6.4-二次型的正定性課件

1、6.4 二次型的正定性一、慣性定理與慣性指數(shù)二、正定二次型三、負定(半正定、半負定) 二次型*一、慣性定理與慣性指數(shù)1. 慣性定理對于一個給定的實二次型定理則其中正、負項的項數(shù)是惟一確定的，經(jīng)過非退化線性變換化為標準形(或規(guī)范形)，即它們的和等于矩陣 A 的秩 。(略)證明 P186 定理 6.8 一、慣性定理與慣性指數(shù)1. 慣性定理稱為該二次型的正慣性指數(shù) ；2. 慣性指數(shù)定義實二次型 的標準形中正平方項的項數(shù)p負平方項的項數(shù) 稱為該q二次型的負慣性指數(shù) ；它們的差 稱為該二次型的符號差。正、負慣性指數(shù)統(tǒng)稱為慣性指數(shù)。 P186 定義 6.7 答D 與 A 相似。 （特征值相同且可相似對角化

2、）矩陣 A 的特征值為： 矩陣 B 的特征值為： 矩陣 C 的特征值為： 矩陣 D 的特征值為： B, C, D 與 A 等價；（秩相同）C, D 與 A 合同； （慣性指數(shù)相同）問 B, C, D 中哪些與 A 等價、合同、相似？例1. 正定二次型與正定矩陣則稱 f (X ) 為正定二次型，注(1) A 為正定矩陣隱含 A 為對稱矩陣；二、正定二次型設 n 元實二次型定義如果對空間 中任意的都有稱二次型矩陣 A 為正定矩陣 .(2) A 為正定矩陣有時記為 A 0 . P186 定義 6.8 (是)(不是)(不是)(不是)一般說來，由于且 X 與 Z 一一對應，故 f (X ) 的正定性取決

3、于 g (Z ) 正定性。判斷下列二次型是否為正定二次型？例記為2. 二次型正定的充要條件(2) 正慣性指數(shù)為 n ； (3) A 的特征值全部大于零； (4) A 與 I 合同；二、正定二次型n 元實二次型 正定(或 n 階實對稱陣 A定理1正定)的充要條件是下列條件之一：證明題用條件 (1), (3), (4)；判斷題用條件 (3) .注(略)證明 本身的定義 P168 定理6.11P168 定理6.12P168 定理6.13二、正定二次型n 元實二次型 正定(或 n 階實對稱陣 A正定)的充要條件是 A 的順序主子式全大于零，定理2(Sylvester定理)(略)證明即西爾維斯特 史泰龍

4、 (Sylvester Stallone ) P190 定理 6.14 2. 二次型正定的充要條件 P189 定義 6.9 方法一故 正定。即 A 的順序主子式全大于零，判斷 的正定性。例已知解已知判斷 的正定性。方法二可得 A 的特征值為 2、2、4，故 正定。即 A 的特征值全大于零，例解由故 A 的順序主子式必須全大于零，即由于 為正定陣，解已知 正定，求 t 所滿足的條件。例可得 t 所滿足的條件為：故 均為正定陣。 證明 均為正定陣。 已知 A、B 為正定陣，M 為可逆陣，例首先 均為對稱陣。證對于任意的 有 且即 A 對稱且 A 與 I 合同，故 A 為正定矩陣。若存在可逆對稱矩陣

5、 B ，使得 使得證明 A 為正定矩陣的充要條件是存在可逆對稱矩陣 B ，例充分性證則必要性若 A 為正定矩陣，則 A 的特征值全大于零且存在其中， 正交矩陣 C ，使得滿足 且稱 f (X ) 為半負定二次型，稱 f (X ) 為半正定二次型，稱 f (X ) 為負定二次型，三、負定(半正定、半負定)二次型*設 n 元實二次型定義如果對空間 中任意的都有(1)(2)(3)稱 A 為負定矩陣；稱 A 為半正定矩陣；稱 A 為半負定矩陣 . P193 定義 6.10 (正定)(半正定、非負定)(負定)(半負定、非正定)(不定)判斷下列二次型的正定性？例三、負定(半正定、半負定)二次型*n 元實二

6、次型 負定(或 n 階實對稱陣 A 定理(3) 負慣性指數(shù)為 n ； (4) A 的特征值全部小于零； 負定)的充要條件是下列條件之一： (2)正定 (或 A 正定);(1)-(5) A 與 I 合同；-(6) A 的順序主子式 滿足即奇(偶)數(shù)階順序主子式全小(大)于零。 P193 定理 6.15 (殺青了!) 補：二次型的正定性在二元函數(shù)極值問題中的應用 記則二元函數(shù) 在 點的泰勒展開式為 設 點為某二元函數(shù) 的駐點，即 在 點的一個“微小”鄰域內(nèi)，有 補：二次型的正定性在二元函數(shù)極值問題中的應用 在 點的一個“微小”鄰域內(nèi)，有 則在 點“附近”，可由 “代替”記 二次型 正定，(1) 當 時，