2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性1

1、教學目標1在初中學習一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)的基礎上，進一步感知函數(shù)的單調(diào)性，并能結(jié)合圖形，認識函數(shù)的單調(diào)性；2通過函數(shù)的單調(diào)性的教學，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，并對學生進行初步的辯證唯物論的教育；3通過函數(shù)的單調(diào)性的教學，讓學生學會理性地認識與描述生活中的增長、遞減等現(xiàn)象學情分析函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要特性之一，它把自變量的變化方向和函數(shù)值的變化方向定性地聯(lián)系在一起在初中學習函數(shù)時，借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性這節(jié)內(nèi)容是初中有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高這節(jié)通過對具體函數(shù)圖像的歸納和抽象，概括出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準確含義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個區(qū)間來說的教材中判

2、斷函數(shù)的增減性，既有從圖像上進行觀察的直觀方法，又有根據(jù)其定義進行邏輯推理的嚴格方法，最后將兩種方法統(tǒng)一起來，形成根據(jù)觀察圖像得出猜想結(jié)論，進而用推理證明猜想的體系這節(jié)內(nèi)容的重點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念以及利用函數(shù)的單調(diào)性的概念證明函數(shù)的單調(diào)性，難點是理解函數(shù)單調(diào)性的概念重點難點用圖象直觀地認識函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域教學過程教學設計一、問題情境1. 如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：（1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況（2）怎樣用數(shù)學語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？2. 分別作出下列函數(shù)的圖像：（1）y2x（2）yx2（3）y

3、x2根據(jù)三個函數(shù)圖像，分別指出當x（，）時，圖像的變化趨勢？二、建立模型1. 首先引導學生對問題2進行探討觀察分析觀察函數(shù)y2x，yx2，yx2圖像，可以發(fā)現(xiàn)：y2x在（，）上、yx2在（，）上的圖像由左向右都是上升的；yx2在（，）上、yx2在（，）上的圖像由左向右都是下降的函數(shù)圖像的“上升”或“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)單調(diào)性那么，如何描述函數(shù)圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢？以函數(shù)yx2，x（，）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數(shù)值yf（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個不同的值，如x15，x23，這時有x1x2，f（x1）f（x2），但是這種量化并

4、不精確因此，x1，x2應具有“任意性”所以，在區(qū)間（，0）上，任取兩個x1，x2得到f（x1），f（x2）當x1x2時，都有f（x1）f（x2）這時，我們就說f（x）x2在區(qū)間（，0）上是減函數(shù)注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，即自變量變化時對函數(shù)值y的影響必要時，對x，y可舉出具體數(shù)值，進行引導、歸納和總結(jié)這里的“都有”是對應于“任意”的2. 在學生討論歸納函數(shù)單調(diào)性定義的基礎上，教師明晰抽象概括設函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是增

5、函數(shù)如圖8-2（1）如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么我們就說函數(shù)f（x）在區(qū)間上是減函數(shù)如圖8-2（2）如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么我們就說函數(shù)yf（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫作yf（x）的單調(diào)區(qū)間3. 提出問題，組織學生討論（1）定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（2）f（1），能否判斷函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)？（2）定義在R上函數(shù)f（x）在區(qū)間（，0上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，）上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f（s）在R上是否為增函數(shù)（3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)

6、區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)強調(diào)：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個自變量；函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的三、解釋應用例題1. 證明函數(shù)f（x）2x1，在（，）是增函數(shù)注：要規(guī)范解題格式2. 證明函數(shù)f（x），在區(qū)間（，0）和（0，）上都是減函數(shù)思考：能否說，函數(shù)f（x）在定義域（，0）（0，）上是減函數(shù)？3. 設函數(shù)yf（x）在區(qū)間D上保號（恒正或恒負），且f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，求證：f（x）在區(qū)間D上為減函數(shù)證明：設x1，x2，且x1x2，f（x）在區(qū)間D上保號，f（x1）f（x2）0又f（x）在區(qū)間D上為增函數(shù)，f（x1）f（x2）0，從而g（x1）g（x

7、2）0，g（x）在D上為減函數(shù)練習1. 證明：（1）函數(shù)f（x）在（0，）上是增函數(shù)（2）函數(shù)f（x）x2x在（，上是減函數(shù)2. 判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應的單調(diào)區(qū)間3. 如果函數(shù)yf（x）是R上的增函數(shù)，判斷g（x）kf（x），（k0）在R上的單調(diào)性四、拓展延伸1. 根據(jù)圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的結(jié)構(gòu)變化情況，并對未來100年能源結(jié)構(gòu)的變化趨勢作出預測2. 判斷二次函數(shù)f（x）ax2bxc，（a0）的單調(diào)性，并用定義加以證明3. 如果自變量的改變量xx2x10，函數(shù)值的改變量yf（x2）f（x1）0，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)？4. 函數(shù)值的改變量與自變量的

8、改變量的比叫作函數(shù)f（x）在x1，x2之間的平均變化率（1）根據(jù)函數(shù)的平均變化率判斷yf（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)還是減函數(shù)（2）比值的大小與函數(shù)值增長的快慢有什么關(guān)系？課堂實錄微課課件：素材資源：學生活動1：1. 如圖為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖：（1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況（2）怎樣用數(shù)學語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？學生活動2：分別作出下列函數(shù)的圖像：（1）y2x（2）yx2（3）yx2根據(jù)三個函數(shù)圖像，分別指出當x（，）時，圖像的變化趨勢？學生活動3：提出問題，組織學生討論（1）定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（2）f（1），能否判斷函數(shù)f（x）在R是增函數(shù)？（2）定義在R上函數(shù)f（x）在區(qū)間（，0上是增函數(shù)，在區(qū)間（0，）上也是增函數(shù)，判斷函數(shù)f（s）在R上是否為增函數(shù)（3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)強調(diào)：定義中x1，x2是區(qū)間D上的任意兩個自變量；函數(shù)的單調(diào)性是相對于某一區(qū)間而言的課后作業(yè)：1. 下列函數(shù)中，(1) (2) (3) (4),在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是 2.設