利用空間向量求空間角和距離復習優(yōu)秀課件

1、第九節(jié) 利用空間向量求空間角和距離1.夾角的計算(1)直線間的夾角兩直線的夾角當兩條直線l1與l2共面時，我們把兩條直線交角中,范圍在_內(nèi)的角叫作兩直線的夾角.異面直線的夾角當直線l1與l2是異面直線時，在直線l1上任取一點A作ABl2 ，我們把_的夾角叫作異面直線l1與l2的夾角.直線l1和直線AB設s1，s2分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2的夾角s1與s2的夾角s1，s2范圍_求法cos=coss1，s2=_coss1，s2= _關系當0s1,s2 時,= _;當 s1,s2時，= _00，則P(0，0，2)，于是從而故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BED

2、.(2) (0，0，2)， ( ，-b,0).設m=(x,y,z)為平面PAB的法向量，則m =0,m =0,即2z=0且 x-by=0,令x=b,則m=(b, ,0).設n=(p,q,r)為平面PBC的法向量，則n =0,n 0，即令p=1,則因為平面PAB平面PBC，故mn0,即 于是n=(1,-1, ),直線PD與平面PBC的夾角與 互余，PD與平面PBC的夾角為30.【拓展提升】利用向量求直線與平面的夾角的方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就

3、是斜線和平面的夾角.【變式訓練】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點.(1)證明：PEBC.(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH的夾角的正弦值.【解析】以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x,y,z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則A(1，0，0)，B(0，1，0).(1)設C(m,0,0)，P(0，0，n)(m0)，則D(0,m,0),可得因為所以PEBC.(2)由已知條件可得故C( 0，0)，D(0， 0)， P(0，0，1).設n=(x,y,z)為平面PEH的一個法向量，因此可以取

4、n=(1, ,0).由 =(1,0,-1),可得所以直線PA與平面PEH的夾角的正弦值為考向3 平面與平面的夾角的求法【典例3】(2012新課標全國卷)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC AA1，D是棱AA1的中點，DC1BD.(1)證明：DC1BC.(2)求平面A1BD與平面C1BD的夾角的大小.【思路點撥】(1)可證明DC1平面BCD.(2)可以CA，CB，CC1為坐標軸建立空間直角坐標系求解.【規(guī)范解答】(1)由題設知，三棱柱的側面為矩形.由于D為AA1的中點，故DCDC1.又AC 可得所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.又BC平面BCD，故DC1

5、BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩互相垂直.以C為坐標原點， 的方向為x軸的正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2).則 (0，0，-1)， (1，-1，1)， (-1，0，1).設n=(x,y,z)是平面A1B1BD的一個法向量，則即可取n=(1,1,0).同理，設m是平面C1BD的一個法向量，則可取m=(1，2，1).從而cosn,m故平面A1BD與平面C1BD的夾角的大小為30.【拓展提升】求平面與平面的夾角大小的常用方法(1)分別求

6、出兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面的夾角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在兩個半平面內(nèi)找到與兩平面的交線垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角或其補角就是兩個平面的夾角的大小.【變式訓練】(2012江西高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ABACAA1 BC4，點A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O.(1)證明在側棱AA1上存在一點E，使得OE平面BB1C1C，并求出AE的長.(2)求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值.【解析】(1)連接AO，在AOA1中，作OEAA1于點E，因為AA1BB1，得OEBB

7、1.因為A1O平面ABC，所以A1OBC.因為ABAC，OBOC，所以AOBC，所以BC平面AA1O，所以BCOE，所以OE平面BB1C1C.又AO(2)如圖，以O為原點，OA，OB，OA1所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，-2，0)，A1(0，0，2).由 得點E的坐標是由(1)得平面BB1C1C的一個法向量是設平面A1B1C的法向量為n=(x,y,z)，令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2，1，-1).所以即平面A1B1C與平面BB1C1C的夾角的余弦值是考向4 求空間距離【典例4】(1)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C

8、1D1中，點E為BB1的中點，則點C1到平面A1ED的距離是_.(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a求點C1到平面AB1D1的距離；求平面CDD1C1與平面AB1D1的夾角的余弦值【思路點撥】(1)建立空間直角坐標系，利用點到平面的距離公式求解.(2)建立空間直角坐標系，利用點到平面的距離公式求解；求得平面CDD1C1與平面AB1D1的法向量，進而求得平面與平面的夾角的余弦值.【規(guī)范解答】(1)以A為原點建立空間直角坐標系如圖所示.則A1(0,0,1)，E(1,0， )，D(0,1,0)，C1(1,1,1). =(0,1,-1),設平面A1ED的法向量為n1=(x,y,z)，令

