中考數(shù)學(xué) 專題12 存在性-相似三角形（解析版）

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題-二次函數(shù)-存在性問題第12節(jié) 相似三角形的存在性 方法點(diǎn)撥三角形相似的判定方法、定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似、平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角

2、形相似，可簡(jiǎn)述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似 例題演練1如圖已知拋物線yax2+bx+3與x軸交于A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C對(duì)稱軸為直線x1，P為頂點(diǎn)（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得MOC與BCP相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）由題意，解得，拋物線的解析式y(tǒng)x22x+3，令y0，則x22x30，解得x1或3，B（3，0） （2）存在如圖，連接PB，PCB（3，0），P（1，4），C（0，3），BC3，PC，PB2，PB2PC2+CB2，PCB90，PC：BC：31：3，當(dāng)MO：OC1：3或OC：MO1：3時(shí)，C

3、OM與BCP相似，OM1或9，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（1，0）或（9，0）或（9，0）2如圖所示，拋物線yx2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），其對(duì)稱軸x1與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式（2）若直線CM交x軸于點(diǎn)E，求證：BCEC（3）若點(diǎn)P是線段EM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P、E、O為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）yx2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），將點(diǎn)C（0，3）代入可得：c3，又對(duì)稱軸，b2，即拋物線的表達(dá)式為yx22x3；（2）對(duì)稱軸為x1，代入拋物線表

4、達(dá)式得y1234，即點(diǎn)M（1，4），設(shè)直線CM的表達(dá)式為ykx+n，把點(diǎn)C（0，3），M（1，4）代入解得k1，n3，CM的表達(dá)式為yx3，點(diǎn)E在x軸上，即縱坐標(biāo)y0，此時(shí)x3，E（3，0），由平面直角坐標(biāo)系的可知：OEOCOB3，EOCBOC90，EOCBOC（SAS），ECBC；（3）存在，點(diǎn)P在線段EM上，可設(shè)P（t，t3），如圖1所示，作PNx軸于N，PNt+3，MNOEON3+t，由勾股定理可知PE（t+3），BC，又ABOA+OB4，由（2）可知EOCBOC，OECOBC，當(dāng)PEOABC時(shí)，即，解得t1，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），當(dāng)PEOCBA時(shí)，解得t，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），綜上

5、P的坐標(biāo)為（1，2）或（，）3如圖，已知二次函數(shù)yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（3，2），點(diǎn)C是函數(shù)圖象與y軸的公共點(diǎn)、過點(diǎn)C作直線CEAB（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求直線CE的表達(dá)式；（3）如果點(diǎn)D在直線CE上，且四邊形ABCD是等腰梯形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）若P是拋物線上x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（3，2），則，解得，所求二次函數(shù)的解析式為yx2x2； （2）直線AB的表達(dá)式為y2

6、x8，CEAB，設(shè)直線CE的表達(dá)式為y2x+m又直線CE經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），直線CE的表達(dá)式為y2x2； （3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，2x2）四邊形ABCD是等腰梯形，ADBC，即3解得x1（舍去）或，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）； （4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2x2），當(dāng)P是拋物線上x軸上方的一動(dòng)點(diǎn)，則PMx2x2，則AM|x4|，在RtAOC中，tanOAC，故當(dāng)以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似時(shí)，tanPAM或2，即，則，解得x0（舍去）或4（舍去）或3（舍去）或5或2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（5，18）4已知，如圖，已知拋物線yax2+bx與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸

7、交于點(diǎn)C，連接AC，BC，若點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），MNAC于點(diǎn)N，連接CM（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)MN1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）是否存在以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）拋物線yaax2+bx與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，得，解得：，（2）當(dāng)x0時(shí)，y，C（0，），OC，A（3，0），OA3，OAC30，MN1，MNA90，在RtAMN中，AN，過點(diǎn)N作NHx軸于點(diǎn)H，NH，AH，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（，），當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，N的坐標(biāo)為（，），綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）或（，）

