中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)課件

1、數(shù)學(xué)史校級公選課程1第三講 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)中世紀(jì)數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度和阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的形式推導(dǎo)。所謂“算法”，不只是單純的計(jì)算，而是為了解決一整類實(shí)際或科學(xué)問題而概括出來的、帶一般性的計(jì)算方法。2019年9月2中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)第三講 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)本講介紹中國古代數(shù)學(xué)史。就繁榮時期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個地區(qū)中是延續(xù)最長的。從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋元時期達(dá)到了中國古典數(shù)學(xué)的頂峰。2019年9月3中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)

2、第三講 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)周髀算經(jīng)與九章算術(shù)古代背景周髀算經(jīng)九章算術(shù)從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就祖沖之與祖暅算經(jīng)十書宋元數(shù)學(xué)從“賈憲三角”到“正負(fù)開方”術(shù)中國剩余定理內(nèi)插法與垛積數(shù)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”2019年9月4中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)古代背景古代世本中提到黃帝使“隸首作算術(shù)”，但這只是傳說。無論如何，殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時期，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。關(guān)于幾何學(xué)，史記“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。從戰(zhàn)國時代的著作考工記中也可以看到與手工業(yè)制作有關(guān)的實(shí)用幾何知識。戰(zhàn)國諸子百家，與希臘雅典學(xué)派時代相當(dāng)。其中的“墨家

3、”與“名家”，其著作包含有理論數(shù)學(xué)的萌芽。2019年9月5中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)古代背景墨經(jīng)（約公元前4世紀(jì)）提出了一系列數(shù)學(xué)邏輯的抽象定義：點(diǎn)：“端，體之無厚而最前者也”；直線：“直，參也”；圓：“圜，一中同長也”；正方形：“方，柱隅四佑也”；平行：“平，同高也”；體積：“厚，有所大也”。2019年9月6中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)古代背景莊子中記載名家辯論哲學(xué)的名辯，也可以從數(shù)學(xué)的意義上去理解：矩不方，規(guī)不可以為圓；飛鳥之影未嘗動也；一尺之棰，日取其半，萬世不竭2019年9月7中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)周髀算經(jīng)在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，周

4、髀算經(jīng)是最早的一部。周髀算經(jīng)作者不祥，成書年代據(jù)考應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說”宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)看，周髀算經(jīng)主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。2019年9月8中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)卷上記載西周開國時期周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，徑隅五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?0

5、19年9月9中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀(jì)三國時期的趙爽。趙爽注周髀算經(jīng)，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。2019年9月10中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)九章算術(shù)是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。是從先秦至西漢中葉的長時期里眾多學(xué)者編纂、修改而成的一部數(shù)學(xué)著作。采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。2019年9月11中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)2019年9月12中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀

6、算經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)1、算術(shù)方面分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。比例算法。提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。設(shè)從比例關(guān)系 求x。盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。九章算術(shù)中典型的盈虧類問題如：“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價各幾何？”“盈不足術(shù)”在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作中稱為“契丹算法”，即中國算法。13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契算經(jīng)一書也有一章講“契丹算法?！?019年9月13中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)2、代數(shù)方面九章算術(shù)在代數(shù)方面的成就是

7、具有世界意義的。方程術(shù)。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”2019年9月14中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)正負(fù)術(shù)。九章算術(shù)在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)。“同名相除，異名相異，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之?！薄巴薄ⅰ爱惷奔赐?、異號；“相益”、“相除”指兩數(shù)絕對值相加、相減。開方術(shù)?！吧購V”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。2019年9月15中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算

8、經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)3、幾何方面九章算術(shù)“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積計(jì)算，“商功”章討論體積計(jì)算，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。幾何問題具有很明顯的實(shí)際背景，如面積問題多與農(nóng)田測量有關(guān)，體積問題則主要涉及工程土方計(jì)算。各種幾何圖形的名稱就反映著它們的顯示來源。如平面圖形有：“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）等等。2019年9月16中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.1 周髀算經(jīng)與九章算術(shù)九章算術(shù)與歐幾里得原本中將代數(shù)問題幾何化的做法相反，九章算術(shù)將幾何問題算術(shù)化和代數(shù)化。九章算術(shù)對于它所給出的幾何問題的算法，一律沒有推導(dǎo)證明，可以說九章算術(shù)中的

