數(shù)字信號(hào)處理：第5章無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾

1、第五章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法第六章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解數(shù)字濾波器的基本概念掌握脈沖響應(yīng)不變法掌握雙線性變換法了解Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點(diǎn)了解利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程了解利用頻帶變換法設(shè)計(jì)各種類型數(shù)字濾波器的方法引言 濾波器，顧名思義，是指能夠使輸入信號(hào)中某些頻率分量充分地衰減，同時(shí)保留那些需要的頻率分量的一類系統(tǒng)。 根據(jù)對(duì)不同信號(hào)的處理，濾波器可分為：模擬濾波器:由硬件電路來實(shí)現(xiàn)；RR1RFC+-+ 數(shù)字濾波器:是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)：高精度、穩(wěn)定、體積小、

2、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能。1、數(shù)字濾波器的基本概念 （1）數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器：選頻濾波器現(xiàn)代濾波器：維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等按功能分：低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）、 帶阻（BS）、全通濾波器圖5-2 理想數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 （2）四種基本的濾波器 從功能上，數(shù)字濾波器可以分為：低通（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻（BS）濾波器（Filter）。注意：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2為周期的，濾波器的低通 頻帶處于2的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于的奇數(shù)倍附近。（3）按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位脈沖響應(yīng)分：FIR濾波器（N

3、-1階）IIR濾波器（N階）1、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) 用下式表示： -幅頻特性：表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況 -相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間 上的延時(shí)情況 理想濾波器不可實(shí)現(xiàn)，只能以實(shí)際濾波器逼近，以低通和帶通為例：5.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟（1）低通濾波器的性能指標(biāo)圖5-1 低通濾波器的性能要求均勻過渡通帶（允許的）最大衰減阻帶（應(yīng)達(dá)到的）最小衰減（2）帶通濾波器的性能指標(biāo)均勻過渡圖 低通濾波器的性能要求2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程沒有考慮相位（1）零極點(diǎn)位置累試（2）利用模擬濾波器的理論（3）最優(yōu)

4、化設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器一般包括以下幾個(gè)步驟：LP/HPBP/BS（1）確定所設(shè)計(jì)濾波器的技術(shù)指標(biāo)；滿足給定的技術(shù)要求（2）設(shè)計(jì)一個(gè)H(z),使（3）用一個(gè)有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等；（4）實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法？如何設(shè)計(jì)5.2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬(模擬原型)濾波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。 本節(jié)包括以下四個(gè)問題：模擬原型濾波器設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)原則設(shè)計(jì)方法 常用的模擬原型濾波器有巴特沃斯(Bu

5、tterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。 1.為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器？ 由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，必須先將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器的原型，然后進(jìn)行映射（原型變換）。2.常用的模擬原型濾波器一、模擬原型濾波器（1）巴特沃斯（Butterworth）濾波器 通帶具有最大平坦度，但從通帶到阻帶衰減較慢。（2）切比雪夫（Chebyshev）濾波器能迅速衰減，但通帶或阻帶有波紋。（3）橢圓（Ellipse）濾波器 通帶和阻帶等波紋。（4）貝塞爾（Bessel）濾波器

6、著重相頻響應(yīng)，通帶內(nèi)有較好的線性相位。最大相位平坦特性二、設(shè)計(jì)思想s z模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)2. 因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ， 即 s 平面的左半平面映射到 z 平面的單位圓內(nèi)三、設(shè)計(jì)原則1. H(z) 的頻率響應(yīng) 要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng) 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓四、設(shè)計(jì)方法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法階躍響應(yīng)不變法5.2.1 脈沖響應(yīng)不變法1. 變換原理 當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字濾波器增益很大，易溢出，需修正數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)使h(n)等于ha(t)的采樣值即令2. 設(shè)計(jì)過程一般過程特殊情況若則

7、L反采樣Z指標(biāo)？比較兩式，可知：L反采樣Z證明：？3. S平面與z平面的映射關(guān)系圖5-3 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 s平面上每一條寬為2/T的橫條，都將重疊的映射到整個(gè)z平面上。脈沖響應(yīng)不變法不是從s平面到z平面的簡(jiǎn)單代數(shù)映射關(guān)系。 4. 頻率混疊效應(yīng)圖5-4 脈沖響應(yīng)不變法中的頻率混疊現(xiàn)象 數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻響的周期延拓以(周期為2) 。采樣FTT5. 優(yōu)缺點(diǎn) 會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。 只適合帶限濾波器(如低通、帶通濾波器)的設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)： 1）數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)，所以時(shí)域逼近良好。 2）頻率變化是線性關(guān)系=T，頻率