8、，（3）設(shè)M點(diǎn)為（x，0），則由（2）可得AB4，BC2，AC2，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形，BCA90，又由2SCMAAMOCACMN得：MN，若以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則：，即，即6x6，所以x1，此時(shí)M為（1，0）；，即，即x2+3x0，解之可得：x0或x3，M為（0，0）或（3，0），綜上所述，存在以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，且M的坐標(biāo)為（1，0）或（0，0）或（3，0）5如圖，拋物線yax28x+c經(jīng)過A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，直線l為拋物線的對(duì)稱軸并與x軸交于點(diǎn)C直線yx+2與拋物線分別交于點(diǎn)B，D兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)E（1）求拋

9、物線的解析式；（2）若以點(diǎn)A為圓心適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫圓，使圓A與直線BD相切于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)并說明直線l，y軸與圓A的位置關(guān)系（3）在（2）的條件下，在圓A上是否存在點(diǎn)G，使得以G，O，C為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似若存在，請(qǐng)直接寫出G點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為ya（xx1）（xx2）a（x2）（x6）a（x28x+12），8a8，解得a1，故拋物線的表達(dá)式為yx28x+12； （2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x4，即OC4，由直線BD的表達(dá)式知，EBC30，BD和圓A相切，AFBD，在RtABF中，AB624，EBC30，則AFAB2OAA

10、C，故圓A與直線l、y軸都相切，則BFAB2，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x+2），則BF2（x6）2+（x+2）2（2）2，解得x9（舍去）或3，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，）； （3）在BCE中，EBC30，ECB90，當(dāng)點(diǎn)G在圓上時(shí)，則CGD90，OC4，故以G，O，C為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似時(shí)，GCO30或60即可滿足條件當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)G作GHx軸于點(diǎn)H，當(dāng)GCO30時(shí)，則GOH60，則OGCO2，則OHOGcos601，GHOGsin60，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，）；當(dāng)GCO60時(shí)，則GOH30，則OGCOsin602，則OHOGcos303，GHOGsin30，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，）；故點(diǎn)

11、G的坐標(biāo)為（1，）或（3，）；當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，根據(jù)圓的對(duì)稱性，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，）或（3，）；綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，）或（3，）或（1，）或（3，）6如圖所示，拋物線yax2+bx+c的圖象過A（0，3），B（1，0），C（3，0）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為P（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)G在y軸上，且OGB+OABACB，求AG的長(zhǎng)；（3）若ADx軸且D在拋物線上，過D作DEBC于E，M在直線DE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與APD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)【解答】解：（1）把A（0，3），B（1，0），C（3，0）代入yax2+bx+c

12、，得，解得，拋物線的解析式為yx2+2x+3（2）如圖1，過點(diǎn)G作GFAB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BFG90OAOC3，ACB45，GBFOGB+OABACB45，F(xiàn)GB45GBF，F(xiàn)BFGtanBAO，AB，F(xiàn)BFG，AF+，AG5；作點(diǎn)G關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)G，則點(diǎn)G也滿足OGB+OABACB，此時(shí)，OGOG532，AG321綜上所述，AG的長(zhǎng)為5或1（3）存在由B（1，0），C（3，0）得，拋物線的對(duì)稱軸為直線x1，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于直線x1對(duì)稱，且A（0，3），D（2，3），E（2，0）；當(dāng)x1時(shí)，y1+2+34，P（1，4），作PHAD于點(diǎn)H，則H（1，3），PHAHDH1，APD90，且

13、APDP，APD是等腰直角三角形，當(dāng)AMN是等腰直角三角形時(shí)，以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與APD相似.如圖2，AN為斜邊，點(diǎn)M、N分別在DE、OE上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN1，ON211，M（2，2）、N（1，0）；如圖3，AN為斜邊，點(diǎn)M、N分別在DE、OE的延長(zhǎng)線上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN3+25，ON2+57，M（2，2）、N（7，0）；如圖4，AM為斜邊，點(diǎn)M、N分別在DE、EO的延長(zhǎng)線上，AONNEMANM90，OAN90