9、幾何部分主要是實(shí)用幾何。2019年9月17中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之從公元220年東漢分裂，到581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，但同時也是思想相對活躍的時期。在長期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辯之風(fēng)再起。在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢，許多研究以注釋周髀算經(jīng)、九章算術(shù)的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是要尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。2019年9月18中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就隋書“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時人，并于公元263年（景元四年）撰九章算術(shù)注。劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。

10、2019年9月19中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就1、割圓術(shù)劉徽在九章算術(shù)方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓術(shù)作為計(jì)算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ)。割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓。從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計(jì)算逐次得到的正多邊形的周長和面積。他指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”2019年9月20中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑r為1尺，一直計(jì)算到192邊形，得出了圓周率的精確到小數(shù)后二位的近似值：化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”。劉徽是中算史上第一位建立可靠

11、的理論來推算圓周率的數(shù)學(xué)家。2019年9月21中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之劉徽的數(shù)學(xué)成就2、體積理論劉徽傾力于面積與體積公式的推證，并取得了超越時代的漂亮結(jié)果。其面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，這就是他所謂的“出入相補(bǔ)”原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。他在推證九章算術(shù)中的一些立體體積公式時，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與不可分量方法。如“陽馬”體積公式與球體積公式。劉徽在九章算術(shù)“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為九章算術(shù)注第十卷，后來單獨(dú)刊行，稱為海島算經(jīng)。2019年9月22中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖

12、沖之祖沖之與祖暅劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時期（公元420589）被祖沖之和他的兒子祖暅推進(jìn)和發(fā)展了。祖沖之（公元429500）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法大明歷，在當(dāng)時是最先進(jìn)的歷法。南齊書祖沖之傳“注九章，造綴術(shù)數(shù)十篇”，但綴術(shù)也未能流傳下來。2019年9月23中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之2019年9月24中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅1、圓周率隋書律歷志說：“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈

13、一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間”。即按劉徽割圓術(shù)從正六邊形出發(fā)連續(xù)計(jì)算到正24576邊形時，恰好可以得到祖沖之的結(jié)果。2019年9月25中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅隋書律歷志還記載了祖沖之在圓周率計(jì)算方面的另一項(xiàng)重要結(jié)果：“密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，圓周二十二”。在現(xiàn)代數(shù)論中，如果將圓周率表示成連分?jǐn)?shù)，其漸進(jìn)分?jǐn)?shù)是：2019年9月26中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之祖沖之與祖暅2、祖氏原理與球體積曾使劉徽絞盡腦汁的球體積問題，到祖沖之時代終于得以解決。這一成就被記錄在九章算術(shù)“開立圓術(shù)

14、”李淳風(fēng)注中，李淳風(fēng)是唐代數(shù)學(xué)家，他在注文中將球體積的正確解法稱為“祖暅之開立圓術(shù)”。這是中國數(shù)學(xué)史上第一次獲得的正確的球體積公式。2019年9月27中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之算經(jīng)十書大唐盛世，是中國封建社會最繁榮的時代，可是在數(shù)學(xué)方面，整個唐代卻沒有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數(shù)學(xué)大家。隋唐時期中國數(shù)學(xué)發(fā)展的兩件大事是數(shù)學(xué)教育制度的建立和數(shù)學(xué)典籍的整理。唐代不僅沿襲了“算學(xué)”制度，而且還在科舉考試中開設(shè)了數(shù)學(xué)科目，叫“明算科”，考試及第者也可做官，不過只授予最低官階。2019年9月28中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之算經(jīng)十書唐高宗親自下令對以前的十部

15、數(shù)學(xué)著作進(jìn)行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項(xiàng)工作的是李淳風(fēng)，公元656年編成以后，成為國學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書，稱“十部算經(jīng)”或“算經(jīng)十書”。周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)、五曹算經(jīng)、五經(jīng)算經(jīng)、綴術(shù)、輯古算經(jīng)2019年9月29中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.2 從劉徽到祖沖之算經(jīng)十書張邱建算經(jīng)和“百雞問題”張邱建算經(jīng)三卷，據(jù)考大約成書于公元466485年間，卷下最后一題通常稱“百雞問題”：“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只。問雞翁、母、雛各幾何？”2019年9月30中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)“宋元四大家”：楊輝、秦九昭、李冶、朱士杰楊輝2019年9

