數(shù)字信號處理：第5章無限長單位脈沖響應（IIR）數(shù)字濾

1、第五章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法第六章學習目標理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握脈沖響應不變法掌握雙線性變換法了解Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點了解利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程了解利用頻帶變換法設(shè)計各種類型數(shù)字濾波器的方法引言 濾波器，顧名思義，是指能夠使輸入信號中某些頻率分量充分地衰減，同時保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。 根據(jù)對不同信號的處理，濾波器可分為：模擬濾波器:由硬件電路來實現(xiàn)；RR1RFC+-+ 數(shù)字濾波器:是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點：高精度、穩(wěn)定、體積小、

2、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實現(xiàn)特殊濾波功能。1、數(shù)字濾波器的基本概念 （1）數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：選頻濾波器現(xiàn)代濾波器：維納濾波器卡爾曼濾波器自適應濾波器等按功能分：低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）、 帶阻（BS）、全通濾波器圖5-2 理想數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 （2）四種基本的濾波器 從功能上，數(shù)字濾波器可以分為：低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻（BS）濾波器（Filter）。注意：數(shù)字濾波器的頻率響應都是以2為周期的，濾波器的低通 頻帶處于2的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近。（3）按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)或單位脈沖響應分：FIR濾波器（N

3、-1階）IIR濾波器（N階）1、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應 用下式表示： -幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況 -相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間 上的延時情況 理想濾波器不可實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近，以低通和帶通為例：5.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟（1）低通濾波器的性能指標圖5-1 低通濾波器的性能要求均勻過渡通帶（允許的）最大衰減阻帶（應達到的）最小衰減（2）帶通濾波器的性能指標均勻過渡圖 低通濾波器的性能要求2、數(shù)字濾波器的設(shè)計過程沒有考慮相位（1）零極點位置累試（2）利用模擬濾波器的理論（3）最優(yōu)

4、化設(shè)計設(shè)計一個數(shù)字濾波器一般包括以下幾個步驟：LP/HPBP/BS（1）確定所設(shè)計濾波器的技術(shù)指標；滿足給定的技術(shù)要求（2）設(shè)計一個H(z),使（3）用一個有限精度的算法去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)：如運算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等；（4）實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法？如何設(shè)計5.2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器 模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當成熟，且有若干典型的模擬(模擬原型)濾波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。 本節(jié)包括以下四個問題：模擬原型濾波器設(shè)計思想設(shè)計原則設(shè)計方法 常用的模擬原型濾波器有巴特沃斯(Bu

5、tterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。 1.為何要設(shè)計模擬低通濾波器？ 由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計指標，設(shè)計出模擬低通濾波器的原型，然后進行映射（原型變換）。2.常用的模擬原型濾波器一、模擬原型濾波器（1）巴特沃斯（Butterworth）濾波器 通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。（2）切比雪夫（Chebyshev）濾波器能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。（3）橢圓（Ellipse）濾波器 通帶和阻帶等波紋。（4）貝塞爾（Bessel）濾波器

6、著重相頻響應，通帶內(nèi)有較好的線性相位。最大相位平坦特性二、設(shè)計思想s z模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)2. 因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面映射到 z 平面的單位圓內(nèi)三、設(shè)計原則1. H(z) 的頻率響應 要能模仿 Ha(s) 的頻率響應 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓四、設(shè)計方法脈沖響應不變法雙線性變換法階躍響應不變法5.2.1 脈沖響應不變法1. 變換原理 當T 很小時，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)使h(n)等于ha(t)的采樣值即令2. 設(shè)計過程一般過程特殊情況若則

7、L反采樣Z指標？比較兩式，可知：L反采樣Z證明：？3. S平面與z平面的映射關(guān)系圖5-3 脈沖響應不變法的映射關(guān)系 s平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的映射到整個z平面上。脈沖響應不變法不是從s平面到z平面的簡單代數(shù)映射關(guān)系。 4. 頻率混疊效應圖5-4 脈沖響應不變法中的頻率混疊現(xiàn)象 數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓以(周期為2) 。采樣FTT5. 優(yōu)缺點 會產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。 只適合帶限濾波器(如低通、帶通濾波器)的設(shè)計，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計。優(yōu)點：缺點： 1）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全模仿模擬濾波器的沖激響應，所以時域逼近良好。 2）頻率變化是線性關(guān)系=T，頻率