14、ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），ONEM1，M（2，1）、N（1，0）；如圖5，AM為斜邊，點(diǎn)M、N分別在DE、OE的延長(zhǎng)線上，AONNEMANM90，OAN90ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），OAEN3，ONEM2+35，M（2，5）、N（5，0）綜上所述，M（2，2）、N（1，0）或M（2，2）、N（7，0）或M（2，1）、N（1，0）或M（2，5）、N（5，0）7如圖，已知直線yx4與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，二次函數(shù)yx2+2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（1）求直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)D在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)D，C，B構(gòu)

15、成的三角形與OAB相似？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）直線yx4與y軸、x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，B（0，4），C（4，0）.由，得，A（2，6），AB2；（2）存在OBOC4，BOC90，BC4，OBCOCB45，BCDABO135，如圖1，當(dāng)CBDBOA時(shí)，則CBDBOA，解得CD4，OD4+48，D（8，0）；如圖2，當(dāng)CBDBAO時(shí)，則CBDBAO，解得DC8，OD4+812，D（12，0）綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）或（12，0）8已知拋物線yx2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C直線yx4經(jīng)過B，C兩點(diǎn)（1）求拋物線的

16、解析式；（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)M，K同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M以每秒4個(gè)單位的速度在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)K以每秒個(gè)單位的速度在線段AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t0）秒如圖1，連接MK，再將線段MK繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，設(shè)點(diǎn)K落在點(diǎn)H的位置，若點(diǎn)H恰好落在拋物線上，求t的值及此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；如圖2，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PNBC于N，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使PNC與AOC相似若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）直線yx4經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，B（8，0），C（0，4），將B、C兩點(diǎn)代入

17、拋物線解析式得：，b，c4，；（2）由題意得A（2，0），OMAMOA4t2，AK，過K作KVx軸于V，由ACOAKV可知，AVt，KV2t，OV2t，MV3t，在MKV和HMN中，MKMH，KVNMNHKMH90，VMKMHN，MKVHMN（AAS），MNKV2t，HNMV3t，H（6t2，3t），點(diǎn)H恰好落在拋物線上，解得t1，t20（舍），H（6，4）（3）當(dāng)OACNCP時(shí)，tanNCPtanOAC，2，由RtBOCRtGHB，GH16，BH8，G（16，16），直線CP的解析式為：yx4，點(diǎn)P在拋物線上，x10，x23，P（3，），t當(dāng)OCANCP時(shí)，OCAOBC，NCPOBC，CPx

18、軸，C、P關(guān)于對(duì)稱軸x3對(duì)稱，P（6，4），t2綜上所述：t或t29如圖，直線y2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)B的拋物線yx2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，4）（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使得以M，O，N為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）在y2x+2中，當(dāng)x0時(shí)，y2，B（0，2），當(dāng)y0時(shí)，x1，A（1，0），拋物線yx2+bx+c過點(diǎn)B（0，2），D（3，4），解得：，拋物線的解析式為yx2+x+2，設(shè)直線BD的解析式為ykx+n，代入B（0，2），D（3，4）得，解得：，直線BD的解析式為：y2x+2；（2）存在；如圖，設(shè)M（m，m2+m+2），MNx軸，MNm2+m+2，ONm，直線BD的解析式為：y2x+2，y0時(shí)，x1，C（1，0），OC1，B（0，2），OB2，若BOCMNO，則，即，解得：m11，m22（舍去），m1時(shí)，m2+m+22，M（1，2）；若BOCONM，則，即，解得：，（舍去），m時(shí)，m2+m+2，M（，），綜上所述，M（1，2）或M（，）10如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2+bx+