2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2古典概型3.2.3互斥事件學(xué)案北師大版必修3

1、3.2.3互斥事件發(fā)生，我們把這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件，把事件A的對(duì)立事件記為A.立事件A所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即AAI，AA，如圖所示航向標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握兩個(gè)互斥事件的概率加法公式以及對(duì)立事件的概率計(jì)算公式2正確理解互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系讀教材自主學(xué)習(xí)1互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能eqoac(,01)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A與B稱為互斥事件2如果隨機(jī)事件A、B為互斥事件，那么事件AB的概率的計(jì)算公式：02P(AB)P(A)P(B)，其中事件AB發(fā)生是事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生3如果隨機(jī)事件A1，A2，An兩兩互斥，那么

2、事件A1A2An的概率的計(jì)算公式：eqoac(,03)P(AAA)P(A)P(A)P(A)12n12n4對(duì)立事件：在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件A和B必有eqoac(,04)一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)eqoac(,05)一定不5隨機(jī)事件A和其對(duì)立事件A的概率之間的關(guān)系：eqoac(,06)P(A)1P(A)看名師疑難剖析互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系(1)從定義上看不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互斥事件例如：拋一枚硬幣，落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)“正面向上”和“反面向上”兩種結(jié)果若記“落地時(shí)正面向上”為事件A，“落地時(shí)反面向上”為事件B，則A，B為互斥事件再如：拋兩枚硬幣落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果“正、反”，“反、正”，“正、正”，

3、“反、反”若記“第一枚正面向上，第二枚反面向上”為事件A，“第一枚反面向上，第二枚也反面向上”為事件B，則A，B也為互斥事件必須有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫作對(duì)立事件，也就是說(shuō)，兩個(gè)互斥事件在一次試驗(yàn)中必然有一個(gè)發(fā)生，這樣的兩個(gè)互斥事件就是對(duì)立事件如上面的第一個(gè)例子中的事件A，B就是對(duì)立事件，而第二個(gè)例子中的事件A，B就不是對(duì)立事件因?yàn)閷?duì)第二個(gè)例子中的事件A，B來(lái)說(shuō)，不是必有一個(gè)發(fā)生，也可能發(fā)生“正、正”或“反、正”，故“互斥”未必“對(duì)立”，而“對(duì)立”必然“互斥”(2)從集合角度看從集合角度看，事件A，B互斥，表示其相應(yīng)集合的交集是空集，即AB，而由對(duì)對(duì)立事件的概率公式是：P(A)P(A)P(AA)

4、1.或變形為：P(A)1P(A)，這個(gè)公式很有用，當(dāng)直接求某一事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可(3)從公式上看P互斥事件的概率加法公式是：(AB)P(A)P(B)其中事件A與B只有一個(gè)發(fā)生此公式應(yīng)用條件：A，B互斥先轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率考點(diǎn)一事件關(guān)系的判斷例1判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從110各10張)中，任取一張(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”分析要判斷所給事件是對(duì)立還是互斥，首先要將兩個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)別弄清楚，互斥事件是指

5、不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是建立在互斥事件的基礎(chǔ)上的，兩個(gè)事件一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必發(fā)生解(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”

6、與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件類題通法“互斥事件”和“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)要發(fā)生的互斥事件.因此，對(duì)立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.變式訓(xùn)練1某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生；(4)至少1名男生與至少1名女生解(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生

7、不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；當(dāng)恰有2名女生時(shí)，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件(2)當(dāng)恰有2名男生時(shí)，至少1名男生與全是男生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件(3)因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件(4)當(dāng)選出的是1名男生1名女生時(shí)，至少1名男生與至少1名女生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.考點(diǎn)二互斥事件與對(duì)立事件的概率例2在擲骰子試驗(yàn)中，定義以下事件：e1出現(xiàn)1點(diǎn)，e2出現(xiàn)2點(diǎn)，e3出現(xiàn)3點(diǎn)，e4出現(xiàn)4點(diǎn)，e5出現(xiàn)5點(diǎn)，e6出現(xiàn)6點(diǎn)，D1出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3，D2出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7，E出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6，G出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，

8、H出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)求事件D1，D2，E，G，H發(fā)生的概率分析對(duì)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概11率均為6，即P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6)6.e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的所有基本事件，它們兩兩互斥，事件D1，D2，E，G，H均可轉(zhuǎn)化為這些基本事件的和的形式，再根據(jù)概率的加法公式便可求得1解由已知即P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6)6，又e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的全部基本事件，它們兩兩互斥，并且事件D1e4e5e6；D2e1e2e3e4e5

9、e6；Ge2e4e6；He1e3e5.根據(jù)概率的加法公式得：1111(1)P(D1)P(e4)P(e5)P(e6)6662；而得紅球或黑球或白球的概率為P21212111111(2)P(D2)P(e1)P(e2)P(e3)P(e4)P(e5)P(e6)6666661；(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)只可能是16點(diǎn)，不可能出現(xiàn)大于6點(diǎn)，故E為不可能事件，P(E)0；1111(4)P(G)P(e2)P(e4)P(e6)6662；1111(5)P(H)P(e1)P(e3)P(e5)6662.類題通法在求某事件的概率時(shí)，我們可以先分析清楚隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件，以及該事件包含的隨機(jī)事件，然后利用概率公式進(jìn)

