高考數(shù)學(xué)計(jì)算試題分類匯編-圓錐曲線

1、2010年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編圓錐曲線（2010上海文數(shù)）23（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知橢圓的方程為，、和為的三個(gè)頂點(diǎn).（1）若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn).若，證明：為的中點(diǎn)；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)且不在軸上，如何構(gòu)作過(guò)中點(diǎn)的直線，使得與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)、滿足？令，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓上的點(diǎn)、滿足，求點(diǎn)、的坐標(biāo).解析：(1) ；(2) 由方程組，消y得方程，因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，所以0，即，設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，由方程組，消y得方程(k2

2、k1)xp，又因?yàn)?，所以，故E為CD的中點(diǎn)；(3) 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由知F為P1P2的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程，直線OF的斜率，直線l的斜率，解方程組，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)（2010湖南文數(shù)）19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川山上相距8Km的A、B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地，視冰川面為平面形，以過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖4）?？疾旆秶紸、B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)10Km的區(qū)域。求考察區(qū)域邊界曲線的

3、方程：如圖4所示，設(shè)線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km，以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍。問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線上？（2010浙江理數(shù)）(21) （本題滿分15分）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以,得，又因?yàn)椋?/p>

4、所以，故直線的方程為。（）解：設(shè)。 由，消去得 則由，知，且有。由于，故為的中點(diǎn)，由，可知設(shè)是的中點(diǎn)，則，由題意可知即即而 所以即又因?yàn)榍宜?。所以的取值范圍是。?010全國(guó)卷2理數(shù)）（21）（本小題滿分12分） 己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為 （）求C的離心率； （）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.【參考答案】【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問(wèn)題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來(lái)考查，如

5、向量問(wèn)題、三角形問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題等等，試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)定.（2010陜西文數(shù)）20.（本小題滿分13分）（）求橢圓C的方程； ()設(shè)n 為過(guò)原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交與點(diǎn)P，與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線 立？若存在，求出直線l的方程；并說(shuō)出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2010遼寧文數(shù)）（20）（本小題滿分12分） 設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓 相交于,兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，到直線的距離為.（）求橢圓的焦距；（）如果,求橢圓的方程.解：（）設(shè)焦距為，由已知可得到直線l的距離所以橢圓的焦距為4.（）設(shè)直線的方程為聯(lián)立解得因?yàn)榧吹霉蕶E圓的方程為（2010遼寧理數(shù)）(20)（本小題滿分

6、12分）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.求橢圓C的離心率；如果|AB|=，求橢圓C的方程.解：設(shè)，由題意知0，0.（）直線l的方程為 ，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即 得離心率 . 6分（）因?yàn)?，所?由得.所以，得a=3，.橢圓C的方程為. 12分（2010全國(guó)卷2文數(shù)）（22）（本小題滿分12分）已知斜率為1的直線1與雙曲線C：相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為M（1.3）（）（）求C的離心率；（）（）設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，|DF|BF|=17證明：過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切?！窘馕觥勘绢}考查了圓錐曲線、直線與圓的知識(shí)，考查

7、學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。（1）由直線過(guò)點(diǎn)（1，3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（1，3），可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出a,b的關(guān)系式即求得離心率。（2）利用離心率將條件|FA|FB|=17，用含a的代數(shù)式表示，即可求得a，則A點(diǎn)坐標(biāo)可得（1，0），由于A在x軸上所以，只要證明2AM=BD即證得。（2010江西理數(shù)）21. （本小題滿分12分）設(shè)橢圓，拋物線。若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；設(shè)A（0，b），,又M、N為與不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若AMN的垂心為，且QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程?！窘馕觥靠疾闄E圓和拋物線的定義、基本量，通過(guò)交點(diǎn)三

8、角形來(lái)確認(rèn)方程。（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè),由的垂心為B，有。 由點(diǎn)在拋物線上，解得：故，得重心坐標(biāo). 由重心在拋物線上得：，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。（2010安徽文數(shù)）17、（本小題滿分12分）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程。17.【命題意圖】本題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查解析幾何的基本思想、綜合運(yùn)算能力.【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓方程為，把點(diǎn)代入橢圓方

