第十五章152分式的運(yùn)算例題與講解新人教版

1、15.2分式的運(yùn)算1分式的乘除1(1)分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母用式子表示為：eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(ac,bd).(2)分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘用式子表示為：eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(a,b)eq f(d,c)eq f(ad,bc).分式的除法要轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式【例1】 計(jì)算：(1)eq f(4a4b2,15x2)eq f(9x,8a4b)；(2)eq f(a21,a22a1)eq f(a2a,a1)；(3)eq f(

2、a24,a24a4)eq f(2a,a24a4)；(4)eq f(4x24xyy2,2xy)(4x2y2)解：(1)eq f(4a4b2,15x2)eq f(9x,8a4b)eq f(4a4b29x,15x28a4b)eq f(3b,10 x)；(2)eq f(a21,a22a1)eq f(a2a,a1)eq f(（a1）（a1）,（a1）2)eq f(a1,a（a1）)eq f(（a1）（a1）（a1）,a（a1）2（a1）)eq f(1,a)；(3)eq f(a24,a24a4)eq f(2a,a24a4)eq f(（a2）（a2）,（a2）2)eq f(2a,（a2）2)eq f(2a（

3、a2）（a2）,（a2）2（a2）2)eq f(2a,a24)；(4)eq f(4x24xyy2,2xy)(4x2y2)eq f(（2xy）2,2xy)eq f(1,（2xy）（2xy）)eq f(1,2xy).2分式的乘方(1)法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方(2)用式子表示：eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq sup12(n)eq f(an,bn).解技巧 分式的乘方的理解(1)分式乘方時(shí)，分子、分母要乘相同次方；(2)其結(jié)果的符號(hào)與有理數(shù)乘方結(jié)果的符號(hào)確定方法一樣【例2】 計(jì)算：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,b3)eq sup12(

4、4)；(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2y,z2)eq sup12(3).解：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a2,b3)eq sup12(4)eq f(（a2）4,（b3）4)eq f(a8,b12)；(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x2y,z2)eq sup12(3)eq f(（x2y）3,（z2）3)eq f(x6y3,z6)eq f(x6y3,z6).3分式的加減(1)同分母分式相加減：法則：分母不變，把分子相加減；用式子表示：eq f(a,c)eq f(b,c)eq f(ab,c).(2)異分母分式相加減：法則：先通分，變

5、為同分母的分式，再加減；用式子表示：eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(ad,bd)eq f(bc,bd)eq f(adbc,bd).警誤區(qū) 分式加減運(yùn)算的注意點(diǎn)(1)同分母分式的加減運(yùn)算的關(guān)鍵是分子的加減運(yùn)算，分子加減時(shí)要將其作為一個(gè)整體進(jìn)行加減，當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，要添加括號(hào)；(2)異分母分式加減運(yùn)算的關(guān)鍵是先通分，轉(zhuǎn)化為同分母的分式相加減，再根據(jù)同分母分式加減法進(jìn)行運(yùn)算，通分時(shí)要注意最簡(jiǎn)公分母的確定；(3)分式加減運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式【例3】 計(jì)算：(1)eq f(（ab）2,2ab)eq f(（ab）2,2ab)；(2)eq f(a,a21)eq f(1,1a2)；(

6、3)eq f(1,xy)eq f(1,xy)eq f(2x,x2y2)；(4)eq f(12,m29)eq f(2,3m)；(5)eq f(x3,x21)eq f(2,x1)；(6)eq f(4,a2)a2.解：(1)eq f(（ab）2,2ab)eq f(（ab）2,2ab)eq f(（ab）2（ab）2,2ab)eq f(a22abb2a22abb2,2ab)eq f(2a22b2,2ab)eq f(a2b2,ab)；(2)eq f(a,a21)eq f(1,1a2)eq f(a,a21)eq f(1,a21)eq f(a1,a21)eq f(a1,（a1）（a1）)eq f(1,a1)；

7、(3)eq f(1,xy)eq f(1,xy)eq f(2x,x2y2)eq f(1,xy)eq f(1,xy)eq f(2x,（xy）（xy）)eq f(（xy）（xy）2x,（xy）（xy）)eq f(2x2y,（xy）（xy）)eq f(2（xy）,（xy）（xy）)eq f(2,xy)；(4)eq f(12,m29)eq f(2,3m)eq f(12,（m3）（m3）)eq f(2,m3)eq f(12,（m3）（m3）)eq f(2（m3）,（m3）（m3）)eq f(122（m3）,（m3）（m3）)eq f(2（m3）,（m3）（m3）)eq f(2,m3)；(5)eq f(x3