10、行求解.變式訓(xùn)練2某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率解設(shè)事件“射中10環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中7環(huán)”，“射中7環(huán)以下”分別記為A、B、C、D、E，則(1)P(AB)P(A)P(B)0.240.280.52.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)0.240.280.190.160.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.(3)P(DE)P

11、(D)P(E)0.160.130.29，所以射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為0.29.例3一個(gè)盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球，1只綠球從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出的1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率分析利用互斥事件和概率公式與對(duì)立事件概率公式求解解解法一：(1)從12只球中任取1球得到紅球有5種取法，得到黑球有4種取法，得到紅球或黑球共有549種不同取法，任取1球有12種取法所以任取1球得紅球或黑93球的概率為P1124.(2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法從54211.取1球?yàn)榫G球，則P(A1)5解法

12、二：(利用互斥事件和概率公式求解)記事件A1任取1球?yàn)榧t球，A2任取1球?yàn)楹谇?，A3任取1球?yàn)榘浊颍珹4任421，P(A2)，P(A3)，P(A4)12121212.根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件和概率公式，得543(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1A2)P(A1)P(A2)12124.11(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)12.解法三：(利用對(duì)立事件概率公式求解)(1)由方法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1A2的對(duì)立事件為A3A4.所以求取出1紅球或黑球的概率為P(A1

13、A2)1P(A3A4)1P(A3)21312P(A4)1124.111(2)A1A2A3的對(duì)立事件為A4，所以P(A1A2A3)1P(A4)11212.類題通法1解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出是不是互斥事件和對(duì)立事件，再?zèng)Q定使用哪個(gè)公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯(cuò).2要注意分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.變式訓(xùn)練3在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.18，在8089分之間的概率是0.51，在7079分之間的概率為0.15，在6069分之間的概率是0.09.計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績(jī)的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率解分別設(shè)小明的考試成績(jī)

14、在90分以上、在8089分之間、在7079分之間、在6069分之間依次為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件是彼此互斥的根據(jù)加法公式，小明的考試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為：P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.小明考試及格的概率即成績(jī)?cè)?0分以上的概率為P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.而小明考試不及格與小明考試及格(成績(jī)60分以上)為對(duì)立事件，所以小明考試不及格的概率為1P(BCDE)10.930.07.例從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C

15、)0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A0.35(一)精妙思路點(diǎn)撥B0.3C0.7D0.65(二)分層規(guī)范細(xì)解選A.事件“抽到的不是一等品”的對(duì)立事件“抽到的是一等品”，所以P1PA10.650.35.(三)來(lái)自一線的報(bào)告通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見分層規(guī)范細(xì)解過程)選B的原因是沒有讀懂題意，想當(dāng)然的認(rèn)為處等價(jià)于抽到的是二等常見錯(cuò)誤選B品或三等品，所以所求的概率是二者的概率和事實(shí)上，根據(jù)所給的概率之和并不等于1，可以知道這箱產(chǎn)品中除了一、二、三等品外，還有其他等級(jí)的產(chǎn)品，故事件A的對(duì)立事件并不是BC.選D選D的原因是沒有認(rèn)真審題，把處求事件“

16、抽到的不是一等品”的概率誤認(rèn)為求事件A的概率.解題解答有關(guān)互斥事件的概率的題目，要認(rèn)真讀題，仔細(xì)審題，理清各事件間的相互啟示關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用互斥事件的概率加法公式和對(duì)立事件的概率公式.(四)類題練筆掌握有5件產(chǎn)品，其中有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品從中任取兩件，則以0.7為概率的是()A至多有1件一級(jí)品C至少有1件一級(jí)品B恰有1件一級(jí)品D都不是一級(jí)品則P(A)0.3，P(B)0.1，P(C)1P(A)P(B)0.6.答案A解析設(shè)事件A為“取到2件一級(jí)品”，事件B為“取到2件二級(jí)品”，事件C為“取到1件一級(jí)品和1件二級(jí)品”，310110而1P(A)10.30.7P(B)P(C)，所以以0.7為概率的是

17、事件“至多有1件一級(jí)品”1從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案C解析A、B選項(xiàng)中兩事件不互斥，D選項(xiàng)中兩事件互斥且對(duì)立，故選C，注意互斥事件與對(duì)立事件定義故選C.2對(duì)于對(duì)立事件和互斥事件，下列說(shuō)法正確的是()A如果兩個(gè)事件是互斥事件，那么這兩個(gè)事件一定是對(duì)立事件B如果兩個(gè)事件是對(duì)立事件，那么這兩個(gè)事件一定是互斥事件C對(duì)立事件和互斥事件沒有區(qū)別，意義相同D對(duì)立事件和互斥事件沒有任何聯(lián)系答案B3在某一時(shí)期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個(gè)范圍內(nèi)的概率如下：年最高水位(單位：m)概率8,10)0.110,12)0.2812,14)0.3814,16)0.1616,18)0.08