要用兩個(gè)與門和一個(gè)或門。1.4.3 邏輯函數(shù)的代數(shù)（公式）化簡法一、合并項(xiàng)法合并項(xiàng)利用代入規(guī)則：互補(bǔ)率 根據(jù)代入規(guī)則，公式中A 和B都可以是任何復(fù)雜的邏輯式。邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：（合并項(xiàng)）（包含律）消去多余因子及多余項(xiàng)。利用公式例：化簡（吸收律）（包含律）二、吸收法邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：提公因子兩次求反，一次反演三、消去（項(xiàng)）法消去多余因子。例：化簡解：（加對(duì)稱的分配率）邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：四、配項(xiàng)法

4、利用公式 利用包含率將二項(xiàng)變?yōu)槿?xiàng)（增加BC項(xiàng)）再與其它乘積項(xiàng)合并。以求得最簡結(jié)果。互補(bǔ)律配項(xiàng)，將一項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)。例：化簡解：邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：五、綜合法合并項(xiàng)法、吸收法、消去法、配項(xiàng)法。邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：代數(shù)化簡法優(yōu)點(diǎn) ： 不受變量限制。缺點(diǎn)：化簡方向不明確，一般采用試湊法，要有一定技巧。解：首先將或與表達(dá)式通過求對(duì)偶變?yōu)榕c或表達(dá)式，利用公式法在與或表達(dá)式中進(jìn)行化簡。（分配率）（合并項(xiàng)）（包含率）（分配率）第二步：將對(duì)偶式再次求對(duì)偶，得到或與表達(dá)式的最簡或與式。六、將或-與表達(dá)式 化簡為 最簡與-或式邏輯函數(shù)代數(shù)化簡常用方法：1.4 布爾代數(shù)1.4.1 布爾代數(shù)的基本定律1.4

5、.2 布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則1.4.3 用布爾代數(shù)簡化邏輯函數(shù)1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法1.4.5 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式常用邏輯函數(shù)表示方法有：1、邏輯真值表2、邏輯表達(dá)式3、邏輯圖4、工作波形圖真值表的特點(diǎn)： 唯一性; 按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù) ）。 n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。 1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換一、從真值表寫出邏輯表達(dá)式例：已知一個(gè)奇偶判別函數(shù)的真值表（偶為1,奇為0)，試寫出它的邏輯函數(shù)式。ABCY000001010011100101110111解：當(dāng)ABC=011時(shí)，當(dāng)ABC=101時(shí)，當(dāng)ABC=110時(shí)，因

6、此，Y的邏輯函數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@三個(gè)乘積項(xiàng)之和。1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法通過以上例題可以總結(jié)出從真值表寫出邏輯函數(shù)式的一般方法。1、找出真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的輸入變量取值組合。2、每組輸入變量的取值組合對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，輸入變量取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量。3、將取值為1的乘積項(xiàng)相加，即得到Y(jié)的邏輯函數(shù)式。二、從邏輯表達(dá)式列出真值表 將輸入變量的所有狀態(tài)組合逐一代入邏輯式，求出函數(shù)值，列成表，即可得到真值表。例：已知函數(shù)求其對(duì)應(yīng)真值表。ABC000001010011100101110111解：將三變量所有取值組合代入Y式中，將計(jì)算結(jié)果列表。1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法三、從邏

7、輯表達(dá)式畫出邏輯圖 用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)，就可以畫出邏輯圖。例：已知邏輯函數(shù)畫出對(duì)應(yīng)邏輯圖。 解：將式中所有的與、或、非運(yùn)算符號(hào)用邏輯符號(hào)代替，并根據(jù)運(yùn)算優(yōu)先順序把這些邏輯符號(hào)連接起來，就得到Y(jié)的邏輯圖。1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法四、從邏輯圖寫出邏輯表達(dá)式 從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)邏輯符號(hào)的邏輯式，就得到對(duì)應(yīng)的邏輯表達(dá)式。例：已知邏輯圖，試寫出邏輯表達(dá)式。 解：從輸入A、B開始逐個(gè)寫出每個(gè)邏輯符號(hào)輸出端的邏輯式。ABY1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法與或式與非與非式或與式或非或非式與或非式邏輯函數(shù)的五種形式可以用五種邏輯電路來實(shí)現(xiàn) 任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以通過邏輯變換寫成以下五

8、種形式：五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)同一邏輯功能。1.4 布爾代數(shù)1.4.1 布爾代數(shù)的基本定律1.4.2 布爾代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則1.4.3 用布爾代數(shù)簡化邏輯函數(shù)1.4.4 邏輯函數(shù)的表示方法1.4.5 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式目的：為圖解化簡法打基礎(chǔ)。與項(xiàng)：邏輯變量間只進(jìn)行乘運(yùn)算的表達(dá)式稱為與項(xiàng) 。 與或表達(dá)式：與項(xiàng)和與項(xiàng)間只進(jìn)行加運(yùn)算的表達(dá)式稱為與或表達(dá)式。如: 或項(xiàng)：邏輯變量間只進(jìn)行或運(yùn)算的表達(dá)式稱為或項(xiàng)。 或與表達(dá)式：或項(xiàng)和或項(xiàng)間只進(jìn)行乘運(yùn)算的表達(dá)式稱為或與表達(dá)式。如: 在介紹邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式之前，先介紹最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的概念，然后介紹邏輯函數(shù)的“最小項(xiàng)之和”及“最大項(xiàng)之積”兩種標(biāo)準(zhǔn)形式。幾個(gè)概念