16、月31中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)從“賈憲三角”到“正負(fù)開方”術(shù)宋元數(shù)學(xué)最突出的成就之一，高次方程數(shù)值求解，是九章算術(shù)開平方和開立方術(shù)的繼承發(fā)展。1、賈憲三角目前有明確記載保留下來的最早的高次開方法是賈憲創(chuàng)造的“增乘開方法”?！伴_方作法本源”圖2019年9月32中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)1、賈憲三角賈憲增乘開方法，是一個非常有效的和高度機(jī)械化的算法，可適用于開任意高次方。這種隨乘隨加、能反復(fù)迭代計(jì)算減根變換方程各項(xiàng)系數(shù)的方法，與現(xiàn)代通用的“霍納算法”（1819）已基本一致。而與此方法相聯(lián)系的“賈憲三角”，在西方文獻(xiàn)中則稱“帕斯卡三角”（1654）。2019年9月33中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3

17、.3 宋元數(shù)學(xué)從“賈憲三角”到“正負(fù)開方”術(shù)2、秦九昭“正負(fù)開方術(shù)”秦九昭，字道古，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶職梅州，不久死于任所。他早年在杭州“訪習(xí)于太史，又嘗從隱君子受數(shù)學(xué)”，1247年寫成數(shù)書九章。數(shù)書九章全書18卷，81題，分九大類。2019年9月34中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)內(nèi)插法與垛積術(shù)朱世杰（公元1300前后），自號松庭，寓居燕山，是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”。朱世杰的代表著作有算學(xué)啟蒙和四元玉鑒。算學(xué)啟蒙是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了日本與朝鮮數(shù)學(xué)的發(fā)展。四元玉鑒則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個

18、標(biāo)志，其中最突出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造是“招差術(shù)”（即高次內(nèi)插法），“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）以及“四元術(shù)”（多元高次聯(lián)立方程組與消元解法）等。2019年9月35中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”宋元數(shù)學(xué)發(fā)展中一個最深刻的動向是代數(shù)符號化的嘗試，這就是“天元術(shù)”和“四元術(shù)”的發(fā)明。1、天元術(shù)宋元時期高次方程數(shù)值求解技術(shù)的發(fā)展，必然引起對列方程方法的需求?！疤煸g(shù)”就是在這樣的情況下產(chǎn)生的。在傳世的宋元數(shù)學(xué)著作中，首先系統(tǒng)闡述了天元術(shù)的是李冶的測圓海鏡（1248）和益古演段（1259）兩部著作?！傲⑻煸粸槟衬场?019年9月36中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)3.3 宋元數(shù)學(xué)“天元術(shù)”與“四元術(shù)”

19、2、四元術(shù)在李冶之后，天元術(shù)被朱世杰從一個未知數(shù)推廣到二元、三元及四個不同的未知數(shù)。這就是“四元術(shù)”。朱世杰四元玉鑒中詳細(xì)記載了這種列多元高次方程組的方法。四元術(shù)以“天”、“地”、“人”、“物”來表示四個不同的未知數(shù)。2019年9月37中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)結(jié)束語四元玉鑒可以說是宋元數(shù)學(xué)的絕唱。元末以后，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)驟轉(zhuǎn)衰落。整個明清兩代（13681911），不僅未再產(chǎn)生出能與數(shù)書九章、四元玉鑒相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在清中葉乾嘉學(xué)派重新發(fā)掘研究以前，“天元術(shù)”、“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹，竟長期失傳，無人通曉。明初開始長達(dá)三百余年的時期內(nèi)，除了珠算的發(fā)展及與之相關(guān)的著作的出現(xiàn)，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不僅沒有新的創(chuàng)新，反而倒退了。2019年9月38中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)結(jié)束語中國古代數(shù)學(xué)的特征首先是其表現(xiàn)形式，這里主要指數(shù)學(xué)經(jīng)典的著作形式。古希臘數(shù)學(xué)常常采取抽象的公理化的形式，而中國古典數(shù)學(xué)則是以術(shù)文統(tǒng)