高中數(shù)學(xué)競賽講義(一)——集合與簡易邏輯

1、高中數(shù)學(xué)競賽講義（一）集合與簡易邏輯一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集， 用大寫字母來表示；集合中的各個(gè)對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素 X在集合A中，稱k屬于A,記為工曰且，否則稱X不屬于A,記作芯史月。例如，通 常用N, Z, Q, B, Q分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù) 集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號(hào)內(nèi)并用 逗號(hào)隔開表示集合的方法，如1 , 2, 3;描述法：將集合中的元素的屬性寫在 大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。例如有理數(shù),

2、可工 ）分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù) 集。定義2子集：對于兩個(gè)集合A與B,如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為匚8 ,例如0規(guī)定空集是任何集 合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B 的子集，而且B中存在元素不屬于A,則A叫B的真子集。定義3交集ACB =且工巨8）定義4并集定義5補(bǔ)集，若事工九則5= 1市t上旦黑山稱為a在i中的補(bǔ)集。定義6差集小3二帥丘4且工至為0定義7集合（ 3K堡艮哂記作開區(qū)間g,集合*記作閉區(qū)間U” r記作（-8出口）定理1集合的性質(zhì)：對任意集合 A, B, C,有:（i）上八鳳以Nrwuun。HU/noRUM

3、叭（3）/ucd-gariK），（韋 cnc*g（usx【證明】這里僅證（1）、（3）,其余由讀者自己完成。（1）若工eMMWUC）,則xeR ,且工e或xe。，所以工七八刃或 心團(tuán)0,即心胸砒卬10）；反之，-砒加口，貝產(chǎn)出0司或mo ,即冗匕月且五匕B或五已e ,即支已且且N（|JC）,即（3）若工.EGWUCiE ,則X Eg丹或工W gw ,所以芯g或x 一,所以 工為 又所以我5（“1的，即6皿。例匚5 5n的，反之也 有.一一.定理2加法原理：做一件事有卡類辦法，第一類辦法中有阿1種不同的方法， 第二類辦法中有煙。種不同的方法，第髭類辦法中有肉”種不同的方法，那么 完成這件事一共有

4、M=%+% +%種不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分號(hào)個(gè)步驟，第一步有次L種不同的方法，第二 步有用。種不同的方法，第足步有海M種不同的方法，那么完成這件事一共有 二叫.啊嗎種不同的方法。二、方法與例題.利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。71 = f：aa = J3 -yxry e Z）例1設(shè) 1,求證：人kwZ. Ak -2）.（3）若PE環(huán)舷，則的W故證明（1）因?yàn)橹?eZ ,且次-1 = /_3_1尸，所以郎1已腹.（2）假設(shè)4比一2乏療舊已工）,則存在工）wE ,使戲一 2 一 一,由于x-7 和無+）有相同的奇偶性，所以健一/ =（工一月口4是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可

5、能等于我-2 ,假設(shè)不成立，所以詼-2WM.（3）設(shè)”國=/一/工”小屋，則w = （#-*3工）= +?33 - f 序-ya2 - （xa-yhY 一（帖一 ya）2 w M（因?yàn)镸值一沖2,工3一萬曰22,利用子集的定義證明集合相等，先證 盤,再證3匚/，則A=B0例2設(shè)A, B是兩個(gè)集合，又設(shè)集合 M滿足月riM/n二月n/UHUKiUB,求集合乂（用入b表示）?！窘狻肯茸C（川,若一月口的，因?yàn)樵聀即二/n，所以 心用,心財(cái)，所以團(tuán)”%再證MG（工口的，若木巳旭，xeAJSJM= AUB. 1）若ken ,則在總門比.乂八九2）若羌匕日，則內(nèi)田rw2riH所以二（卅ns綜上，二3.分類