8、,x21)eq f(2,x1)eq f(x3,（x1）（x1）)eq f(2（x1）,（x1）（x1）)eq f(x32（x1）,（x1）（x1）)eq f(（x1）,（x1）（x1）)eq f(1,x1)；(6)eq f(4,a2)a2eq f(4,a2)(a2)eq f(4,a2)eq f(（a2）,1)eq f(4,a2)eq f(（a2）2,a2)eq f(4（a2）2,a2)eq f(4a24a4,a2)eq f(a24a,a2).4整數(shù)指數(shù)冪一般地，當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，aneq f(1,an)(a0)這就是說，an(a0)是an的倒數(shù)這樣引入負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到全體整

9、數(shù)根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)m，n為整數(shù)時(shí)，amanamn，amanam(n)amn，因此amanaman.特別地，eq f(a,b)abab1，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq sup12(n)(ab1)n，即商的乘方eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,b)eq sup12(n)可以轉(zhuǎn)化為積的乘方(ab1)n.這樣，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以歸納為：(1)amanamn(m，n是整數(shù))；(2)(am)namn(m，n是整數(shù))；(3)(ab)nanbn(m，n是整數(shù))【例4】 計(jì)算：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq s

10、up12(2)；(2)a2b3(a1b)3(ab)1.解：(1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sup12(2)eq f(1,f(4,9)eq f(9,4)；(2)a2b3(a1b)3(ab)1a2b3a3b3aba0bb.5科學(xué)記數(shù)法(1)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)表示為a10n的形式，其中1|a|10，n為原數(shù)整數(shù)部分的位數(shù)減1；(2)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)時(shí)，可以表示為a10n的形式，其中n為原數(shù)第1個(gè)不為零的數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)零)，1

11、|a|10.提示：用科學(xué)記數(shù)法的形式表示數(shù)更方便于比較數(shù)的大小【例5】 把下列各數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示出來：(1)650 000；(2)36 900 000；(3)0.000 002 1；(4)0.000 006 57.解：(1)650 0006.5105；(2)36 900 0003.69107；(3)0.000 002 12.1106；(4)0.000 006 576.57106.6分式的乘除混合運(yùn)算分式的乘除混合運(yùn)算要統(tǒng)一為乘法運(yùn)算來計(jì)算談重點(diǎn) 分式乘除混合運(yùn)算的方法(1)分式的乘除混合運(yùn)算順序與分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算順序相同，即從左到右的順序，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；(2)分式的乘除混合運(yùn)算要注

12、意每個(gè)分式中分子、分母括號(hào)的處理，以及結(jié)果符號(hào)的確定；(3)分式的乘除混合運(yùn)算結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式7分式的混合運(yùn)算分式的四則混合運(yùn)算與有理數(shù)的混合運(yùn)算相同，必須按照運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)先去小括號(hào)再去中括號(hào)，最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式解技巧 分式混合運(yùn)算的技巧分式四則混合運(yùn)算要注意：(1)按照運(yùn)算順序進(jìn)行，確定合理的運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵；(2)靈活運(yùn)用交換律、結(jié)合律、分配律，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)捷，而且還可以提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率；(3)將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式或整式；(4)運(yùn)算過程中要注意符號(hào)的確定8把分式化簡(jiǎn)后再求值分式的化簡(jiǎn)求值題，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確地運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，然后代入求值化

13、簡(jiǎn)運(yùn)算過程中要注意約分、通分時(shí)分式的值保持不變，要注意分清運(yùn)算順序，先乘除，后加減，如果有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算【例6】 計(jì)算：eq f(1x2,x24x4)(x1)2eq f(x23x2,x1).分析：按照從左到右的順序依次運(yùn)算，把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式或整式解：eq f(1x2,x24x4)(x1)2eq f(x23x2,x1)eq f(（1x）（1x）,（x2）2)eq f(1,（x1）2)eq f(（x1）（x2）,x1)eq f(（x1）2,（x2）（x1）2).【例7】 計(jì)算：eq blcrc(avs4alco1(f(a2b2,a22ab