9、z=2，則n1=(1,2,2).又 =(-1,-1,0)，點C1到平面A1ED的距離答案：1(2)建立空間直角坐標系如圖所示，則A(0,0,0)，D1(0,a,a),B1(a,0,a),C1(a,a,a), =(-a,-a,-a)， =(0,a,a)， =(a,0,a)設n=(x,y,z)是平面AB1D1的一個法向量，令z=-1,得x=1,y=1，可得n=(1,1,-1) 因此C1到平面AB1D1的距離為由知，平面AB1D1的一個法向量是n=(1,1,-1)又因AD平面CDD1C1，故平面CDD1C1的一個法向量是n1=(0,1,0)設平面CDD1C1與平面AB1D1的夾角為，則故所求夾角的余

10、弦值為【互動探究】在本例題(1)中，若條件不變，結論改為“則直線A1C1與平面A1ED的夾角的大小為_”，如何求解？【解析】由題(1)的解法知，平面A1ED的一個法向量為n1=(1,2,2)， =(-1,-1,0).設所求角為，則sin =|cosn1, |故直線A1C1與平面A1ED的夾角的大小為45.【拓展提升】向量法求點到平面的距離的步驟(1)求平面的法向量n.(2)在平面內(nèi)取一點A，確定向量 的坐標.(3)代入公式 求解.【變式備選】如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB(1)求點A到平面MBC的距離.(2)求平面ACM與平面BCD的夾角

11、的正弦值.【解析】取CD中點O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD.取O為原點，直線OC，BO，OM為x軸，y軸,z軸，建立空間直角坐標系如圖,則OBOM 各點坐標分別為C(1，0，0)，M(0，0， )，B(0，- ，0)，A(0，- ，2 ).(1)設n=(x,y,z)是平面MBC的一個法向量，則 =(1, ,0), =(0, , ).由n 得x+ y=0.由n 得 y+ z=0.取n=( ,-1,1),又 =(0,0,2 ),則點A到平面MBC的距離為(2) (-1，0， )， (-1，- ，2 ).設平面ACM的一個法向量為n1=(x,y,z

12、),由n1 ,n1 得解得x= z,y=z,取n1=( ,1,1).又平面BCD的一個法向量為n2=(0,0,1),所以cosn1,n2=設所求兩平面的夾角為,則sin =【滿分指導】用空間向量解立體幾何問題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2012北京高考改編)如圖1，在RtABC中，C=90,BC=3,AC=6,D,E分別是AC，AB上的點，且DEBC，DE2.將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.(1)求證：A1C平面BCDE.(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE的夾角的大小.(3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由.【思路點撥】

13、已知條件條件分析C90,DEBCDEA1D,DECD,即DE平面A1DCA1CCDA1C平面BCDEM為A1D的中點可求 與平面A1BE的法向量的夾角平面A1DP平面A1BE法向量垂直 【規(guī)范解答】(1)因為ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.2分所以DEA1C.又因為A1CCD，所以A1C平面BCDE.3分(2)如圖，以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，則A1(0，0，2 )，D(0，2，0)，M(0，1， )，B(3，0，0)，E(2，2，0).5分設平面A1BE的法向量為n=(x,y,z)，則又 =(3,0,-2 ), =(-1,2,0),所

14、以令y=1,則x=2,z=所以n=(2,1, ).6分設CM與平面A1BE的夾角為.因為 (0，1， )，所以 所以CM與平面A1BE的夾角的大小為7分(3)線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.8分理由如下：假設這樣的點P存在，設其坐標為(p,0,0)，其中p0,3.設平面A1DP的法向量為m=(x,y,z),則又 (0，2， (p,-2,0),所以令x=2,則y=p, 所以m=(2,p, ).10分平面A1DP平面A1BE，當且僅當mn=0,即4+p+p=0.解得p=-2，與p0，3矛盾.所以線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直.12分【失分警示】(下文

15、見規(guī)范解答過程)1.(2012陜西高考)如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( )(A) (B)(C) (D)【解析】選A.設CA=2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，可得向量 (-2，2，1)， =(0，2，-1)，由向量的夾角公式得2.(2012大綱版全國卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB2，CC1 E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為 ( )(A)2 (B) (C) (D)1【解析】選D.連接AC交BD于O，連接OE，由

16、題意得AC1OE，AC1平面BED，直線AC1與平面BED的距離等于點A到平面BED的距離，也等于點C到平面BED的距離，作CHOE于H，則CH OE1為所求，故選D.3.(2013長春模擬)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，則D1C1與平面A1BC1的夾角的正弦值為_.【解析】如圖，建立空間直角坐標系,則D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0), =(0,2,0), =(-1,2,0), =(0,2,-1).設平面A1BC1的一個法向量為n=(x,y,z),由得令y=1，得n=(2,1,2).設D1C1與平面A1BC1的夾角

