比例的穩(wěn)定性

1、比例穩(wěn)定性情景：如果一個實驗中，事件A發(fā)生的概率為p，為了估計P的值，可以進行N次獨立重復(fù)實驗，并記錄下事件A發(fā)生的次數(shù)n。根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)試驗次數(shù)N充分大時，有：p歸。N問題：上述情景中只要實驗次數(shù)足夠大，就能夠比較精確地估計出事件發(fā)生的概率值。這里 存在一個矛盾：如果要準(zhǔn)確估計概率，就要多花時間（或成本）做實驗；但是如果要 節(jié)約時間（或成本），估計出來的概率值就不會那么準(zhǔn)確。那么在給定誤差的前提下， 至少做多少次實驗?zāi)鼙容^精確地估計概率值呢？1、從切比雪夫不等式入手：假定，要求估計出來的頻率與概率之間的誤差不超過e，即：I p - n l e。N令：X = N次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，故有

2、：X B（N, p），則容易知道，E(X) = Np ； Var(X) = Np(1-p)。_ .Var (X)由切比雪夫不等式：尸(IX - E (X )l 1 - 一& 2Np (1- p)結(jié)合上述問題后得到：P(I n - Np 1-& 2n由于：I p一 l e，故：I n一Np l Ne，即：8= Ne。N故有：P(Ip-“ = P(In-NpI* = 7結(jié)論1：頻率與概率之間的誤差不超過e的概率至少為1 - p（1一 p）。Ne 2. p（1- p）一般地，稱1-為置信概率。為了減小誤差，就必須增大置信概率值。取置信Ne 2水平為。=1-以。令：1-p（ p） 0=1-a （置信概

3、率至少為P，一般可取90%或更 Ne 2大），得到：N 四立）。a e 2結(jié)論2：要使誤差不超過e的置信概率至少為1 -a，則實驗次數(shù)至少為p“一）。a e 2可以看出，試驗次數(shù)不只與精度要求有關(guān)（e越小，實驗次數(shù)越大），還與事件本身發(fā)11生的概率大小有關(guān)。由于p（1-p） = - （p -）2，故：當(dāng)事件發(fā)生的概率接近0.5時，所42需實驗次數(shù)就多；當(dāng)事件發(fā)生概率接近0或接近1時，所需實驗次數(shù)就少。2、從分式的變化率入手:n假定，第N次實驗得到的事件發(fā)生的頻率為p = T，那么第N+1次實驗得到的頻率 n Nnn +1可能有兩種情況：P1 =(事件不發(fā)生)以及P2 =(事件不發(fā)生)。為了方N

4、+1 N +1N+1 N +1n + x便起見，記：第N+1次實驗得到的頻率為PN+1= n+1(x=0或1)。 TOC o 1-5 h z n n + X| I n - Nx I | n X | I P - x I1由于 I P - P I=I 1= = = N。N+1N N N +1 N (N +1)N +1N +1N +1結(jié)論3：當(dāng)實驗次數(shù)為N時,前后兩次計算得到的頻率值將不會超過N+1。3、從近似分布入手修正切比雪夫不等式的結(jié)果：令：X = N次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，故有：X B(N, p)，則容易知道，E(X) = Np ； Var(X) = Np(1-p)。由中心極限定理可知：當(dāng)

5、實驗次數(shù)N充分大時，有：X近似N(Np,Np(1-p)，標(biāo)準(zhǔn)X XT D化后可得z = . - P = N近似N(0,1)。Np(1- p):p(1- p)V NX _因此，P(I X -E(X) Ke) = P(INI8 /N) = P(I Z Ie 二):P(1- P):P(1- P). P(1- P)V NN利用正態(tài)分布的分布函數(shù)可以求得：P(IZ I6，可以推出，實驗次數(shù)N滿足 P(1- P)的關(guān)系式為：N P(1 P)e2r 6 +1 八中-1( g)= P(1- P) f (e, 6)k 2 J結(jié)論4：要使誤差小于e的置信概率至少為6，則實驗次數(shù)至少為P(1- P)不同精度以及置信

6、概率下的f (e,P)函數(shù)值表:P0.80.850.90.95f (0.03, P)1423.9471599.4791827.6152177.738P0.80.850.90.95f (0.02, P )3203.8793598.8294112.1344899.91P0.80.850.90.95f (0.01, P)12815.5214395.3116448.5419599.64例：假設(shè)某一事件發(fā)生的概率大概為39%,置信概率為95%,分別計算誤差為0.01以及0.02 時至少進行多少次實驗？解：由題意可知 P = 0.39;e = 0.01 or 0.02;P = 0.95故查表可知：f (e, P ) = 19599.64 or 4899.91。此時：N 7643.86 or 1910.965。注：對于NBA優(yōu)秀三分射手而言，職業(yè)生涯命中率大概為38%40%左右。以雷吉米