藥學高數(shù)10微分及其應用

1、 第六節(jié) 微分及其應用 一、微分 二、微分的幾何意義 三、一階微分形式不變性 四、微分的應用精選ppt 一、微分 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時,其邊長由 x0 變化到 x0 +x , 問此薄片的面積改變了多少?精選ppt 定義2-4 設(shè)函數(shù) y=f (x) 在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0 及 x0 +x 在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量 y =f (x0 +x ) - f (x0)可表示為 y =A x+ o (x )其中 A 是不依賴于x 的常數(shù)，而 o (x ) 是比 x 高階的無窮小，則稱函數(shù) y=f (x) 在點 x0 是可微的 ( differentiable )，而 A x 叫做函數(shù) y

2、=f (x) 在點 x0 相應于自變量增量 x 的微分 ( differential ) , 記為 d y ，即 d y =A x 函數(shù) y=f (x) 在任意點 x 處的微分, 稱為函數(shù)的微分,記為 d y 或 d f (x) d y =A x 精選ppt 函數(shù) f (x) 在點 x0 可微的充分必要條件是 f (x) 在點 x0 可導，且 d y = f (x0) x 。即 可導 可微 d y = f (x0) x 證明(1) 必要性精選ppt(2) 充分性即精選ppt 例2-53 求函數(shù) y =esinx 的微分。 解 dy =ydx=(esinx)dx = esinx (sinx)dx

3、 = esinx cosx dx 例2-54 求函數(shù) y =xlnx 在 x=e , 當 x =1 時的微分。 解 dy =yx =(xlnx)x =(1+lnx) x 精選ppt 二、微分的幾何意義 當自變量 x 在點 x0 處取增量 x 時，由于曲線 y=f (x)上點 (x0 , y0) 處的切線方程為： Y = f (x0)+ f (x0)(x- x0)所以 Y = f (x0)+ f (x0)(x0+x-x0 )- f (x0)+ f (x0)(x- x0) = f (x0) x = dy即微分是曲線 y=f (x) 在點 (x0 , y0) 處的切線上縱坐標的相應增量。MNT） P

4、 精選ppt 三、一階微分形式不變性結(jié)論：微分形式的不變性精選ppt 例2-55 y =e1-3x co x，求 dy 。 解 例2-56 y =ln sin(x+1)2 , 求 dy 。 解法一 精選ppt 解法二 由一階微分形式不變性知 例2-57 設(shè) y =y (x) 是由 y3-3y+2ax=0 所確定的函數(shù)，求 dy。 解 兩邊同時微分 d( y3-3y+2ax )=d(0) d(y3) - 3dy + 2a dx =0 3y2dy-3dy =-2a dx精選ppt 例2-58 在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。（1）d( )= xdx ; （2）d( )= cos

5、t dt 。 解 （1）因為 d(x2)=2dx ，所以 顯然，對任何常數(shù) C 都有 （2）因為 ，所以 ，即 ，或?qū)θ魏纬?shù) C 都有精選ppt 基本初等函數(shù)的微分公式 精選ppt 函數(shù)和、差、積、商的微分法則精選ppt 四、微分的應用 在 f (x0) 0 的條件下，dy 是 y 的線性主部，當 |x| 很小時，有近似計算公式： y dy = f(x0)x 將 y = f (x0+ x )- f (x0) 代入上式，可得： f (x0+x) f (x0) + f(x0)x 令 x= x0+x ，則： f (x)f (x0) + f(x0)(x-x0 )使用原則:精選ppt特別當很小時,常用

6、近似公式:很小)證明:令得精選ppt 例2-59 計算 的近似值。 解 設(shè) ，則由于1.05=1+0.05，故令 x0=1 , x=0.05顯然 f (1)=1 , f (1)=1/2 ，且 x=0.05 相對較小。所以，精選ppt 例2-60 利用微分計算 sin 3030 的近似值。 解 把 3030 化為弧度，得 設(shè) f (x)=sin x ，此時 f (x)=cos x 如果取 ，顯然 , ,所以精選ppt內(nèi)容小結(jié):1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導2. 微分運算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應用:近似計算精選ppt思考與練習1. 設(shè)函數(shù)的圖形如下, 試在圖中標出的點處的及并說明其正負 .精選pptxy0 x0 x0+x