2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第十一章　概率11.1　隨機(jī)事件的概率

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI11.1隨機(jī)事件的概率第十一章2022內(nèi)容索引010203必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破案例探究4 “正難則反”思想在概率中的應(yīng)用必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.事件的分類 確定事件必然事件在條件S下,一定會(huì)發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會(huì)發(fā)生的事件,叫做相對于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下的事件,叫做相對于條件S的隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生2.頻率與概率(1)頻率的概念:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA

2、為事件A出現(xiàn)的,稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)= 為事件A出現(xiàn)的.(2)隨機(jī)事件概率的定義:在的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),隨機(jī)事件A發(fā)生的會(huì)在某個(gè)附近擺動(dòng),即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時(shí)這個(gè)叫做隨機(jī)事件A的概率,記作P(A),有0P(A)1.(3)概率與頻率的關(guān)系:對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用來估計(jì)概率P(A).頻數(shù)頻率相同頻率常數(shù)常數(shù)頻率fn(A) 3.事件的關(guān)系與運(yùn)算 定義符號表示包含關(guān)系若事件A_,則事件B_,這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) _相等關(guān)系若BA,且_,則稱事件A與事件B相等

3、 _并事件(和事件)若某事件發(fā)生,_,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) _ 交事件(積事件)若某事件發(fā)生,_,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) _發(fā)生一定發(fā)生BA(或AB) AB A=B 當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生 AB(或A+B) 當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生 AB(或AB) 定義符號表示互斥事件若AB為_事件,則稱事件A與事件B互斥 _對立事件若AB為_事件,AB為_,則稱事件A與事件B互為對立事件 _(為必然事件)不可能AB=不可能必然事件AB=,且AB= 4.互斥事件與對立事件的關(guān)系對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件.5.概率的幾個(gè)

4、基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍:.(2)必然事件的概率:P(A)=.(3)不可能事件的概率:P(A)=.(4)概率的加法公式:若事件A與事件B互斥,則P(AB)=.(5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件.P(AB)=,P(A)=.0P(A)1 1 0P(A)+P(B) 1 1-P(B) 【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.()(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事.()(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(4)兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生.()(5)若A,B為互斥事件,則P(A)

5、+P(B)=1.()(6)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()2.從一批羽毛球中任取一個(gè),其質(zhì)量小于4.8克的概率為0.3,質(zhì)量不小于4.85克的概率為0.32,則質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為()A.0.62B.0.38C.0.7D.0.68答案 B解析 由互斥事件的概率計(jì)算公式可得質(zhì)量在4.8,4.85)(單位:克)范圍內(nèi)的概率為P=1-0.3-0.32=0.38.故選B.答案 B 4.口袋內(nèi)有一些大小相同的紅球、黃球和白球,從中任意摸出一球,摸出的球是紅球或黃球的概率為0.4,摸出的球是紅球或白球的概率為0.9,那么摸出的球是黃球或白球的概率為()A

6、.0.7B.0.5C.0.3D.0.6答案 A解析 設(shè)摸出紅球的概率為P(A),摸出黃球的概率是P(B),摸出白球的概率為P(C),所以P(A)+P(B)=0.4,P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.6,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.1,所以P(B)+P(C)=0.7.故選A.5.如圖所示,靶子由一個(gè)中心圓面和兩個(gè)同心圓環(huán)、構(gòu)成,射手命中、的概率分別為0.15,0.20,0.45,則不中靶的概率是.答案 0.20解析 設(shè)射手“命中圓面”為事件A,“命中圓環(huán)”為事件B,“命中圓環(huán)”為事件C,“不中靶”為事件D,則A,B

7、,C,D彼此互斥,故射手中靶概率為P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因?yàn)橹邪泻筒恢邪惺菍α⑹录?故不中靶的概率P(D)=1-P(ABC)=1-0.80=0.20.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1隨機(jī)事件的關(guān)系例(1)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,彼此互斥的事件A,B,C,D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是()A.AB與C是互斥事件,也是對立事件B.BC與D是互斥事件,也是對立事件C.AC與BD是互斥事件,但不是對立事件D.A與BCD是互斥事件,也是對立事件(2)某校高三(1)班50名學(xué)生參加1 500 m體能測試,其中23人成績?yōu)?/p>

8、A,其余人成績都是B或C.從這50名學(xué)生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,則抽得C的概率是()A.0.14B.0.20 C.0.40D.0.60答案 (1)D(2)A解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且ABCD是一個(gè)必然事件,故其事件的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對立事件,任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對立事件.故選D.(2)由于成績?yōu)锳的有23人,故抽到C的概率為P=1- -0.4=0.14.故選A.思考如何判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系?解題心得 判斷隨機(jī)事件之間的關(guān)系有兩種方法:(1)定義法,就是考查它們能否同時(shí)發(fā)生

