高考數學一輪總復習課件教案 第八章 第3節(jié) 圓與方程

1、圓與方程考試要求 掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.凜洞顧教材I?夯賣基礎蒸知識梳理1圓的定義和圓的方程.定義平面內到 定點的距離等于 定長 的點的軌跡叫做圓方程標準(xa) +(y_b) r (r0)圓心C(o, b)半徑為r一般x2-y2-DxEy-F=0(D2+E2-4F0)-充要條件：D2+E2_4F0(DE圓心坐標：廠亍 V半徑 r=jD2+E2-4F-考點聚集突破2點與圓的位置關系平面上的一點M(x0, y0)與圓C： (xa)2+(yb)2=r2之間存在著下列關系：|MC|rM在_圓外_,即(x0a)2+(y0 b)2r2oM在圓外；|MC| = roM在圓上即(

2、x0a)2+(y0 b)2=r2oM在圓上；|MC| VroM在 圓內,即(x0a)2+(y0 b)2Vr2oM在圓內.微點提醒圓心在坐標原點半徑為r的圓的方程為x2+y2=r2.以A(x1, y1), B(x2, y2)為直徑端點的圓的方程為(xx1)(xx2) + (y y 1)(y y2) = 0.基礎自測疑誤辨析教材衍化2.(必修2P124A1改編)圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標和半徑分別是().A.(2, 3), 3B.(-2, 3), JC.(2, 3), 13D.(2, 3), a/13解析 圓的方程可化為(X2)2+(y+3)2= 13,所以圓心坐標是(2, 3),半徑

3、r=y/13.答案D(必修2P130例3改編)過點A(1, -1), B(1, 1),且圓心在直線兀+尹一2 = 0上的圓的 方程是()A.(x_3)2+(y+1尸=4B.(x+3)2+(y-1)2 = 4C.(x-1)2+(y-1)2 = 4D.(x+1)2+(y+1)2 = 4解析 設圓心C的坐標為(a, b),半徑為r.因為圓心C在直線x+y2 = 0上,所以b = 2 a.又|CA|2 = |CB|2,所以(a1)2 + (2a+l)2 = (a+l)2 + (2aI)2,所以a=1, b = 1. 所以r=2.所以方程為(x l)2 + (y 1)2 = 4.答案C考題體驗(2019

4、日照調研)若點(1, 1)在圓(xa)2 + (y+ a)2 = 4的內部，則實數a的取值范圍是( )A.( 1, 1)B.(0, 1)C.(00, 1)U(1,+8)D.a=1解析因為點(1,1)在圓的內部，所以(1 a)2 + (1 + a)24，所以一1a0),F=0,則 1 + 1+D+E+F=O,解得 D=2, E=0, F=0, 4+2D+F=0,故圓的方程為x2 +y22x=0.法二 設 0(0, 0), A(l, 1), B(2, 0),則 koA = , kAB= l,所以 k0AkAB= .即Q4丄4B,所以043是以角力為直角的直角三角形，則線段是所求圓的直徑，則圓心為C

5、(l, 0),半徑r=OB = l,圓的方程為(X l)2+j/2= 1,即x2 + j22x=0.法一：所求圓的圓心在直線兀+y=0上,.:設所求圓的圓心為(a, a).又所求圓在直線xy3 O上截得的弦長為圓心(q, q)到直線xy3 O 的距離宀迦孑，.護+)=/,即一+|=2cz2,解得 a1,圓(的方程為(工一l)2 + (y+ 1)2 = 2.法二 設所求圓的方程為(xa)2 + (yb)2=r2(r0),則圓心(q, b)到直線xy3 =即2/ = (q方一3尸+ 3.由于所求圓與直線兀一尹=0相切，.(ab)2 = 2r2. 又丁圓心在直線x+y=O上，.a+b = 0.廠a=

