【學(xué)習(xí)課件】第9講(必修1)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、 第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用 (必修1) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)模型的意義，并能建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，利用這些知識(shí)解決應(yīng)用問(wèn)題.1.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)給出，其中m0,m是大于或等于m的最小整數(shù)(如4=4,2.7=3,3.8=4).若從甲地到乙地的一次通話時(shí)間為5.5分鐘的電話費(fèi)為( )CA.3.71元 B.3.97元C.4.24元 D.4.77元 由題設(shè)知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故選C.2.在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了如下

2、一組數(shù)據(jù)： 現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是( )x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01BA.y=2x-2 B.y= (x2-1)C.y=log2x D.y=( )x將各組數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，選B.3.某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間（分鐘）與打出電話費(fèi)s（元）的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式的電話費(fèi)相差（ ）AA.10元 B.20元C.30元 D. 元兩種話費(fèi)相差為y，根據(jù)幾何關(guān)系可得y=y, =12,y=10，所以y=10.4.某汽車運(yùn)輸公司，

3、購(gòu)買了一批豪華大客車投入客運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y萬(wàn)元與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x (xN*)的關(guān)系為y=-x2+12x-25，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大,每輛客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為（ ） CA.2 B.4 C.5 D.6 平均利潤(rùn) = 12-10=2,當(dāng)且僅當(dāng)x= ,即x=5時(shí),等號(hào)成立,故選C. 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)描述.那么，面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫它呢？事實(shí)上，要順利地建立函數(shù)模型，首先要深刻理解基本函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握基本函數(shù)和常用函數(shù)的特點(diǎn),并對(duì)一些重要的函數(shù)模型必須要有清晰的認(rèn)識(shí).一般而言，有以下8種

4、函數(shù)模型：一次函數(shù)模型:f(x)= +b(k、b為常數(shù),k0);反比例函數(shù)模型：f(x)= +b(k、b為常數(shù),k0);二次函數(shù)模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a0)，二次函數(shù)模型是高中階段應(yīng)用最為廣泛的模型，在高考的應(yīng)用題考查中最為常見的;指數(shù)型函數(shù)模型：f(x)=kax+b(k、a、b為常數(shù)，k0,a0且a1);對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a為常數(shù),m0,a0且a1);冪函數(shù)型模型：f(x)=axn+b(a、b、n為常數(shù),a0,n0);“勾”函數(shù)模型：f(x)=x+ (k為常數(shù),k0)，這種函數(shù)模型應(yīng)用十分廣泛,因其圖象是一個(gè)“勾號(hào)”,故我們把它

5、稱之為“勾”函數(shù)模型,分段函數(shù)模型：這個(gè)模型實(shí)則是以上兩種或多種模型的綜合，因此應(yīng)用也十分廣泛.題型一 函數(shù)模型的選擇例1 扇形的周長(zhǎng)為c(c0)，當(dāng)圓心角為多少弧度時(shí)，扇形面積最大？當(dāng)r= 時(shí)， Smax= ,此時(shí)|= = = =2.所以當(dāng)圓心角大小為2 rad時(shí)，扇形面積最大，為 . (方法一)因?yàn)閏=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r .面積S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0r ),當(dāng)且僅當(dāng)= ，即=2時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)圓心角大小為2 rad時(shí)，扇形面積最大，為 .(方法二)因?yàn)閏=l+2r=r+2r,所以r= .所以S= r2=( )2= = = . (1)雖然問(wèn)“為

6、多少時(shí)”，但若以為自變量，運(yùn)算較大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半徑為自變量，是一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)模型.同樣，若以弧長(zhǎng)l為自變量，也是一個(gè)二次函數(shù)模型.所以在構(gòu)造函數(shù)過(guò)程中，要合理選擇自變量.(2)一般的，當(dāng)線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，常以旋轉(zhuǎn)角為變量.(3)合理選擇是畫圖象還是分離參數(shù)解決不等式組成立問(wèn)題.當(dāng)圖易于作出時(shí)，常用圖象解決；當(dāng)易分離參數(shù)且所得函數(shù)的最值易于求解時(shí)，可用分離參數(shù)法.題型二 已知函數(shù)模型求參數(shù)值例2 如圖,木桶1的水按一定規(guī)律流入木桶2中，已知開始時(shí)木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分鐘后木桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1=ae-mt（其中m是常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.假

7、設(shè)在經(jīng)過(guò)5分鐘時(shí)，木桶1和木桶2的水恰 好相等,求： (1)因?yàn)槟就?中的水是從木桶1中流出 的，而木桶1開始的水是a,又滿足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因?yàn)閠=5時(shí),y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， 解得2e-5m=1 m= ln2.所以y1=ae . 當(dāng)y1= 時(shí),有 =ae t=15(分鐘). 所以經(jīng)過(guò)15分鐘木桶1的水是 .（1）木桶2中的水y2與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；（2）經(jīng)過(guò)多少分鐘，木桶1中的水是 升? 已知函數(shù)模型求參數(shù)值，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解.題型三 給出函數(shù)模型的應(yīng)用題例3 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某城市的一種小商品在過(guò)去的近20天內(nèi)的銷售量(件

8、)與價(jià)格（元）均為時(shí)間t(天)的函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80-2t(件）,價(jià)格近似滿足f(t)=20- |t-10|（元）. (1)試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0t20)的函數(shù)表達(dá)式； (2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值. (1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20- |t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0t10) (40-t)(50-t)(10t20).(2)當(dāng)0t10時(shí),y的取值范圍是1200,1225.在t=5時(shí),y取得最大值為1225；當(dāng)10t20時(shí),y的取值范圍是600,1200,在t=20時(shí)，y取得最小值為600.答:第5天,日銷售額y取得最大值為1225元,第20天,y取得最小值600元. 閱讀題目、理解題意是解決應(yīng)用題的前提.本題的關(guān)鍵是對(duì)f(x)的假定的理解.選擇數(shù)學(xué)模型和方法解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是核心步驟，因此解應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型和方法加以解決.1.理解題意，找出數(shù)量關(guān)系是解應(yīng)用題的前提，因此解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真閱讀題目，深刻理解題意.2.建立數(shù)學(xué)模型，確定解決方法是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，因此解題時(shí)要認(rèn)真梳理題目中的數(shù)量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)姆椒右越鉀Q.3.函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題