6、討論思想的應(yīng)用。例34小:32 =叱心甸I+l1=0C=小二.工+2 = 0）, 若UB二盤,工八（7二C ,求以限解依題設(shè)，刃=0，2，再由”白工十一 = 0解得尤=* 1或大=,因?yàn)樯?3=月，所以月之乂，所以厘lw/ ,所以41=1或2,所以以二2 或3。因?yàn)閖ric = c ,所以C =刃，若C = ,則=0 ,即-22 m2 若D羊0 ,則或2 ,解得周二立綜上所述，*=2或m=3或-2比jV2、回。.計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。例 4 集合 A, B, C是 I=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0的子集，（1）若 求有序集合對（A, B）的個(gè)數(shù)；（2）求I的非空真子集的

7、個(gè)數(shù)。【解】（1）集合I可劃分為三個(gè)不相交的子集；A B, BA,上員中的每 個(gè)元素恰屬于其中一個(gè)子集，10個(gè)元素共有310種可能，每一種可能確定一個(gè)滿 足條件的集合對，所以集合對有310個(gè)。I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個(gè)子集分十 步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種， 第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有 3。= 1。24個(gè)，非空真子集有1022 個(gè)。.配對方法。例5給定集合=1123間的1t個(gè)子集：4 44 滿足任何兩個(gè)子 集的交集非空，并且再添加I的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)， 求無的 值?！窘狻繉的子集作如下配對：每

8、個(gè)子集和它的補(bǔ)集為一對，共得 2*1對， 每一對不能同在這七個(gè)子集中，因此，七色之怨；其次，每一對中必有一個(gè)在這k 個(gè)子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為 GA與A,并設(shè)上馬三, 則4工5上，從而可以在七個(gè)子集中再添加G月，與已知矛盾，所以上占2。 綜上，修=2一1。.競賽常用方法與例問題。定理4容斥原理；用表示集合a的元素個(gè)數(shù),則Mub|=IH+忸卜MUHijq二國+怛卜初一1工0同一|月口4 一忸na+Mnsnd,需要乂丫止匕結(jié) Z 論可以推廣到在個(gè)集合的情況，即=Zj4 卜工/口4 + N 4 nnA|+C-i)L|p|4 I定義8集合的劃分：若AUAU1*UA = ;,且A 4

9、=005JSHJ),則這些子集的全集叫I的一個(gè)片-劃分。定理5最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。定理6抽屜原理：將溶刀+1個(gè)元素放入理崎口1)個(gè)抽屜，必有一個(gè)抽屜放有 不少于用+1個(gè)元素，也必有一個(gè)抽屜放有不多于 溶個(gè)元素；將無窮多個(gè)元素放 入我個(gè)抽屜必有一個(gè)抽屜放有無窮多個(gè)元素。例6求1, 2, 3,，100中不能被2, 3, 5整除的數(shù)的個(gè)數(shù)?！窘狻坑?-JOOL#EOO,且搬被廛除(記為犧小Eg雨C = (gE。綱，由容斥原理,MuhuQ=國+冏+|一恒口用一忸na-erM|+Wnsric| 二100100V100記100100100100T-74,所以不能被2, 3, 5整

10、除的數(shù)有|小Jg=26個(gè)。例7 S是集合1, 2,2004的子集，S中的任意兩個(gè)數(shù)的差不等于4或 7,問S中最多含有多少個(gè)元素？【解】將任意連續(xù)的11個(gè)整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相 鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于S,將這11個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成6組，其中 一組只有一個(gè)數(shù)，若S含有這11個(gè)數(shù)中至少6個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與 已知矛盾，所以S至多含有其中5個(gè)數(shù)。又因?yàn)?004=182X 11+2,所以S一共 至多含有182X 5+2=912個(gè)元素，另一方面，當(dāng)二-=】比=12卬工口42口網(wǎng)心加時(shí)恰有網(wǎng)=912且$滿足題目 條件，所以最少含有912個(gè)元素。例8求所有自然數(shù)照03之 ,

11、使得存在實(shí)數(shù)甌r的滿足:圾-。卿士 . = Q2,確解當(dāng)在=2時(shí)，的二口必=1 ；當(dāng)心3時(shí)，即=0,&=1四=3 ；當(dāng)4 時(shí)，/ =0此 =5,% =1。下證當(dāng)國之5時(shí)，不存在。叼/滿足條件。_ I)令 】 之 則 上16.所以必存在某兩個(gè)下標(biāo)XJ ,使得囚7人為,所以即一1二的二或穌T=或一向 ,即的=1 ,所以內(nèi)抬- 1)AM 力，&T =% -I/ R _12或 2, % 一】。二雙題-1)=/ 、。 一 ，& - % 一 冬后%-2 右%-2 = 4 .(1 )右 上,考慮布 ，有兄 I或% - 2 = 4 -即也= 2 ,設(shè)冊-/4-2 ,則%-/t =4 一%-1 , 盾，故只有-