14、b2)f(2,ab)blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)sup12(2)eq f(2,a2b22ab).解：原式eq blcrc(avs4alco1(f(a2b2,a22abb2)f(2,ab)blc(rc)(avs4alco1(f(ab,ab)sup12(2)eq f(2,a2b22ab)eq blcrc(avs4alco1(f(a2b2,a22abb2)f(2,ab)f(（ab）2,（ab）2)eq f(2,a2b22ab)eq blcrc(avs4alco1(f(a2b2,a22abb2)f(2ab,（ab）2)eq f(2,a2b22ab)eq blcrc(av

15、s4alco1(f(a2b2,（ab）2)f(2ab,（ab）2)eq f(2,a2b22ab)eq f(a2b22ab,（ab）2)eq f(2,a2b22ab)eq f(2,（ab）2).【例8】 先化簡(jiǎn)，再求值：eq blc(rc)(avs4alco1(f(3x,x1)f(x,x1)eq f(x21,2x)，其中x3.解：原式eq f(3x（x1）x（x1）,（x1）（x1）)eq f(（x1）（x1）,2x)eq f(3x23xx2x,2x)eq f(2x24x,2x)eq f(2x（x2）,2x)x2.當(dāng)x3時(shí)，原式321.9.運(yùn)用分式運(yùn)算解決實(shí)際問題運(yùn)用分式運(yùn)算解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是

16、理解題意，找準(zhǔn)各種量之間的關(guān)系，這也是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本方法，作差法等也是解決這類問題的常用方法在判斷兩分式的差的正負(fù)的時(shí)候，可以考慮利用完全平方式的非負(fù)性和題中字母的實(shí)際意義來解題作差法舉例：若xy且x0，y0，比較eq f(4,xy)與eq f(xy,xy)的大小解：eq f(4,xy)eq f(xy,xy)eq f(4xy（xy）2,xy（xy）)eq f(（xy）2,xy（xy）).因?yàn)閤y，x0，y0.所以eq f(（xy）2,xy（xy）)0，即eq f(4,xy)eq f(xy,xy).【例9】 甲、乙兩工人生產(chǎn)同一種零件，甲每小時(shí)比乙多生產(chǎn)8個(gè)，現(xiàn)要求甲生產(chǎn)出168個(gè)零件，乙

17、生產(chǎn)出144個(gè)零件，則他們兩人誰能先完成任務(wù)？解：設(shè)甲每小時(shí)生產(chǎn)這種零件x個(gè)，則乙每小時(shí)生產(chǎn)這種零件(x8)個(gè)，甲完成任務(wù)需要時(shí)間為eq f(168,x)小時(shí)，乙完成任務(wù)需要時(shí)間為eq f(144,x8)小時(shí)eq f(168,x)eq f(144,x8)eq f(168（x8）144x,x（x8）)eq f(24（x56）,x（x8）).x8，x80，x(x8)0.故當(dāng)x56時(shí)，eq f(168,x)eq f(144,x8)0；當(dāng)x56時(shí)，eq f(168,x)eq f(144,x8)0；當(dāng)x56時(shí)，eq f(168,x)eq f(144,x8)0.所以若甲每小時(shí)生產(chǎn)零件多于56個(gè)，則乙先完成任務(wù)；若甲每小時(shí)生產(chǎn)零件等于56個(gè)，則兩人同時(shí)完成任務(wù)；若甲每小時(shí)生產(chǎn)零件小于56個(gè)且多于8個(gè)，則甲先完成任務(wù)10分式混合運(yùn)算的開放型題運(yùn)用分式的混合運(yùn)算解決開放型問題，關(guān)鍵還是進(jìn)行分式的混合運(yùn)算，只是題目具有一定的開放性，所以在解決此類問題時(shí)，首先還是要正確進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)，然后還要注意問題的多解的情況舉例：已知Peq f(a2b2,a2b2)，Qeq f(2ab,a2b2)，用“”或“”連接P，Q共有三種不同的形式：PQ，PQ，QP，請(qǐng)選擇其中一種進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，其中a3，b2.【例10】 已知Aeq f(1,x2)，Beq f(2,x24)，Ceq f(x,x2).將它們組合成(AB