a第三章參數(shù)曲面第一基本形式

1、微分幾何 Differential GeometryChapter 3 參數(shù)曲面第一基本形式第一基本形式設(shè) 是 中一個(gè)正則參數(shù)曲面. 則 是曲面上任意一點(diǎn) 處的切向量，這個(gè)向量作為 中的向量可以計(jì)算它的長(zhǎng)度. 這三個(gè)函數(shù) 稱為曲面 的第一類基本量. 第一基本形式而矩陣 稱為切空間(關(guān)于基底 )的度量矩陣(metric matrix). 由于 的度量是正定的，這是一個(gè)正定矩陣. 事實(shí)上，它的2個(gè)順序主子式均 ：(Lagrange 恒等式)第一基本形式利用第一類基本量 的定義，有 這是一個(gè)關(guān)于變量 的二次型，稱為曲面 的第一基本形式(first fundamental form)，記為記參數(shù)變換

2、的Jacobi矩陣為 則第一類基本量之間的關(guān)系為 新的參數(shù) 下，第一基本形式保持不變：第一基本形式第一基本形式與參數(shù)選擇無(wú)關(guān)，也與 的標(biāo)架選擇無(wú)關(guān)，是一個(gè)幾何量. 其實(shí)，這一結(jié)論也可由微分形式不變性直接得到：如果 和 是 處的兩個(gè)切向量，則它們的內(nèi)積為 因此切向量 的長(zhǎng)度為兩個(gè)切向量 和 之間的夾角 滿足 它們相互正交的充分必要條件是正交曲線網(wǎng)在參數(shù)曲面 上，參數(shù)曲線網(wǎng)是正交曲線網(wǎng) . 對(duì)于參數(shù)曲面 上的一條曲線 ，它的弧長(zhǎng)為面積元素定義 稱 為曲面S的面積元素，稱 為曲面 的面積.曲面的幾何量曲面上曲線的弧長(zhǎng) ，曲面的面積元素 以及曲面的面積 都是幾何量. 證明 假設(shè)參數(shù)變換為 ，其中 則在

3、新參數(shù) 下， 的參數(shù)方程 與原參數(shù)方程 之間滿足曲線的參數(shù)方程由 變成了 所以由(3.12)可見，在新參數(shù) 下，第一類基本量 滿足 其中 是 的逆映射 的Jacobi行列式. 另一方面根據(jù)二重積分的變量代換公式， 所以在新參數(shù) 下的面積元素根據(jù)二重積分的變量代換公式，有EXAMPLES例1 求旋轉(zhuǎn)面 的第一基本形式. 所以 這說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)面上，經(jīng)線和緯線構(gòu)成正交曲線網(wǎng). 第一基本形式為這說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)面上經(jīng)線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構(gòu)成正交參數(shù)曲線網(wǎng). 例2 求曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程. 解 設(shè)正則參數(shù)曲面 的第一基本形式是 再設(shè)二等分角軌線的切向量為 由題意，它與u-曲線的夾

4、角要等于它與v-曲線的夾角，而u-曲線的切方向?yàn)?，v-曲線的切方向?yàn)?，所以將 和 代入上式，得即由于 ，即 ，所以上式可化簡(jiǎn)為或等價(jià)地，參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線的微分方程為注 求解一階常微分方程初值問題得到的解 是曲面 上過(guò) 點(diǎn)的一條曲線 ，在 的每一點(diǎn) ，切方向 與該點(diǎn)處的兩條參數(shù)曲線的切方向夾角相等. 固定 ，讓初始條件 變動(dòng)，就得到2族這樣的曲線，它們就是參數(shù)曲線網(wǎng)的二等分角軌線.曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性在正交參數(shù)曲線網(wǎng)下，第一基本形式比較簡(jiǎn)單：?jiǎn)栴}：曲面上是否存在正交參數(shù)曲線網(wǎng)？引理設(shè) 是定義在區(qū)域 上的連續(xù)可微的1次微分形式，且 處處不為零. 則對(duì)于任意一點(diǎn) ， 在 的某個(gè)鄰

5、域 內(nèi)存在積分因子，即有定義在 上的非零連續(xù)可微函數(shù) ，使得 是某個(gè)定義在 上的連續(xù)可微函數(shù) 的全微分：定理4.1 假定在曲面 上有兩個(gè)處處線性無(wú)關(guān)的、連續(xù)可微的切向量場(chǎng) , . 則對(duì)每一點(diǎn) ，必有 點(diǎn)的一個(gè)鄰域 ，使得在 上存在新的參數(shù) ，滿足 . 分析：設(shè) ， . 則由 線性無(wú)關(guān)可知 如果這樣的可允許參數(shù)變換 存在，則應(yīng)有函數(shù) 使得 即有 在上述等式兩邊取逆矩陣得 因此逆參數(shù)變換 應(yīng)滿足定理4.1的證明：考慮兩個(gè)1次微分形式 由引理可知存在積分因子 使得 是全微分，即有函數(shù) ， 使得由此可見因?yàn)?參數(shù)變換 是可允許的. 在新的參數(shù) 下， 同理有 . 注 滿足條件的新參數(shù)僅是局部存在的，并且不能使得 . 曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性定理4.2 在曲面 上每一點(diǎn) ，有 點(diǎn)的一個(gè)鄰域 ，使得在 上存在新的參數(shù) ，滿足 .證明