安徽省合肥市壽春2021-2022學年高三最后一模數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時，則（ ）A2BC1D2函數(shù)的定義域為，集合，則（ ）ABCD3過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標原點.若，則直線的斜率為( )ABCD4已知f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在0,+

2、)上單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a0，則（ ）AF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)BF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)CF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)DF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)5已知向量，若，則（ ）ABCD6ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為( )ABC或D或7已知直線是曲線的切線，則（ ）A或1B或2C或D或18若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（ ）ABCD9函數(shù)的大致圖象為（ ）ABCD10已知是定義是上的奇函數(shù)，滿足，當時， ，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（ ）A

3、3B5C7D911已知集合，則集合的非空子集個數(shù)是（ ）A2B3C7D812設(shè)，則，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為，則的面積為_.14設(shè)全集，則_.15若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個不同的零點，則正數(shù)的取值范圍是_.16已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的模為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)(mR)的導函數(shù)為（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合18（12分）在直角坐標系中，

4、直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）已知射線與曲線交于兩點，射線與直線交于點，若的面積為1，求的值和弦長19（12分）在中，（）求角的大小；（）若，求的值20（12分）已知，分別是橢圓：的左，右焦點，點在橢圓上，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點（1）求,的值：（2）過點作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于A，B兩點，且與橢圓相交于C，D兩點，當時，求的面積21（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的

5、右頂點，求四邊形面積的最大值.22（10分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，求直線的斜率.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，又，故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)2A【解析】根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又

6、，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.3D【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標，然后求出的斜率即可【詳解】解：拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)，則，故，此時，即則直線的斜率故選：D【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題4A【解析】試題分析：由題意得，F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)g(1-x)2f(x),f(x)g(1-x)，F(xiàn)(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a),f(a)g(1-a)2f(a),f(a)0，(a+1)2-(a

7、-1)2=4a0，|1+a|a-1|g(1+a)g(1-a)，若f(a)g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，F(xiàn)(-a)F(a)，若g(1-a)f(a)g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2g(1-a)，F(xiàn)(-a)F(a)，若f(a)g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(xiàn)(a)=2f(a)，F(xiàn)(-a)=F(a)，綜上可知F(-a)F(a)，同理可知F(1+a)F(1-a)，故選A.考點：1.函數(shù)的性質(zhì)；2.分類討論的數(shù)學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì)，避免了由于單調(diào)性不同導致1-a與1+a大小不明確的

8、討論，從而使解題過程得以優(yōu)化，另外，不要忘記定義域，如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個定義域上.5A【解析】利用平面向量平行的坐標條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】求得直線的斜率，利用曲線的導數(shù)，求得切

9、點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】令，則，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得【詳解】令，則，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題9A【解析】利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，.故選：A【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.10D

10、【解析】根據(jù)是定義是上的奇函數(shù)，滿足，可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得 ，利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)【詳解】是定義是上的奇函數(shù)，滿足， ，可得，函數(shù)的周期為3，當時， ，令，則，解得或1，又函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，在區(qū)間上，有由，取，得 ，得，又函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，方程=0在區(qū)間上的解有 共9個，故選D【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題11C【解析】先確定集合中元素，可得非空子集個數(shù)【詳解】由題意，共3個元素，其子集個數(shù)為，非空子集有7個故選：C【點睛】本題考查集合的概念，考查子集的概念

11、，含有個元素的集合其子集個數(shù)為，非空子集有個12A【解析】根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，.，顯然.,即，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角，從而有，于是可得三角形邊長，可得面積【詳解】設(shè)外接圓半徑為，則，由正弦定理，得，故答案為：【點睛】本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關(guān)鍵14【解析】先求出集合，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可【詳解】解：，或；故答案

12、為：【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題15；【解析】求出函數(shù)的零點，讓正數(shù)零點從小到大排列，第三個正數(shù)零點落在區(qū)間上，第四個零點在區(qū)間外即可【詳解】由，得， ，解得故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的零點，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點，然后題意，把正數(shù)零點從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個零點，因此只有前3個零點在區(qū)間上由此可得的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題16【解析】利用復數(shù)模的計算公式求解即可.【詳解】解：由，得，所以.故答案為：.【點睛】本題考查復數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）1，2【解析】（

13、1）求解導數(shù)，表示出，再利用的導數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合【詳解】（1）因為，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，所以因為整理得，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因為， 所以存在，使得，設(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，則，設(shè)，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在，使得，即，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為1，2【點睛】本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導數(shù)的零點問題，恒成立問題要逐步消去

14、參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題求解，適當構(gòu)造函數(shù)是轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，本題綜合性較強，難度較大，側(cè)重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng).18（1）,；（2） .【解析】（1）先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程，再化成極坐標方程； （2）聯(lián)立極坐標方程，根據(jù)極徑的幾何意義可得，再由面積可解得極角，從而可得【詳解】（1）直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），消去參數(shù)得直角坐標方程為：轉(zhuǎn)換為極坐標方程為：，即曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：， 化為一般式得化為極坐標方程為： （2）由于，得，所以，所以，由于，所以，所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化，熟記公式即可，屬

15、于常考題型.19 (1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到消去公因式得到所以 進而得到角A；（2）結(jié)合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得 又因為 ，所以 又因為 ， 所以 （II）由，得，由余弦定理，得，即，因為，解得 .因為 ，所以 .20（1）；（2）.【解析】（1）由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì)，可求出，；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡，由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論，繼而求出面積【詳解】（1）焦點為F（1，0），則F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），解得，1，1，（）由已知，可設(shè)直

16、線方程為，聯(lián)立得，易知0，則因為，所以1，解得聯(lián)立 ，得，80設(shè)，則 【點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用，同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系，解決直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系問題 意在考查學生的數(shù)學運算能力21（1）（2）最大值.【解析】（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.22（1）（2）0【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，