《計算方法》課件：Ch4_1 Lagrange插值多項式

1、第四章 插值法 本章內(nèi)容 4.1 Lagrange插值多項式 4.2 Newton插值多項式 4.3 分段低次插值 實際問題中，往往要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系，但多數(shù)情形下只能由測量或?qū)嶒炗^察，得到一系列的數(shù)據(jù)： 問題：無法求出不在表中的某點 處的函數(shù)值，因而亦無從研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，如求函數(shù) 的零點、導(dǎo)數(shù)、積分等等。 問題的提出插值法基本思想：分類： 內(nèi)插外推注：簡單函數(shù)常指：多項式函數(shù)、分段多項式函數(shù)、有理函數(shù)； 相應(yīng)插值法稱為：代數(shù)插值法、分段插值、有理函數(shù)插值；我們主要介紹插值函數(shù)為多項式的插值，相應(yīng)的 稱為插值多項式，記作 。 特別：拋物線插值 線性插值 本節(jié)內(nèi)容提要插值多項式的存在唯

2、一性 Lagrange插值多項式 線性插值、拋物插值、 Lagrange插值多項式、 插值余項、 Hermite插值 4.1 Lagrange插值多項式一、插值多項式的存在唯一性Th1：證明：注：若不限定次數(shù)，則插值多項式不唯一；如： Vandermond行列式二、Lagrange插值多項式 的構(gòu)造 1、線性插值與拋物插值由Th1知， 中系數(shù)的計算只需求解一個 元方 程組，如此不但計算復(fù)雜，且難以得到 式；下面來介紹便于使用的簡單插值多項式 的簡單表達特殊情形：，先看點斜式 兩點式 基函數(shù)法：稱 或稱為基本插值多項式，則線性插值可以看作線性插值基函數(shù)的線性組合。 為線性（一次）插值基函數(shù)，類比

3、：(i)例：解：內(nèi)插 四位有效 六位有效 2、Lagrange插值多項式 n次插值基函數(shù)或Lagrange基本多項式 注：3、插值余項Th2： 證明：待定注：估計上例中用線性插值與拋物線插值計算sin0.3367的誤差。例：解：六位有效 四位有效 Runge現(xiàn)象：注：當(dāng)?shù)?誤差越小；但一般情形之下未必； 階導(dǎo)數(shù)具有一致界時，節(jié)點越多，可能出現(xiàn)：在插值區(qū)間中部誤差較小，而在端點 附近誤差較大的情形。Runge現(xiàn)象Runge現(xiàn)象說明并非節(jié)點越多（插值多項式次數(shù)越高），誤差越小； 高次插值的缺點Runge現(xiàn)象的存在；克服方法分段低次插值；解：例：Runge現(xiàn)象不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象注：Lagrange插值多項式的缺點：基函數(shù)計算復(fù)雜；且已得的 對于計算 無用，需重新算過； 高次插值精度未必高；Runge現(xiàn)象克服方法： 利用低次(n=1,2)插值多項式，經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M 合來構(gòu)造高次多項式，即可用前兩個n-1次插值多項 式的線性組合來構(gòu)造n次插值多項式； 逐次線性插值 利用Newton插值法。4、 Hermite插值 帶導(dǎo)數(shù)插值條件要求插值多項式不僅在給定節(jié)點處與函