9、程，把離心率用表示，再根據(jù)，求出，得橢圓方程；（2）可以設(shè)直線l上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得.解：（）設(shè)橢圓E的方程為【規(guī)律總結(jié)】對(duì)于橢圓解答題，一般都是設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題目滿足的條件求出，得橢圓方程，這一問(wèn)通常比較簡(jiǎn)單；（2）對(duì)于角平分線問(wèn)題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得方程.（2010重慶文數(shù)）（21）（本小題滿分12分，（）小問(wèn)5分，（）小問(wèn)7分. ）已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率.（）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（）如題（21）圖，已知過(guò)點(diǎn)的直線：與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線：的交點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線的兩條漸近線分

10、別交于、兩點(diǎn)，求的值. （2010浙江文數(shù)）（22）、（本題滿分15分）已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線（p0）的焦點(diǎn)F在直線上。（I）若m=2，求拋物線C的方程（II）設(shè)直線與拋物線C交于A、B，A,的重心分別為G,H求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外。（2010重慶理數(shù)）（20）（本小題滿分12分，（I）小問(wèn)5分，（II）小問(wèn)7分）已知以原點(diǎn)O為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率。求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；如題（20）圖，已知過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)（其中）的直線的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn)，求的面積。（2010山東文數(shù)）（2

11、2）（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.（i）證明：；（ii）問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、的斜率、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.（2010北京文數(shù)）（19）（本小題共14分）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；（）設(shè)Q（x，y）是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求y的最

12、大值。解：（）因?yàn)椋遥运詸E圓C的方程為（）由題意知由 得所以圓P的半徑為解得 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，）（）由（）知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上。所以設(shè)，則當(dāng)，即，且，取最大值2.（2010北京理數(shù)）（19）（本小題共14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 由題意得 化簡(jiǎn)得 . 故動(dòng)點(diǎn)的

13、軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積 當(dāng)時(shí)，得又，所以=，解得。因?yàn)?，所以故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 則. 因?yàn)? 所以 所以 即 ，解得 因?yàn)椋?故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2010四川理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）已知定點(diǎn)A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于

14、點(diǎn)M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由. 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力.解：(1)設(shè)P(x,y)，則化簡(jiǎn)得x2=1(y0)4分(2)當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為yk(x2)(k0)與雙曲線x2=1聯(lián)立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由題意知3k20且0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4) 因?yàn)閤1、x21所以直線AB的方程為y(x1)因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),同理可得因此 0當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方

15、程為x2，則B(2,3),C(2,3)AB的方程為yx1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，同理可得因此0綜上0，即FMFN故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F12分（2010天津文數(shù)）（21）（本小題滿分14分）已知橢圓（ab0）的離心率e=，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若，求直線l的傾斜角； （ii）若點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思

16、想，考查綜合分析與運(yùn)算能力.滿分14分. （）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由題意可知，即ab=2.解方程組得a=2，b=1. 所以橢圓的方程為.()(i)解：由（）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2,0）.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得.由，得.從而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直線l的傾斜角為或.（ii）解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由（i）得到M的坐標(biāo)為.以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2,0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是由，得。（2）當(dāng)時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為。令，解得。由

17、，整理得。故。所以。綜上，或（2010天津理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。求橢圓的方程；設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是

18、A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上（2010廣東理數(shù)） 21（本小題滿分14分）設(shè)A(),B()是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，先定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離p(A,B)為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.（2）當(dāng)點(diǎn)C(x, y) 同時(shí)滿足P+P= P，P= P時(shí)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn). ，即存在點(diǎn)滿足條件。（2010廣東理數(shù)）20（本小題滿分為14分） 一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別

