緒論及數(shù)學準備 課件

1、緒論及數(shù)學準備第零章 第零章第一節(jié)矢量代數(shù)與張量初步1 矢量代數(shù)與張量初步直角坐標系中 矢量定義 矢量的基本運算 矢量代數(shù)中的兩個重要公式 混合積矢量微分雙重矢量積注意順序不能顛倒 并矢與張量 （一般 ） 為單位并矢，張量的基（9個分量） 矢量與張量的矩陣表示 張量的運算兩并矢的一次點乘 兩并矢的二次點乘 單位張量與矢量、張量的點乘 補充練習題（ 0， ， 1， 1 ）計算與矢量 垂直,即證明計算下列各式證明下列各式 第零章第二節(jié)矢量場論復習一、場的概念2 矢量場論復習 描述一定空間中連續(xù)分布的物質(zhì)對象的物理量?；蛘f：若在一定空間中的每一點，都對應著某個物理量的確定值，就說在這空間中確定了該物

2、理的場。 如：強度場、速度場、引力場、電磁場。場用一個空間和時間 坐標的函數(shù)來描述：穩(wěn)恒場（穩(wěn)定場、靜場）：場與時間無關變化場（時變場）：場函數(shù)與時間有關已知場函數(shù)可以了解場的各種性質(zhì)：隨時空的變化關系（梯、散、旋度）。已知場函數(shù)的梯度、散度、旋度可以確定場函數(shù)， 這是電動力學求解電磁場的主要方法。二、標量場的梯度 在空間任意靠近兩點函數(shù) 的全微分在空間某點的任意方向上，導數(shù)有無窮多個，其中有一個值最大，這個方向?qū)?shù)的最大值定義為梯度： 梯度的意義：空間某點標量場函數(shù)的最大變化率 ，刻畫了標量場的空間分布特征 等值面： 常數(shù)的曲面稱為等值面。 梯度與等值面的關系：梯度與等值面垂直。 已知梯度即

3、可求出沿任一方向的方向?qū)?shù)。三、矢量微分算子 既具有矢量性質(zhì)，又具有微分性質(zhì) 注意：它可以作用在矢量上，可以作點乘、叉乘。 解：=？例1：解：例2：=？四、高斯定理與矢量場的散度 矢量族 在矢量場中對于給定的一點，有一個方向，它沿某一曲線的切線方向，這條曲線形成一條矢量線，又叫場線（對靜電場稱為電力線），無窮多條這樣的曲線構成一個矢量族。 矢量場的通量 面元 的通量： 有限面積 的通量 意義：用來描述空間某一范圍內(nèi)場的發(fā)散或會聚，它只具 有局域性質(zhì)，不能反映空間一點的情況。 有源 無源 負源 閉合曲面的通量 高斯公式 矢量場的散度 縮小到一點 若空間各點處處 則稱 為無源場。 該點有源 該點無

4、源 該點為負源 例子：求求 證明證：五、斯托克斯公式與矢量場的旋度 矢量場的環(huán)量（環(huán)流） 表明在區(qū)域內(nèi)無渦旋狀態(tài)，場線不閉合 表明在區(qū)域內(nèi)存在渦旋狀態(tài)，場線閉合 斯托克斯公式（定理） 矢量 沿任一閉合曲線 的積分稱為環(huán)量 定義 為矢量場的旋度，它在 法線方向上的分量為單位面積上的環(huán)量?？坍嬍噶繄鰣鼍€在空間某點上的環(huán)流特征。若空間各點 ，則稱 為無旋場。 矢量場的旋度 當L無限小： 例子： 證明同理證= 0 證明 證：六、有關場的四個定理關于散度旋度的兩個定理 正定理：標量場的梯度必為無旋場， 即 逆定理：無旋場必可以表示為某一標量場的梯度。 即若 ，則 ， 稱為無旋場 的標量 勢函數(shù)。 2.

5、正定理: 矢量場的旋度必為無散場，即 逆定理: 無源場必可表示為某個矢量場的旋度。 即若 ，則 ， 稱為無源場 的矢量勢函數(shù)。 亥姆霍茲定理 任意矢量場 均可分 解為無旋場 和無源場 之和。 即 可分解為 。 又稱為 的橫場部分，可引入標勢 ， 又稱為 的縱場部分，可引入矢勢 ， 唯一性定理 定理： 在空間某一區(qū)域內(nèi)給定場的散度和旋度以及 矢量場在區(qū)域邊界上的法線分量， 則該矢量場在區(qū)域內(nèi)是唯一確定的。 V 17951799年在哥廷根大學學習，1799年獲博士學位。1870年任哥廷根大學數(shù)學教授和哥廷根天文臺臺長，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共發(fā)表323篇（種）著作，

6、提出404項科學創(chuàng)見（發(fā)表178項），在各領域的主要成就有： （1）關于靜電學溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度質(zhì)量和時間）法則量度非力學量以及地磁分布的理論研究；（2）利用幾何學知識研究光學系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯定理光學；（3）天文學和大地測量學中，如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等；（4）結合試驗數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯定理誤差曲線。此外，在純數(shù)學方面，對數(shù)論、代數(shù)、幾何學的若干基本定理作出嚴格證明。 德國數(shù)學家和物理學家。1777年4月30日生于德國布倫瑞克，幼時家境貧困，聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。高斯 第零章第三節(jié)三度在坐標系中的表示及一些重要公式 3 三度在坐標系中的表示及一些重要公式 一、矢量微分算子（哈密頓算子） 二、柱坐標、球坐標與直角坐標的關系 柱坐標與直角坐標的關系 球坐標與直角坐標的關系 三、“三度”在坐標系中的具體表示形式 四、關于“三度”的一些常用公式復合函數(shù)的 三度公式 積分變換公式 高斯公式 斯托克斯公式 利用混合積公式格林公式 第一公式 第二公式 積分變換的一般規(guī)則 一般變換規(guī)則證明 證： 任取常矢