8、特性形狀基本上與模擬濾波器相同(如果混疊不嚴(yán)重)。例5-1 已知模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下，利用脈沖響應(yīng)不變法將 模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器H(z)，采樣周期T=1s。解： 模擬濾波器的傳輸函數(shù)極點(diǎn)： 所以圖5-5 頻譜混疊失真5.2.2 雙線性變換法1. 變換原理 圖5-6 雙線性變換的映射關(guān)系從而實(shí)現(xiàn)s平面到z平面的單值映射。將s平面壓縮成s1平面上一個(gè)寬度為 的水平帶狀區(qū)域通過 將這個(gè)帶狀區(qū)域映射到整個(gè)z平面過渡？引入正切變換-將s平面的虛軸變換到s1平面虛軸 之間延拓到整個(gè)s平面和s1平面，令 ， ，則得所以 再將s1平面映射到z平面，應(yīng)用 ，從而實(shí)現(xiàn)了s平面到z平面的單值映射。 簡(jiǎn)

9、單的代數(shù)關(guān)系 或這種s平面單值映射為z平面的映射關(guān)系稱作雙線性變換法。 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，在得到相應(yīng)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)后，只要將相應(yīng)的變換關(guān)系代入Ha(s)，即可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2.模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系 s平面上與z平面的成單值映射、非線性、正切關(guān)系（可以避免混疊），在零頻附近，和變換關(guān)系近似于線 性，隨著的增加，表現(xiàn)出嚴(yán)重非線性 （頻率失真）。3.優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)： 消除了頻率混疊現(xiàn)象，可適用于低通、高通、帶通或帶阻等各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。缺點(diǎn)： 與之間呈非線性關(guān)系，引入了非線性頻率失真。4.雙線性變換法中的頻率失真圖5-7 理想微分器經(jīng)雙線性變換后

10、幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變由頻率之間的非線性變換關(guān)系引起。 雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生了畸變，頻率越高畸變?cè)絿?yán)重。這種頻率的畸變，可通過頻率的預(yù)畸變加以校正。5.預(yù)畸變?cè)O(shè)計(jì)法（補(bǔ)償設(shè)計(jì)法） 預(yù)畸變就是將模擬濾波器的截止頻率事先加以畸變，再經(jīng)過雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 預(yù)畸變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的步驟如下：(1)確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)(2)求預(yù)畸變后模擬濾波器的截止頻率(3)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(5)驗(yàn)證例5-2：要求用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)

11、由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預(yù)畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為解除歸一化(3)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)(5)驗(yàn)證5.3 IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)可以通過頻率變換法實(shí)現(xiàn)，根據(jù)頻率變換的時(shí)刻不同，可以分為低通原型變換法和z平面變換法： 一、低通原型變換法 用雙線性變換法時(shí)，s-z之間有代數(shù)關(guān)系式，可以由模擬低通原型H(p)直接帶入變換關(guān)系式得到數(shù)字濾波器H(z)。 從低通原型到各類數(shù)字濾波器的變換關(guān)系式如表5-1所示： 先求出模擬域頻率(表5-1中參數(shù))，若給出低通原型H(p)，直接帶入變換關(guān)系式，求出H(z)，即表5

12、-1變換類型 變換關(guān)系式參數(shù)低通原型數(shù)字低通低通原型數(shù)字高通低通原型數(shù)字帶通低通原型數(shù)字帶阻表51 雙線性變換法從低通原型H(p) 到數(shù)字濾波器H(z)之間的變換例5-2：要求用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預(yù)畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為(3)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)例：要求用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃思數(shù)字高通濾波器，其3dB截止頻率為 。設(shè)采樣周期為 ( 采樣頻率為 ) 。解: (1)由 求數(shù)字域截止頻率 (2)求預(yù)畸變模擬濾波器的截止頻率三階巴特沃斯低

13、通原型為(3)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)例5-3：要求設(shè)計(jì)三階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，采樣頻率為 ，其上下邊帶3dB截止頻率為 ， ，求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 。 解: (1) 確定數(shù)字的上下邊帶域截止頻率 (2)求中心頻率(3)求模擬低通的截止頻率三階巴特沃斯低通原型為(4)求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)其頻譜如圖5-10所示代入變換關(guān)系式，得5.3 IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法 數(shù)字高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)可以通過頻率變換法實(shí)現(xiàn)，根據(jù)頻率變換的時(shí)刻不同，可以分為低通原型變換法和z平面變換法： 一、低通原型變換法 用雙線性變換法時(shí)，s-z之間有代數(shù)關(guān)系式，可以由模擬低通原型H(p)直接帶入變換關(guān)系式得到數(shù)字濾波器H(z)。 從低通原型到各類數(shù)字濾波器的變換關(guān)系式如表5-1所示： 先求出模擬域頻率(表5-1中參數(shù))，若給出低通原型H(p)，直接帶入變換關(guān)系式，求出H(z)，即表5-1一、 z平面變換法數(shù)字低通H(z)各類數(shù)字濾波器H(z)H(u)zu映射關(guān)系如表5-2變換類型 變換關(guān)系式參數(shù)( 是原低通的截止頻率)低通低通低通高通低通帶通低通帶阻表52 z平面變換法的映射關(guān)系例5-4：用雙線性變換