8、特性形狀基本上與模擬濾波器相同(如果混疊不嚴重)。例5-1 已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下，利用脈沖響應不變法將 模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器H(z)，采樣周期T=1s。解： 模擬濾波器的傳輸函數(shù)極點： 所以圖5-5 頻譜混疊失真5.2.2 雙線性變換法1. 變換原理 圖5-6 雙線性變換的映射關(guān)系從而實現(xiàn)s平面到z平面的單值映射。將s平面壓縮成s1平面上一個寬度為 的水平帶狀區(qū)域通過 將這個帶狀區(qū)域映射到整個z平面過渡？引入正切變換-將s平面的虛軸變換到s1平面虛軸 之間延拓到整個s平面和s1平面，令 ， ，則得所以 再將s1平面映射到z平面，應用 ，從而實現(xiàn)了s平面到z平面的單值映射。 簡

9、單的代數(shù)關(guān)系 或這種s平面單值映射為z平面的映射關(guān)系稱作雙線性變換法。 用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器時，在得到相應模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)后，只要將相應的變換關(guān)系代入Ha(s)，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2.模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系 s平面上與z平面的成單值映射、非線性、正切關(guān)系（可以避免混疊），在零頻附近，和變換關(guān)系近似于線 性，隨著的增加，表現(xiàn)出嚴重非線性 （頻率失真）。3.優(yōu)缺點 優(yōu)點： 消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計。缺點： 與之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率失真。4.雙線性變換法中的頻率失真圖5-7 理想微分器經(jīng)雙線性變換后

10、幅頻響應產(chǎn)生畸變由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。 雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻率響應產(chǎn)生了畸變，頻率越高畸變越嚴重。這種頻率的畸變，可通過頻率的預畸變加以校正。5.預畸變設(shè)計法（補償設(shè)計法） 預畸變就是將模擬濾波器的截止頻率事先加以畸變，再經(jīng)過雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 預畸變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器的步驟如下：(1)確定數(shù)字濾波器的指標(2)求預畸變后模擬濾波器的截止頻率(3)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(5)驗證例5-2：要求用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)

11、由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為解除歸一化(3)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(5)驗證5.3 IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計可以通過頻率變換法實現(xiàn)，根據(jù)頻率變換的時刻不同，可以分為低通原型變換法和z平面變換法： 一、低通原型變換法 用雙線性變換法時，s-z之間有代數(shù)關(guān)系式，可以由模擬低通原型H(p)直接帶入變換關(guān)系式得到數(shù)字濾波器H(z)。 從低通原型到各類數(shù)字濾波器的變換關(guān)系式如表5-1所示： 先求出模擬域頻率(表5-1中參數(shù))，若給出低通原型H(p)，直接帶入變換關(guān)系式，求出H(z)，即表5

12、-1變換類型 變換關(guān)系式參數(shù)低通原型數(shù)字低通低通原型數(shù)字高通低通原型數(shù)字帶通低通原型數(shù)字帶阻表51 雙線性變換法從低通原型H(p) 到數(shù)字濾波器H(z)之間的變換例5-2：要求用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為(3)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)例：要求用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字高通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低

13、通原型為(3)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)例5-3：要求設(shè)計三階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，采樣頻率為 ，其上下邊帶3dB截止頻率為 ， ，求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 。 解: (1) 確定數(shù)字的上下邊帶域截止頻率 (2)求中心頻率(3)求模擬低通的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)其頻譜如圖5-10所示代入變換關(guān)系式，得5.3 IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計可以通過頻率變換法實現(xiàn)，根據(jù)頻率變換的時刻不同，可以分為低通原型變換法和z平面變換法： 一、低通原型變換法 用雙線性變換法時，s-z之間有代數(shù)關(guān)系式，可以由模擬低通原型H(p)直接帶入變換關(guān)系式得到數(shù)字濾波器H(z)。 從低通原型到各類數(shù)字濾波器的變換關(guān)系式如表5-1所示： 先求出模擬域頻率(表5-1中參數(shù))，若給出低通原型H(p)，直接帶入變換關(guān)系式，求出H(z)，即表5-1一、 z平面變換法數(shù)字低通H(z)各類數(shù)字濾波器H(z)H(u)zu映射關(guān)系如表5-2變換類型 變換關(guān)系式參數(shù)( 是原低通的截止頻率)低通低通低通高通低通帶通低通帶阻表52 z平面變換法的映射關(guān)系例5-4：用雙線性變換