17、為，則即直線D1C1與平面A1BC1的夾角的正弦值為答案：4.(2012安徽高考)平面圖形ABB1A1C1C如圖1所示，其中BB1C1C是矩形.BC2，BB14，ABAC A1B1A1C1現(xiàn)將該平面圖形分別沿BC和B1C1折疊，使ABC與A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接A1A，A1B，A1C，得到如圖2所示的空間圖形，對此空間圖形解答下列問題:(1)證明：AA1BC.(2)求AA1的長.(3)求平面ABC與平面A1BC的夾角的余弦值.【解析】方法一(向量法)：(1)取BC，B1C1的中點分別為D和D1，連接A1D1,DD1,AD.由BB1C1C為矩形知，DD1B1C1.

18、因為平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1為坐標原點，可建立如圖所示的空間直角坐標系.由題設，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，-1，4)，B(1，0，4)，A1(0，2，0)，C(-1，0，4)，D(0，0，4).故 (0，3，-4)， (-2，0，0)， =0，因此 即AA1BC.(2)因為 (0，3，-4)，所以| |5，即AA15.(3)連接A1D.由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1為平面ABC與平面

19、A1BC的夾角或其補角.因為 (0，-1，0)， (0，2，-4)，所以cos , 即平面ABC與平面A1BC的夾角的余弦值為方法二(綜合法)：(1)取BC，B1C1的中點分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD，A1D.由條件可知，BCAD，B1C1A1D1.由上可得AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，因此ADA1D1，即AD，A1D1確定平面AD1A1D.又因為DD1BB1，BB1BC，所以DD1BC.又ADBC，所以BC平面AD1A1D，故AA1BC.(2)延長A1D1到G點，使GD1AD.連接AG.因為AD GD1，所以AG DD1 BB1.由于BB1平面A1B1C1，所

20、以AGA1G.由條件可知，A1GA1D1+D1G3，AG4.所以AA15.(3)因為BC平面AD1A1D，所以ADA1為平面ABC與平面A1BC的夾角或其補角.在RtA1DD1中，DD14，A1D12，解得sinD1DA1=cosADA1=cos( +D1DA1)=即平面ABC與平面A1BC的夾角的余弦值為1.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側面ACC1A1是A1AC 的菱形，且側面ACC1A1底面ABC，D為AC的中點.(1)求證：平面A1BD平面ACC1A1.(2)若點E為AA1上的一點，當CEBB1時，求平面AEC與平面BEC的夾角的正切值.【解析】方法一：(1

21、)A1AC AA1=AC,D為AC的中點，ABC為正三角形，ACA1D，ACBD,AC平面A1BD.而AC平面ACC1A1，平面A1BD平面ACC1A1.(2)AA1BB1，CEBB1，CEAA1.點E為AA1的中點.BDAC，BDA1D，BD平面ACE.過點D作DFCE，垂足為F，連接BF，如圖(1)，則BFCE，BFD為平面AEC與平面BEC的夾角或其補角.DFCE,易得DF AE.設ABa,則BDDF AE AA1 a,tanBFD=故平面AEC與平面BEC的夾角的正切值為方法二：(1)依題意有AC，BD，A1D兩兩垂直且相交于點D，故建立如圖(2)所示的空間直角坐標系，設AB2a,則A

22、(0，-a,0),B( a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(0,0, a).(1) =(0,2a,0), =( a,0,0),ACDB,ACDA1.AC平面A1BD.而AC平面ACC1A1，平面A1BD平面ACC1A1.(2)AA1BB1,CEBB1,CEAA1.點E為AA1的中點.BDAC,BDA1D,BD平面AEC. ( a,0,0)為平面AEC的一個法向量.設n(x,y,z)為平面BEC的一個法向量，則有n 0，n =0,又 =( a，-a，0)，所以令x=a,則y= a，z=3a,n=(a, a,3a),n而平面AEC與平面BEC的夾角的正切值為2.在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，E,F分別是BC,AD的中點，(1)求直線AC與DE夾角的余弦值.(2)求直線AD與平面BEDF夾角的余弦值.(3)求平面BEDF與平面ABCD夾角的余弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標系，則A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a, ,0)， =(a,a,-a)， =(a,- ,0),故AC與DE夾角的余弦值為(2)ADE=ADF,所以AD在平面BEDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上，又四邊形BEDF為菱形，DB為EDF的平分線，故直線AD與平面BEDF的夾角為ADB，由坐標系知，A(0,0,0),B(a,0,a)，D