9、：1.4.5 邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式(1) 定義：最小項(xiàng)是一個(gè)與項(xiàng)。 (2) 特點(diǎn)： n 個(gè)變量都出現(xiàn)，每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個(gè)與項(xiàng)為最小項(xiàng)。n 變量有 2n 個(gè)最小項(xiàng)。例如：在三變量A、B、C的最小項(xiàng)中：1、最小項(xiàng) 輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)的值等于1。當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是5。按照上述約定，作出三變量最小項(xiàng)編號(hào)表。原取1,反取0.一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)最小項(xiàng)使最小項(xiàng)為1的變量取值對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)ABC00000011010201131004101511061117（3）最小項(xiàng)的重要性質(zhì) 在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最

10、小項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。三變量最小項(xiàng)編號(hào)表所有最小項(xiàng)之和為1。任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。具有相鄰性的兩個(gè)最小項(xiàng)之和，可以合并成一項(xiàng)，并消去一對(duì)因子。相鄰性： 若兩個(gè)最小項(xiàng)彼此只有一個(gè)因子不同，且互為反變量，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)具有相鄰性。例：最小項(xiàng)和最大項(xiàng) 定理：任何邏輯函數(shù) F 都可以用最小項(xiàng)之和的形式表示。而且這種形式是唯一的。1、 真值表法： 將邏輯函數(shù)先用真值表表示，然后再根據(jù)真值表寫出最小項(xiàng)之和。例：將表示為最小項(xiàng)之和的形式。解：由最小項(xiàng)特點(diǎn)知：n 個(gè)變量都出現(xiàn)，BC 缺變量 A ,所以 F 是一般與或式，不是最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式。列：F 真值表：(4)、用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的

11、方法000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 由最小項(xiàng)性質(zhì)、知：每個(gè)最小項(xiàng)等于1的自變量取值是惟一的。 那么：將 F = 1 的輸入變量組合相加即可。其輸入變量組合中，1表示原變量 ,0表示反變量用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法2、 摩根定律及配項(xiàng)法 將邏輯函數(shù)反復(fù)利用摩根定律及配項(xiàng)法，將其表示為最小項(xiàng)之和的形式。例1：解：原取1反取0用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法例2：將表示為最小項(xiàng)之和的形式。解：說明：全部由最小項(xiàng)相加構(gòu)成的與-或表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式

12、，是與-或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。(都是最小項(xiàng)，不是全部最小項(xiàng))。用最小項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法(1) 定義：最大項(xiàng)是一個(gè)或項(xiàng)。 (2) 特點(diǎn)： n 個(gè)變量都出現(xiàn)，每個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。稱這個(gè)或項(xiàng)為最大項(xiàng)。n 變量有 2n 個(gè)最大項(xiàng)。例如：在三變量A、B、C的最大項(xiàng)中：2、最大項(xiàng) 輸入變量的每一組取值都使一個(gè)對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)的值等于0。當(dāng)A=1、B=0、C=1時(shí)，按照上述約定，作出三變量最大項(xiàng)編號(hào)表。 如果將最大項(xiàng)為0的ABC取值視為一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，并以其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)給出最大項(xiàng)編號(hào)，原取0,反取1。最小項(xiàng)和最大項(xiàng)最大項(xiàng)使最大項(xiàng)為0的變量取值對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)ABC0000001

13、1010201131004101511061117（3）最大項(xiàng)的重要性質(zhì)在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且僅有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。三變量最大項(xiàng)編號(hào)表所有最大項(xiàng)之積為0任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。只有一個(gè)變量不同的兩個(gè)最大項(xiàng)的乘積等于各相同變量之和。例：(4)、用最大項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法： 定理：任何邏輯函數(shù) F 都可以用最大項(xiàng)之積的形式表示。而且這種形式是唯一的。用最大項(xiàng)表示邏輯函數(shù)的方法有兩種：真值表法加對(duì)乘的分配率及配項(xiàng)法最小項(xiàng)和最大項(xiàng)1、 真值表法：表示為最大項(xiàng)之積的形式。列：F 真值表：000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 101 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 解：把真值表中 F = 0 的輸入變量，以最大項(xiàng)的形式表示。輸入0 表示原變量，1 表示反變量。既可以用最大項(xiàng)之積表示，又可以用最小項(xiàng)之和表示。比較函數(shù)F的最大項(xiàng)之積和最小項(xiàng)之和表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)；只要知道一種形式就可以直接寫出另一種表達(dá)形式。加對(duì)乘的分配率配項(xiàng)代入規(guī)則加對(duì)乘的分配率合并項(xiàng)2、 加對(duì)乘的分配率及配項(xiàng)法表