化工數(shù)學：第三章 n維向量

1、線 性 代 數(shù) 第三章 n維向量 第一節(jié) n 維向量與線性相關(guān)性第二節(jié) 向量組的秩數(shù) 第三節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)第四節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.1 向量的概念及其運算 1、如何判別方程組（4）中是否有多余方程？2、如何找保留方程組（5）？3、在（5）中是否一定能找到不為0的系數(shù)行列式？線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.1 向量的概念及其運算 例如線性方程組（4）中的任一個方程的系數(shù)，就是 n 個有序數(shù)，因而是一個 n 維向量。第 i 個方程的系數(shù)構(gòu)成向量 可見線性方程與向量之間有著一一對應(yīng)的關(guān)系。

2、因此，我們可以用向量來研究線性方程的問題。這樣方程之間的關(guān)系，就轉(zhuǎn)變成與之對應(yīng)的向量之間的關(guān)系。 n 維行向量 abba+=+(1) (2) gbagba+=+)()(3) aa=+0(4) 0)(=-+aa(5) aaaa-=-=)1(,1(6) aa)()(k l lk =(7) babakkk+=+)(8) aaalklk+=+)( 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性向量的加法和數(shù)乘滿足下列八條運算規(guī)律定理1 對任意 n 維向量，和數(shù) k 及 l ，有： 引進了 n 維向量的概念以后，一個線性方程組中方程之間的關(guān)系，就變成由它們的未知量的系數(shù)和常數(shù)項所決定的一組 n

3、 維向量 之間的關(guān)系。因此進一步研究向量組的性質(zhì)，對后面討論解線性方程組是非常必要的。線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.2 向量組及其線性組合定義6 向量 若能夠表示成向量組 的線性組合，即存在一組數(shù) 使 稱 可由向量組 線性表示，或稱 為向量組 的線性組合。 按此定義，方程組（4）中有沒有多余方程的問題，就相當于對應(yīng)的 s 個向量 中有沒有某一個向量能由其余 s-1 個向量線性表示的問題。 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.2 向量組及其線性組合定理2 向量 可由向量組 線性表示的充分必要條件為以向量 為系數(shù)列向量， 為常數(shù)項的線性

4、方程組有解，并且每一個解向量的分量就是它的一個線性組合系數(shù)。 向量組 中有沒有某個向量能由其余向量線性表示，這是向量組的一種重要性質(zhì)，稱為向量組的線性相關(guān)性。 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.2 向量組及其線性組合定義7 一個向量組 ，如果存在一組不全為零的常數(shù) ，使得 就稱向量組 線性相關(guān)。否則就稱 線性無關(guān)。 若向量組是由一個向量組成的，由定義：一個向量 線性相關(guān)的充分必要條件是 。 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第1節(jié) n維向量與線性相關(guān)性3.1.3 向量組的線性相關(guān)性0定義8如果向量組 中每一個向量都可由另一組向量 線性表示，就稱向量組 可由向量組 線性表

5、示。 若向量組 可由 線性表示，而向量組 又可由 線性表示，就稱這兩向量組等價。 由線性表示的傳遞性，可知等價是有傳遞性的。線性代數(shù) 第三章 n維向量 第2節(jié) 向量組的秩3.2.1 線性相關(guān)性與線性表示的關(guān)系 定義9向量組 的一個部分組 如果滿足 線性無關(guān)， 向量組 線性相關(guān)。 則稱 為 的一個極大線性無關(guān)組。 由定義可知，若 為向量組 的一個極大線性無關(guān)組，那么 中任一向量都可表為 的線性組合，且表達式唯一。因此，一個向量組與它自己的極大線性無關(guān)組總是等價的。線性代數(shù) 第三章 n維向量 第2節(jié) 向量組的秩3.2.1 線性相關(guān)性與線性表示的關(guān)系定義10 一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)