19、為A1,A2，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。 （1）求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式； （2）若過(guò)點(diǎn)H(0, h)（h1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且 ,求h的值。故，即。（2）設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，即。同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，消去得，即，從而，即。（2010廣東文數(shù)）21.（本小題滿分14分）已知曲線,點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)，（2010福建文數(shù)）19（本小題滿分12分）已知拋物線C：過(guò)點(diǎn)A （1 , -2）。（I）求拋物線C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與

20、L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說(shuō)明理由。（2010全國(guó)卷1理數(shù)）（21）(本小題滿分12分) 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.（）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .（2010四川文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）已知定點(diǎn)A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由.（2010湖北文數(shù)）20.（本小題滿分13分）已知一條

21、曲線C在y軸右邊，C上沒(méi)一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。（）求曲線C的方程（）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2010山東理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）由

22、題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！久}意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力， （2010湖南理數(shù)）19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的A,B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地。視冰川面為平面形，以過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為x軸，線段AB

23、的的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)B的距離不超過(guò)km區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)km區(qū)域。（）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（）如圖6所示，設(shè)線段P1P2,P2P3是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間?；?融區(qū)域P3(8,6)已冰B（4，0）A（-4,0）x（，-1）P1（2010湖北理數(shù)）19(本小題滿分12分)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1,0

24、）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.()求曲線C的方程；（）是否存在正數(shù)m，對(duì)于過(guò)點(diǎn)M（m，0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線，都有？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2010安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程；()在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由。（2010江蘇卷）18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。（1）設(shè)

25、動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）。解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。考查運(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方

26、法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）。（2010福建理數(shù)）17（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

27、【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為2010年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編三角函數(shù)（2010上海文數(shù)）19.（本題滿分12分）已知，化簡(jiǎn)：.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20（2010湖南文數(shù)）16. （本小題滿分12分）已知函數(shù)（I）求函數(shù)的最小正周期。(II) 求函數(shù)的最大值及取最大值時(shí)x的集合。（2010浙江理數(shù)）（18）(本題滿分l4分)在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知 (

28、I)求sinC的值；()當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)解析：本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同事考查運(yùn)算求解能力。（）解：因?yàn)閏os2C=1-2sin2C=，及0C所以sinC=.（）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，由正弦定理，得c=4由cos2C=2cos2C-1=，J及0C得cosC=由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=4（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（17）（本小題滿分10分）中，為邊上的一點(diǎn)，求【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)

29、用，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況.【參考答案】由cosADC=0，知B.由已知得cosB=，sinADC=.從而 sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=.由正弦定理得 ，所以=.【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問(wèn)題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在17或18題，屬于送分題，估計(jì)以后這類題型仍會(huì)保留，不會(huì)有太大改變.解決此類問(wèn)題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?（2010陜西文數(shù)）17.（本小題滿分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=1

30、4,DC=6，求AB的長(zhǎng).解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.（2010遼寧文數(shù)）（17）（本小題滿分12分）在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且（）求的大?。唬ǎ┤?，試判斷的形狀.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因?yàn)?，故所以是等腰的鈍角三角形。（2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿分12分） 在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且 （）求A的大?。唬ǎ┣蟮淖畲笾?解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即 由余弦定理得

31、故 ，A=120 6分（）由（）得： 故當(dāng)B=30時(shí)，sinB+sinC取得最大值1。 12分（2010全國(guó)卷2文數(shù)）（17）（本小題滿分10分）中，為邊上的一點(diǎn)，求?！窘馕觥勘绢}考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系、正弦定理與余弦定理的基礎(chǔ)知識(shí)。由與的差求出，根據(jù)同角關(guān)系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。（2010江西理數(shù)）17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。(1) 當(dāng)m=0時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；(2) 當(dāng)時(shí)，求m的值?！窘馕觥靠疾槿呛瘮?shù)的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問(wèn)題。依托三角函數(shù)化簡(jiǎn)，考查函數(shù)值域，作為基本的知識(shí)交匯問(wèn)題，考查基本三角函數(shù)變換，屬

