4.無(wú)窮級(jí)數(shù)和微分方程

1、 1.4 無(wú)窮級(jí)數(shù)1.4.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.4.2 冪級(jí)數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，求和。1.4.3 傅立葉級(jí)數(shù)求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開，討論和函數(shù)的性質(zhì)。1.4.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加, 簡(jiǎn)記為收斂 ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱 S 為級(jí)數(shù)的和。1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義2.基本性質(zhì) 性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,即其和為 c S .性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不

2、一定發(fā)散.(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)的和.推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有可見: 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù))( q 稱為公比 ). 級(jí)數(shù)收斂 ,級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為3. 幾個(gè)重要級(jí)數(shù)的收斂性調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散(常數(shù) p 0)p -級(jí)數(shù)*例1.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:該級(jí)數(shù)是下列兩級(jí)數(shù)之差故原級(jí)數(shù)收斂. (比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1

3、) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2) 若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),4.審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)： (比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 (3) 當(dāng) l = 設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),的斂散性. 例3. 判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且則(1) 當(dāng)(2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 . 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且則因此級(jí)數(shù)收斂.解:交錯(cuò)級(jí)數(shù)則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) . ( Le

4、ibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂 。絕對(duì)收斂與條件收斂 定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)收斂 ,數(shù)絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 . 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .例5. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :證: 而收斂 ,收斂因此絕對(duì)收斂 .判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級(jí)數(shù)審斂法：先判斷是否絕對(duì)收斂，如果絕對(duì)收斂則一定收斂；否則判斷是否條

5、件收斂發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂發(fā)散 1.Abel定理 若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿足不等式的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之, 若當(dāng)?shù)囊磺?x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)滿足不等式1.4.2 冪級(jí)數(shù)*例6.已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？解：由Abel定理 ，該冪級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，故在絕對(duì)收斂。例7. 已知處條件收斂 , 問該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少 ?答:根據(jù)Abel 定理可知, 級(jí)數(shù)在收斂 ,時(shí)發(fā)散 .故收斂半徑為若的系數(shù)滿足1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),則 的收斂半徑為2.求收斂半徑對(duì)端點(diǎn) x =1, 的收斂半徑及收斂域.

6、解:對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂; 級(jí)數(shù)為發(fā)散 . 故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù) 3.求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式1、對(duì)函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)3、寫出收斂范圍(P34例1-37)1.求傅立葉級(jí)數(shù)展開式2.求某個(gè)傅立葉系數(shù)3.求和函數(shù)在某些點(diǎn)的值1.4.3 傅立葉級(jí)數(shù)的有關(guān)問題例9.設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為(3)將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 解:(3) 先求傅里葉系數(shù)1.5 微分方程1.5.1 微分方程的基本概念1.5.2 解微分方程1.5.3 微分方程應(yīng)用1.5.1 微分方程的基本概念一

7、階微分方程二階微分方程1. 判定微分方程的階2. 判定函數(shù)是否微分方程的解，通解或特解例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解.解: 是方程的解 .1.5.2 解微分方程1. 一階微分方程可分離變量，一階線性2. 高階微分方程二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。*例2. 求微分方程的通解.解: 分離變量得兩邊積分得即( C 為任意常數(shù) )因此可能增、減解.解*例3.利用一階線性方程的通解公式得：例4. 曲線族所滿足的一階微分方程是_.解: 對(duì)兩邊求導(dǎo)，得即為所求一階微分方程特征方程:實(shí)根 特 征 根通 解二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解例5.的通解.解: 特征方程特征根:因此原方程

8、的通解為例6. 求解初值問題解: 特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為*例7.的通解. 解: 特征方程特征根:因此原方程通解為例8.解：因是一個(gè)特解，所以是特征方程的重根，故特征方程為：所對(duì)應(yīng)微分方程為(2) 若 是特征方程的單根 特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 特解形式為(1) 若 不是特征方程的根特解形式為的特解形式.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .特解形式為例9.例10.的特解形式.解: 本題而特征方程為其根為特解形式為1.5.3 微分方程應(yīng)用1. 利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程2. 利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程3. 利用牛頓第二定律求所滿足的微分方程 .*例11. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q解: 如圖所示, 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 例12