不等式問題的題型與方法(文科

1、專題三：不等式問題的題型與方法(文科）考點(diǎn)回顧1高考中對(duì)不等式的要求是：理解不等式的性質(zhì)及其證明；掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用； 掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式；掌握簡(jiǎn)單不等式的解法；理解不等式a-ba+ba+b。2不等式這部分內(nèi)容在高考中通過兩面考查，一是單方面考查不等式的性質(zhì)，解法及證明；二是將不等式知識(shí)與集合、邏輯、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、平面向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯起來進(jìn)行考查，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)3在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜

2、的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰4證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)比較法的一般步驟是：作差(商)變形判斷符號(hào)(值)5在近幾年全國各省市的高考試卷中，不等式在各種題型中都有出現(xiàn)。在解答題中，不等式與函數(shù)、數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，難度比較大，使用導(dǎo)數(shù)解決逐漸成為一般方法6知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不 等 式不等式的性質(zhì)不等式的證明基本不等式不等式的解法

3、比較法綜合法分析法數(shù)學(xué)歸納法換元法反證法導(dǎo)數(shù)法有理不等式無理不等式指數(shù)不等式對(duì)數(shù)不等式絕對(duì)不等式不等式的應(yīng)用定義域值域單調(diào)性根的分布最值問題范圍問題實(shí)際應(yīng)用其中：指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、無理不等式只需了解，不做過高要求.經(jīng)典例題剖析1有關(guān)不等式的性質(zhì)此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，一般與函數(shù)的值域，最值與比較大小等常結(jié)合在一起例1（2006年江西卷）若a0，b0，則不等式ba等價(jià)于（ ）Ax0或0 x B.x C.x-或x D.x或x解析：ba等價(jià)于b0或0a等價(jià)于x或x答案：D 點(diǎn)評(píng)：注意不等式和適用條件是例2.（2007年北京卷）如果正數(shù)滿足，那么（），且等號(hào)成立時(shí)的取值唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值

4、唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一，且等號(hào)成立時(shí)的取值不唯一解析：正數(shù)滿足， 4=，即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，“=”成立；又4=， c+d4，當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2時(shí)，“=”成立；綜上得，且等號(hào)成立時(shí)的取值都為2答案：A 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式，命題人從定值這一信息給考生提供了思維，重要不等式可以完成和與積的轉(zhuǎn)化，使得基本不等式運(yùn)用成為現(xiàn)實(shí)。例3(2007年安徽)若對(duì)任意R,不等式ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)a-1 (B)1 (C) 1 （D）a1解析：若對(duì)任意R,不等式ax恒成立，當(dāng)x0時(shí)，xax，a1，當(dāng)x0，且對(duì)于任意 QUOTE 確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F(x)f(x

5、)+f(-x)，求證：F(1)F(2)F(n) QUOTE （ QUOTE ）。解析：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測(cè)（一）方法總結(jié)1熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，

6、常見不等式的解法，二元的重要不等式及應(yīng)用，不等式的常用證明方法2數(shù)學(xué)中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過構(gòu)造輔助模型，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明?？梢詷?gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學(xué)模型，針對(duì)欲證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?，將不等式問題轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學(xué)模型問題，順利解決不等式的有關(guān)問題。（二）2008年高考預(yù)測(cè)在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題都有，不僅考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本方法，而且還考查了運(yùn)算能力，分析問題、解決問題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列導(dǎo)數(shù)相交匯處命題，函數(shù)與不等式相結(jié)合的題多以導(dǎo)數(shù)的處