32、于中等題.解：（1）當(dāng)m=0時(shí)， ，由已知，得從而得：的值域?yàn)椋?）化簡(jiǎn)得：當(dāng)，得：，代入上式，m=-2.（2010安徽文數(shù)）16、（本小題滿分12分） 的面積是30，內(nèi)角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，。 ()求；()若，求的值?！久}意圖】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形面積公式，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形以及運(yùn)算求解能力.【解題指導(dǎo)】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由得的值，再根據(jù)面積公式得；直接求數(shù)量積.由余弦定理，代入已知條件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)本題所給的條件及所要求的結(jié)論可知，需求的值，考慮已知的面積是30，所以先求的值，然后根據(jù)三角形面積公式得

33、的值.第二問(wèn)中求a的值，根據(jù)第一問(wèn)中的結(jié)論可知，直接利用余弦定理即可.（2010重慶文數(shù)）(18).(本小題滿分13分), ()小問(wèn)5分，()小問(wèn)8分.)設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且3+3-3=4bc .() 求sinA的值；()求的值.（2010浙江文數(shù)）（18）（本題滿分）在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為ABC的面積，滿足。（）求角C的大??；（）求的最大值。（2010重慶理數(shù)）（16）（本小題滿分13分，（I）小問(wèn)7分，（II）小問(wèn)6分）設(shè)函數(shù)。求的值域；記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。（2010山東文數(shù)

34、）(17)（本小題滿分12分） 已知函數(shù)（）的最小正周期為， （）求的值； （）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.（2010北京文數(shù)）（15）（本小題共13分）已知函數(shù)（）求的值；（）求的最大值和最小值解：（）= （） 因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)取最大值2；當(dāng)時(shí)，去最小值-1。（2010北京理數(shù)）（15）（本小題共13分） 已知函數(shù)。（）求的值；（）求的最大值和最小值。解：（I） （II） = =, 因?yàn)椋?所以，當(dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值（2010四川理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）（） eq oac(,1)證明兩角和的余弦公式； eq

35、 oac(,2)由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.（）已知ABC的面積，且，求cosC.本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)及運(yùn)算能力。解：(1)如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角、與，使角的始邊為Ox，交O于點(diǎn)P1，終邊交O于P2；角的始邊為OP2，終邊交O于P3；角的始邊為OP1，終邊交O于P4. 則P1(1,0),P2(cos,sin)P3(cos(),sin(),P4(cos(),sin() 由P1P3P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2展開(kāi)并整理得：22cos()22(coscossin

36、sin)cos()coscossinsin.4分由易得cos()sin,sin()cossin()cos()cos()() cos()cos()sin()sin() sincoscossin6分(2)由題意，設(shè)ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c則SbcsinAbccosA30A(0, ),cosA3sinA又sin2Acos2A1，sinA,cosA由題意，cosB,得sinBcos(AB)cosAcosBsinAsinB 故cosCcos(AB)cos(AB)12分（2010天津文數(shù)）（17）（本小題滿分12分）在ABC中，。（）證明B=C：（）若=-，求sin的值。【解析】本小題主要考查正

37、弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.滿分12分. （）證明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因?yàn)?，從而B-C=0. 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=. 從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以（2010天津理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（）若，求的值。【解析】本小題主要考查二倍角的正弦

38、與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，滿分12分。（1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1（）解：由（1）可知又因?yàn)?，所以由，得從而所以?010廣東理數(shù)）16、（本小題滿分14分）已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若(+)=,求sin，（2010廣東文數(shù)）（2010全國(guó)卷1理數(shù)）(17)(本小題滿分10分) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角（2010四川文數(shù)）（19）（本小題滿分12分）（） eq oac(,1)證明兩角和的余弦公式； eq oac(,2)由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.（）已知，求（2010湖北文數(shù)）16.（本小題滿分12分）已經(jīng)函數(shù)()函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變化得出？（）求函數(shù)的最小值，并求使用取得最小值的的集合。（2010山東理數(shù)）（2010湖南理數(shù)）16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最大值；（II）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合。（2010湖北理數(shù)） 16（本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)=（）求函數(shù)f