12、:考慮% 7,有/-3=?或%-3=%,即為 =設(shè)%-3 = %., 則樂-1-%=2 =附4 ,推出矛盾，設(shè)的 = 3,貝產(chǎn)八-/修=1 =電.%，又推 出矛盾，所以= 4故當(dāng)，工5時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。用(并T) Ta =工口二=1(ii)若 2，考慮4一，有%-2z 或-2 = %-%即2 ,這時(shí),推出矛盾，故=您一2?？紤]%-3 ,有f - 3= 3.。- 3 二4F 一口3口口以三 C 十日由 一 %二%,一 42E 品或電 飛 三，即三二3,于是32 飄 I ,矛盾。因此一二七-3,所以瑪-1 瑪-力二1二4 一%，這又矛盾，所以只有%-片% ,所 以煨=4。故當(dāng)咫之5時(shí)，不存

13、在滿足條件的實(shí)數(shù)例 9 設(shè) A=1, 2, 3, 4, 5, 6, B=7 , 8, 9,，n,在 A 中取三個(gè)數(shù)，人， 人士 且 i = 1,2，2。履 4 dMi vj三如B中取兩個(gè)數(shù)組成五個(gè)元素的集合典，1；求找的最小值?！窘狻縄HQfL設(shè)B中每個(gè)數(shù)在所有其中最多重復(fù)出現(xiàn)左次，則必有上工4。若不然，數(shù)溶出 現(xiàn)七次（上4）,則朵, 12.在酒出現(xiàn)的所有.中，至少有一個(gè)A中的數(shù)出現(xiàn)3 次，不妨設(shè)它是1,就有集合1 ,為當(dāng),惻也口當(dāng)嗎，町瓦必，陽也）, 其中,巨兒長16 ,為滿足題意的集合。啊必各不相同，但只能是2, 3, 4, 5, 6這5個(gè)數(shù)，這不可能，所以上工420個(gè)A中，B中的數(shù)有40

14、個(gè)，因此至少是10個(gè)不同的，所以總之16。當(dāng)2=1$ 時(shí)，如下20個(gè)集合滿足要求：1， 2, 3, 7, 8, 1 , 2, 4, 12, 14, 1 , 2, 5, 15, 16, 1 , 2, 6, 9, 10,1， 3, 4, 10, 11, 1 , 3, 5, 13, 14, 1 , 3, 6, 12, 15, 1 , 4, 5, 7, 9,1, 4, 6, 13, 16, 1 , 5, 6, 8, 11, 2 , 3, 4, 13, 15, 2 , 3, 5, 9, 11,2, 3, 6, 14, 16, 2 , 4, 5, 8, 10, 2 , 4, 6, 7, 11, 2 , 5

15、, 6, 12, 13,3, 4, 5, 12, 16, 3 , 4, 6, 8, 9, 3 , 5, 6, 7, 10, 4 , 5, 6, 14, 15 o例10集合1 , 2,，3n可以劃分成正個(gè)互不相交的三元集合工，乂工，其 中工+歹二交，求滿足條件的最小正整數(shù) 乩【解】設(shè)其中第工個(gè)三元集為E JNWT4風(fēng)則1+2+ 口加物+ 1）二士二所以 2-。當(dāng)用為偶數(shù)時(shí)，有%，所以收3 g ,當(dāng)盟為奇數(shù)時(shí),有可加+1 ,所以福之 5，當(dāng)”5 時(shí)，集合1 ,11, 4, 2, 13, 5, 3, 15, 6, 9, 12, 7, 10, 14, 8滿足條件，所以乳的最小值為5。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題.給

