補充_1-向量及其線性運算課件(PPT 36頁)

1、數(shù)量關(guān)系 第二部分 空間解析幾何第一部分 向量代數(shù)在三維空間中:空間形式 點, 線, 面基本方法 坐標法; 向量法坐標,方程（組）空間解析幾何 向量代數(shù) 第1頁，共36頁。四、利用坐標作向量的線性運算 第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算第2頁，共36頁。表示法:向量的模 :向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量). 既有大小, 又有方向的量稱為向量向徑 (矢徑):自由向量:與起點無關(guān)的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為 1 的向量,零向量:模為 0 的向量,有向線段 M1 M2 ,或 a ,第3頁，共36頁。規(guī)定: 零

2、向量與任何向量平行 ;若向量 a 與 b大小相等, 方向相同, 則稱 a 與 b 相等,記作 ab ;若向量 a 與 b 方向相同或相反,則稱 a 與 b 平行, ab ;與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱 兩向量共線 .若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k 個向量共面 .記作a ;第4頁，共36頁。二、向量的線性運算1. 向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規(guī)律 :交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加 .第5頁，共36頁。第6頁，共36頁。2. 向量的減法三角不等式定理1推論1推論2第7

3、頁，共36頁。3. 向量與數(shù)的乘法 是一個數(shù) ,規(guī)定 :可見 與 a 的乘積是一個新向量, 記作總之:運算律 :結(jié)合律分配律因此第8頁，共36頁。定理1. 設(shè) a 為非零向量 , 則( 為唯一實數(shù))證: “ ”., 取 且ab設(shè) ab取正號, 反向時取負號, a , b 同向時則 b 與 a 同向,“ ”則已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 第9頁，共36頁。例1. 設(shè) M 為解:ABCD 對角線的交點,再證數(shù) 的唯一性 .則設(shè)又有 b a ,第10頁，共36頁。三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱

4、軸)z 軸(立軸)過空間一定點 o , 坐標面 卦限(八個)zox面1. 空間直角坐標系的基本概念第11頁，共36頁。向徑在直角坐標系下坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組(稱為點 M 的坐標)原點 O(0,0,0) ;O(0,0,0)第12頁，共36頁。坐標軸 : 坐標面 :在各卦限中點的坐標的符號?第13頁，共36頁。2. 向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設(shè)點 M 則沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量 r 的坐標分解式 或坐標表達式任意向量 r 可用向徑 OM 表示.第14頁，共36頁。四、利用坐標作向量的線性運算設(shè)

5、則平行向量對應(yīng)坐標成比例:第15頁，共36頁。例2.求解以向量為未知元的線性方程組解 2 3 , 得代入得第16頁，共36頁。例3. 已知兩點在AB直線上求一點 M , 使解: 設(shè) M 的坐標為如圖所示及實數(shù)得即第17頁，共36頁。說明: 由得定比分點公式:點 M 為 AB 的中點 ,于是得中點公式:第18頁，共36頁。五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與第19頁，共36頁。例4. 求證以證:即為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點第20頁，共36頁。例5. 在 z 軸上求與兩點等距解: 設(shè)該點為解得故所求點為及思

6、考: (1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?離的點 . 第21頁，共36頁。提示:(1) 設(shè)動點為利用得(2) 設(shè)動點為利用得且例6 已知兩點和解求第22頁，共36頁。2. 方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量 任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量 的夾角. 類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 . 與三坐標軸的夾角 , , 為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作第23頁，共36頁。方向余弦的性質(zhì):第24頁，共36頁。例7. 已知兩點和的模 、方向余弦和方向角 . 解:計算向量第25頁，共36頁

7、。例8. 設(shè)點 A 位于第一卦限,解: 已知角依次為求點 A 的坐標 . 則因點 A 在第一卦限 ,故于是故點 A 的坐標為 向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾 第26頁，共36頁。3.向量的投影向量和投影空間一向量在軸上的投影已知向量的起點A和終點B在軸u上的投影分別為第27頁，共36頁。向量投影的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 第28頁，共36頁。解: 因例9. 設(shè)求向量在 x 軸上的投影及在 y軸上的分向量.在 y 軸上的分向量為故在 x 軸上的投影為第29頁，共36頁。1、向量的概念定義:既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、相等向量、負向量、向徑.重要概念:零向量、向量的模、單位向量、平行向量、小 結(jié)第30頁，共36頁。(1) 加法：2、向量的線性運算(2) 減法：(3) 向量與數(shù)的乘法：第31頁，共36頁。向量的分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的坐標表示式：向量的坐標：3、向量的表示法第32頁，共36頁。向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式第33頁，共36頁。向量模長的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式第34頁，共3