6、稱為這個向量組的秩。 向量組秩的結(jié)論： 1）向量組線性無關(guān) 它所含向量的個數(shù)即為向量組的秩。 2）一個向量組的秩必大于或等于它任一部分組的秩。 3）若向量組 與向量組 等價，則 4）若向量組 可由向量組 線性表示，則 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第2節(jié) 向量組的秩3.2.2 向量組的秩2.5.4 秩與線性方程組線性代數(shù) 第二章 矩陣 第5節(jié) 矩陣的秩，初等矩陣秩與線性方程組關(guān)系的實質(zhì)是給出了求解線性方程組的方法和步驟：（1）對于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B化成行階梯形矩陣，從B的行階梯形矩陣可同時看出r(A)和r(B)，若r(A) r(B)，則方程組無解。 （2）若r(A)=r(B)，則

7、進一步把B化成規(guī)范的行階梯形矩陣（行最簡形），而對于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣A化成規(guī)范的行階梯形矩陣。2.5.4 秩與線性方程組線性代數(shù) 第二章 矩陣 第5節(jié) 矩陣的秩，初等矩陣（3）若r(A)=r(B) rn ，把規(guī)范的行階梯形矩陣中r個非零行的非零首元所對應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余nr個未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于 ， 由B（或A）的規(guī)范的行階梯形矩陣，即可寫出含nr 個參數(shù)的通解。線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)有關(guān)于解一般的線性方程組，歸納起來有下面 3 個問題：（1）線性方程組有解的充要條件是什么？

8、（2）如果有解，則它有多少個解？又如何去求解？（3）如果方程組只有一個解，則把它解出來就完了；如果不止有一個解，則這些解之間有什么關(guān)系？(1)線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有齊次線性方程組則（1）式可寫成向量方程 （2） 一.齊次線性方程組0=AX解的存在性 對于 n元齊次線性方程組0=AX有: ()0=AX只有零解時nAr=)(; () 0=AX有非零解時nAr)(. 二.齊次線性方程組0=AX解的性質(zhì) 命題 設(shè)21,xx為齊次線性方程組0=AX的兩個解向量,k為任意數(shù),則 () 21xx+為0=AX的解向量; ()1xk為0=

9、AX的解向量. ()設(shè)是AX=0的解, 則也是AX=0的解，其中是任意常數(shù)線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)三基礎(chǔ)解系的存在性與求法 定義1 設(shè) pxxx,21L是齊次線性方程組0=AX的一組解向量,如果 (1) pxxx,21L線性無關(guān), (2) 齊次線性方程組0=AX的任意解向量組可由pxxx,21L線性表示 則稱pxxx,21L為齊次線性方程組0=AX的一個基礎(chǔ)解系. 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)定理1 設(shè)A是m n階矩陣，若nrA r=) (則齊次線性方程組0=AX

10、存在一個由rn-個線性無關(guān)的解向量rn-xxx,21L構(gòu)成的基礎(chǔ)解系，且它們的線性組合 rnrnkkkX-+=xxxL2211 (3) (其中 為任意常數(shù)）rnkkk-L21, 為0=AX的所有解。稱（3）式為 的通解。0=AX 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.1 齊次線性方程組解的性質(zhì)方程組 的求解方法：0=AX (1)將系數(shù)矩陣 A 用初等行變換化為規(guī)范的階梯形矩陣，即 (2)以 為系數(shù)陣得同解方程組 ，將方程組 移項，添項得 的全部解，并寫成解向量的形式即得通解 0A rnrnkkkX-+=xxxL2211 rn-xxx,21L 線性代數(shù) 第三章 n維向

11、量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解 （其中 為任意常數(shù)）由通解得 的基礎(chǔ)解系線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解例 求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解解：（1）將系數(shù)矩陣A用初等行變換化為規(guī)范的階梯形矩陣，即線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解（2）得同解方程組A0X=0為（3）移項得再添項得齊次線性方程組的所有解： （其中x3、x4為任意常數(shù)）線性代數(shù) 第三章 n維