16、定三元集合L工/一方，則實(shí)數(shù)K的取值范圍是 。.若集合 LJ中只有一個(gè)兀素，則s=o.集合. 的非空真子集有個(gè)。一心一人M = （汗#-31+ 2 =。），= （工|值工十1 = 0） a# .已知集合 L八L I J ,若Nu沿，則由滿足條件的實(shí)數(shù)值組成的集合P=5,已知達(dá)=#=即加，且相X ,則常數(shù)交的取值范圍是.若非空集合S滿足S匚L2340 ,且若值匕3 ,則6 一厘仁日，那么符合要 求的集合S有個(gè)。.集合八伽+加幻與人4田心之間的關(guān)系是?.若集合初秋11,其中無已, yEZ且沙工。，若0匕工，則a中 兀素之和是八F=似* +工-6= U,腸=（匯加兌-1 = 0）Ml 口 什 八一乙

17、“.集合 ，且的F ,則滿足條件的活值構(gòu)成的集合為.集合力=2彳+ 1,舊.8 =沖+華町，則叱=.已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1）1廷比3若,則1-口0如果$芒0, S中至少含有多少個(gè)元素？說明理由。12.已知月=瓶4，= H巾S=(居刈y=*+五C = /n,又c為單元素集合，求實(shí)數(shù)淳的取值范圍。四、高考水平訓(xùn)練題1,已知集合=1孔初=，且上b,則”. .一 .一.-二 【：(，司筋=巴6,町，則“1G芍 =3.已知集合 實(shí)數(shù)洞的取值范圍是+紅一/*0高=國司+1工三加一1),當(dāng)43。時(shí),a A = .若實(shí)數(shù)出為常數(shù)，且.集合 M =病+1,若MW3)，貝嚴(yán)二6.集合小元素是上叫的+

18、QH),貝山J中的最7.集合二工+其砂，五一+/，-/，且上B,則黑+1A -8.已知集合01集二工防+4 0)2一雙，且,則聲的取值范圍o -八尸-釬 1 =嘰3=川.4/+2尤-2+5=嘰9,反朱口1c = EvW = h+a）,問：是否存在乜吐，使得皿切ne = ,并證明你 的結(jié)論。.集合A和B各含有12個(gè)元素，漢廣田含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1） C仁達(dá)IJZ且c中含有3個(gè)元素；2）.判斷以下命題是否正確：設(shè) A, B是平面上兩個(gè)點(diǎn)集，0二卜口”），若對任何北口，都有GCMULM，則必有A九 證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題*r 1A 工| 工 2 d w

19、0,且S c A.已知集合陽、十1，則實(shí)數(shù)活的取值范圍是.集合=023.,“,2月1的子集B滿足：對任意的苞3亡心工+， 則集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值是3,已知集合Fe%，。也3+壯聲+ 2H），其中q=0 ,且*已尺，若P=QQ則實(shí)數(shù)1=.已知集合葭 .（/）“ M ,若工n 是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則 度=。5住A M = 1岫=12*曲+第皿/E Z）.矢口，榮口M= （1山=2。刀+ 1匆+ 1%,產(chǎn)國/毛2） 入一.“三口 產(chǎn)小 尸, ，則集合M與N的關(guān)系是.設(shè)集合眩=a*，1995），集合a滿足：內(nèi)之形，且當(dāng)五曰且時(shí)5工庭達(dá),則A中元素最多有個(gè)。.非空集合=（也+段細(xì) = 梭E2） 則使5一nm成 立的所有值的集合是8,已知集合A, B, aC （不必相異）的并集,行，則滿足條 件的有序三元組（A, B,。個(gè)數(shù)是o 口加隹八/二口,用反+v = 1）, 2 = （兀則工十的=1） C =10。）產(chǎn)十/ = 1）.口大口呆J問：當(dāng)值取何值時(shí)，（為U3）nc為恰有2個(gè)元素的集合？說明理由，若改為 3 個(gè)元素集合，結(jié)論如何？.求集合B和C,使得6口 =。20，并且C的元素乘積等于B的元 素和。. s是q的子集且滿足：若1r,則/空恰有一個(gè)成立，并且若】則油eSm +上wS ,試確定集合So.集合S=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8