7、理方式解答，函數(shù)不等式相結(jié)合的題目，多是先以直覺思維方式定方向，以遞推、數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。由上述分析，預(yù)計(jì)不等式的性質(zhì)，不等式的解法及重要不等知識(shí)將以選擇題或填空的形式出現(xiàn)；解答題可能出現(xiàn)解不等與證不等式。如果是解不等式含參數(shù)的不等式可能性比較大，如果是證明題將是不等式與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量等相結(jié)合的綜合問題，用導(dǎo)數(shù)解答這類問題仍然值得重視。強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1設(shè)是非零實(shí)數(shù)，若，則下列不等式成立的是（） 解析：C 用可以排除A，可以排除B,D,故選C答案：選C評(píng)注：解選擇題時(shí)一定注意解題方法，特值檢驗(yàn)對(duì)有些選擇題是正確快捷的選擇。2下列四個(gè)數(shù)中最大的是（ ）ABCD 解析：

8、 ， ln(ln2)0，(ln2)2 ln2，而ln=ln20).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)-2t+m對(duì)t(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I） （），當(dāng)x=-t時(shí)，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當(dāng)t變化時(shí)g(t)、g(t)的變化情況如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)遞增極大值1m遞減g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立

9、等價(jià)于g(t)0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1-m1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力.。22某水庫進(jìn)入汛期的水位升高量hn(標(biāo)高)與進(jìn)入汛期的天數(shù)n的關(guān)系是hn20 eq r(5n26n)，汛期共計(jì)約40天，當(dāng)前水庫水位為220(標(biāo)高)，而水庫警戒水位是400(標(biāo)高)，水庫共有水閘15個(gè)，每開啟一個(gè)泄洪，一天可使水位下降4(標(biāo)高)若不開啟水閘泄洪，這個(gè)汛期水庫是否有危險(xiǎn)？若有危險(xiǎn)，將發(fā)生在第幾天？若要保證水庫安全，則在進(jìn)入汛期的第一天起每天至少應(yīng)開啟多少個(gè)水閘泄洪？(參考數(shù)據(jù)：2.2725.1529，2.3125.3361)解析：

10、進(jìn)入汛期的水庫水位標(biāo)高f(n)20 eq r(5n26n)220，令20 eq r(5n26n)220400，整理得5n26n81，代值驗(yàn)證得n4，所以，會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，在第4天發(fā)生設(shè)每天開啟p個(gè)水閘泄洪，則f(n)20 eq r(5n26n)2204np，令20 eq r(5n26n)2204np400，即p eq f(5 eq r(5n26n)45,n)5( eq f( eq r(5n26n),n)f(9,n)5( eq r(5f(6,n)f(9,n)下證g(n) eq r(5f(6,n)f(9,n)為增函數(shù)事實(shí)上，令g(x) eq r(5f(6,x)f(9,x)(x1)，g(x)( eq r

11、(5f(6,x)f(9,x) eq f(1,2r(5f(6,x)(f(6,x2)f(9,x2) eq f(3,x2)(3f(1,r(5f(6,x)當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，于是函數(shù)g(x)在x1時(shí)是增函數(shù)，所以g(n) eq r(5f(6,n)f(9,n)為增函數(shù)從而g(n)maxg(40) eq r(5f(6,40)f(9,40)2.04，故p52.0410.20即每天開啟11個(gè)水閘泄洪，才能保證水庫安全點(diǎn)評(píng)：本題主要復(fù)習(xí)函數(shù)、解不等式、利用重要不等式求最值的方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查與不等式相關(guān)的構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力創(chuàng)新試題1. 三個(gè)同學(xué)對(duì)問題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范

12、圍”提出各自的解題思路甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 解析：，設(shè)，當(dāng)時(shí)取到最小值10，當(dāng)或（舍）。所以當(dāng)時(shí)取到最小值10。所以取到最小值10，答案：點(diǎn)評(píng)：本題命題新穎，由三個(gè)人的說出了這個(gè)題目的解題思路，可以減輕在考場(chǎng)上的緊張感，使學(xué)生感到有趣，有利于發(fā)揮出好的水平的。2. 對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間.（1）若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；（2）討論函數(shù)與在區(qū)間上是否“友好”.答案：（1）函數(shù)與在區(qū)間上有意義，必須滿足（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與在區(qū)間上是“友好”的，則 即 （*）因?yàn)?，而在的右?cè)，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，從而 于是不等式（*）成立的充要條件是