9、,如果不能同時(shí)發(fā)生,則是互斥事件,否則,就不是互斥事件.(2)類比集合進(jìn)行判斷,把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥.事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.注意:事件的包含、相等、互斥、對立等,其發(fā)生的前提條件應(yīng)是一樣的;對立是針對兩個(gè)事件來說的,而互斥可以是多個(gè)事件的關(guān)系.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),其中:恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少

10、有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中,是對立事件的是()A.B.C.D.(2)(多選)擲一枚骰子,設(shè)事件A:“向上的一面是奇數(shù)點(diǎn)”,事件B:“向上的一面點(diǎn)數(shù)不超過3”,事件C:“向上的一面點(diǎn)數(shù)不小于4”,則下列說法正確的是()A.A與B是互斥而非對立事件B.A與B不是互斥事件C.B與C是互斥而非對立事件D.B與C是對立事件答案 (1)C(2)A與B,A與C,B與C,B與DB與D解析 (1)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況:一奇一偶,2個(gè)奇數(shù),2個(gè)偶數(shù).其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個(gè)奇數(shù)這兩種情況,它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對立事件.又中的事件可以同時(shí)發(fā)生,不是對立事件,故選C.(2)

11、將一枚骰子拋擲1次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù),事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3,事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4,事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故A錯(cuò)誤;事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生,不是互斥事件,故B正確;事件B與事件C不能同時(shí)發(fā)生,也不能同時(shí)不發(fā)生,是對立事件,故C錯(cuò)誤,D正確.考點(diǎn)2隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險(xiǎn)次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:

12、 出險(xiǎn)次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”.求P(B)的估計(jì)值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.解 (1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為 =0.55,故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為 =0.3,故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0

13、.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a(元).保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05解題心得 1.概率是頻率的穩(wěn)定值,它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小,它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時(shí),頻率越趨近于概率.2.求解隨機(jī)事件的概率的常用方法有兩種:(1)可用頻率來估計(jì)概率.(2)利用隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)除以基本事件總數(shù).計(jì)算的方法有:列表法,列舉法,樹狀圖法.思考隨機(jī)事件的頻率與概

14、率有怎樣的關(guān)系?如何求隨機(jī)事件的概率? 對點(diǎn)訓(xùn)練2電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表: 電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化,假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電

15、影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)(方法2)設(shè)“隨機(jī)選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B.沒有獲得好評的電影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1 628(部).由古典概型概率公式,得P(B)= =0.814.(3)第五類電影的好評率增加0.1,第二類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大.考點(diǎn)3互斥事件、對立事件的概率【例3】經(jīng)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下:求:(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少?(2

16、)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少?排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04解 記“0人排隊(duì)等候”為事件A,“1人排隊(duì)等候”為事件B,“2人排隊(duì)等候”為事件C,“3人排隊(duì)等候”為事件D,“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=ABC,所以P(G)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則H=DEF,所以P(H)=P(DEF)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+

17、0.04=0.44.(方法2)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.解題心得 求互斥事件的概率一般有兩種方法(1)公式法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算;(2)間接法:先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( )求出所求概率,特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就較簡便.思考求互斥事件的概率的一般方法有哪些? 要點(diǎn)歸納小結(jié)1.對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A).2.利用集合方法判

18、斷互斥事件與對立事件:(1)若由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥;(2)事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.要點(diǎn)歸納小結(jié)3.求復(fù)雜事件概率的方法求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的,求解時(shí)通常有兩種方法:(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率;(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí),需要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率.案例探究4“正難則反”思想在概率中的應(yīng)用 概率求解中什么樣的

19、問題需用“正難則反”思維?一般來說,“正難則反”的思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想,如反證法、補(bǔ)集的思想都是“正難則反”思想的體現(xiàn).在解決問題時(shí),如果從問題的正面入手比較復(fù)雜或不易解決,那么嘗試采用“正難則反”思想往往會(huì)起到事半功倍的效果,大大降低題目的難度.在求對立事件的概率時(shí),經(jīng)常應(yīng)用“正難則反”的思想,即若事件A與事件B互為對立事件,在求P(A)時(shí),利用公式P(A)=1-P(B),先求容易的一個(gè),再求另一個(gè).【例】已知射手甲射擊一次,命中9環(huán)(含9環(huán))以上的概率為0.56,命中8環(huán)的概率為0.22,命中7環(huán)的概率為0.12.(1)求甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次,至少命中7環(huán)的概率.解記“甲射擊一次,命中7環(huán)以下”為事件A,則P(A)=1-0.56-0.22-0.12=0.1,“甲射擊一次,命中7環(huán)”為事件B,則P(B)=0.12,由于在一次射擊中,A與B不可能同時(shí)發(fā)生,故A與B是互斥事件,(1)“甲射擊一次,命中不足8環(huán)”的事件為A+B,由互斥事件的概率加法公式,P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.12=0.22.答:甲射擊一次,命中不足8環(huán)的概率是0.22.(2)方法1:記“甲射擊一次,命中8環(huán)”為事件C,“甲射擊一次,命中9