12、向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解所有解寫成解向量的形式即得通解（其中x3、x4為任意常數(shù)）線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解即通解為（其中x3、x4為任意常數(shù)）得基礎(chǔ)解系線性代數(shù) 第三章 n維向量 第3節(jié) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.3.2 齊次線性方程組的求解線性代數(shù) 第三章 n維向量 第4節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.4.1 非齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組可表示為矩陣形式或表示為向量形式 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第4節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.4.1 非齊次線性方程組解的性質(zhì)線性方

13、程組b=AX有解的條件： 定理 非齊次線性方程組b=AX有解 向量b可由A的列向量naaa,21L線性表示 向量組naaa,21L與baaa,21nL等價 =),(21nraaaL),(21baaanrL ),()()(bArArAr= 方程組b=AX解的性質(zhì): 命題 若21,hh是b=AX的兩個解向量,x是0=AX的解向量則 (1)21hh-是0=AX的解向量; (2)1hx+是b=AX的一個解向量; (3)b=AX的任意一個解向量h都可表示成 00hxh+= 其中0h為b=AX的解,0 x 為0=AX的一個解. 線性代數(shù) 第三章 n維向量 第4節(jié) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.4.1 非齊次

14、線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu): 定理若b=AX滿足nArAr 0 的 n 次實系數(shù)多項式在復數(shù)域中恰有 n 個零點, k 重零點算作 k 個零點。但是實 矩陣可能有復特征值，例如矩陣 的特征方程的根為復根 對應(yīng)于同一個特征值的特征向量有無窮多個。 只要求出齊次線性方程組 的基 礎(chǔ)解系，即可求出所有的特征向量。 線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.1 特征值與特征向量的概念 注1：顯然，A 的特征值就是特征方程 的解（根）。 注2：特征值 對應(yīng)的特征向量就是方 程組 的非零解向 量。 線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 （1）計算

15、矩陣 A 的特征多項式 AEn-l)()(21llllll-=nL （2）由特征方程 得所有根 即為矩陣 A 的特征值；（3）對 A 的不同特征值 ，解方程組 得基礎(chǔ)解系 。線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 基礎(chǔ)解系中向量的線性組合：rrkkkaaaa+=L2211 rkkk,(21L不同時為零） 即為il的全部特征向量。 線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 例1 求 的特征值和特征向量解（1）A 的特征多項式為所以 A 的特征值為 2)2)(1(111111111+-=+-+-+=-llllllAE2,13

16、21-=lll線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 （2）對，解方程組，由得通解，基礎(chǔ)解系為，線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 所以A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 對，解方程組，由得通解線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 基礎(chǔ)解系為所以A的對應(yīng)于特征值的全部特征向量為：不同時為零）線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 本例說明：（1）矩陣可能有重特征值；

17、（2）若矩陣各行元素之和為常數(shù) a ,則 A 有一個特征值 a , 對應(yīng)的一組特征向量為線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 （3）一個特征向量唯一對應(yīng)一個特征值； （4）一個特征值對應(yīng)的特征向量有無窮多個； （5） 線性無關(guān)的特征向量可以不止一個。線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 例2 求 的特征值與特征向量。解： （1）A的特征多項式為所以，A的特征值為線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 （2）對21=l，解方程組0)2(3=-XAE 對應(yīng)于特征值2=il的全部特征

18、向量為 線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.2 特征值與特征向量的基本求法 對 ，解方程組132=ll0)(3=-XAE 對應(yīng)于特征值的全部特征向量為線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.3 特征值與特征向量的基本性質(zhì) 定理4.1 設(shè)nlll,21L為n階矩陣A=(aij)nn的n個特征值，則 (1) =niiinjja11l； (2) Anjj=1l 線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.3 特征值與特征向量的基本性質(zhì) （3）對任意正整數(shù)k，有是的特征值。 （4) 若，則為的特征值。線性代數(shù) 第四章 矩陣的特征值與特征向量 4.3 特征值與特征向量的基本性質(zhì) 定理4.2 如果slll,21L為n階矩陣A的s個不同的特征值，saaa,21L分別為