6、.聯立，解得1,Z=J2,故圓C的方程為(x 1)2 + (y+1)2 = 2./ D f 法三 設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心為込、込,半徑廠=D2+E24F,F) F:圓心在直線兀+尹=0上，.*込=0,即q+e=o,-.又圓(與直av-v = 0相切，D , E邊=冷+衣_仿,即(D-E)2 = 2(D2 + E2-4F), D2 + E + 2DE-8F= 0.：.(D-E+6)2+12 = 2(D2+E2-4F),D 一2,聯立，解得=2,:F=0,故所求圓的方程為兀2 +尹22兀+2尹=0, 即(xl)2 + (y+l)2 = 2.答案 (1)x2+y2-2

7、x=0 (2)(x1)2+(y+1)2 = 2規(guī)律方法 求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方 程有兩種方法：幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓 的三個性質：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上； 兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解.( 1 )2【訓練1】若圓C： / +卜+亦的圓心為橢圓M： F +砂2=的一個焦點，且圓C經過M的另一個焦點，則圓C的標準方程為.(2)(2018-棗莊模擬)已知圓M與直線xy=0及xy+4=0都相切，且圓心在直線尹=x+2上，則圓M的標

8、準方程為.(1 ) H 11解析(1)V圓C的圓心為0,刃訃舟1=石2,加=空又圓C經過M的另一個焦點，則圓C經過點(0, 1),從而n=4.故圓C的標準方程為x2+(y+1)2=4.(2)圓M的圓心在y=x+2上,設圓心為(q, 2a),圓M與直線xy=0及xy+4 = 0都相切，圓心到直x y=0的距離等于圓心到直線xy+4 = 0的距離,即如2| |2q+2|2，解得q=0,考點二與圓有關的最值問題 A多維探究角度1斜率型、截距型、距離型最值問題【例21】 已知實數兀，尹滿足方程x2+y24x+1 =0.求三的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值； 求x2+y2的最大值和最小值.

9、解原方程可化為(x-2)2+y2 = 3,表示以(2, 0)為圓心，羽為半徑的圓.(1於的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設=乩 即y=kx.當直線y=kx與圓相切時,斜率k取最大值或最小值，此時涇+二書解得A?=a/3(如圖1)yx可看作是直線在尹軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時,縱截距b取得最大值或最小值，此時匕穿=書，解得b=2環(huán)(如圖2).所以尹一兀 的最大值為一2+召，最小值為一26.-兀2+護表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連 線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3).又圓心到原點的距離為寸(2-0)2+(0-0)2 = 2,所以x

10、2+y2的最大值是(2+書尸=7+4書，x2+j2的最小值是(2書Y = 74書.規(guī)律方法 把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現了數形 結合以及轉化的數學思想，其中以下幾類轉化較為常見：(1)形如m= 的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；xa形如m=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；形如m = (xa)2 + (yb)2的最值問題，可轉化為兩點間距離的平方的最值問題.角度2利用對稱性求最值【例2 2】已知圓C1： (x2)2+(y 3)2= 1,圓C2： (x3)2+(y 4)2 = 9, M, N分別 是圓Ci，C2上的動點，P為x軸上的動點，則P

11、M + PN的最小值為() A.5a/24B.a/171-C.6-22D.y/17解析 戶是兀軸上任意一點，則pm的最小值為fG|1,同理尸別的最小值為pc2 . .-3,則PM + PN的最小值為尸G| +尸C2|4.作Ci關于x軸的對稱點C1(2, -3).所以|PC11 + |PC2| = |FCf| + PC22|CfC2| = 52,即尸M + 尸別= PC11 + IPC2I4252 -4.答案A規(guī)律方法 求解形如|PM + |PN(其中M, N均為動點)且與圓C有關的折線段的最值 問題的基本思路：“動化定”，把與圓上動點的距離轉化為與圓心的距離；“曲化直”,即將折線段之和轉化為同

12、一直線上的兩線段之和，一般要通過對 稱性解決.【訓練2】(1)設點尸是函數y=-)4(x-lf圖象上的任意一點，點0坐標為(2s a 3)(q匸R),則PQ的最小值為(2)已知力(0, 2),點 F 在直線 x+y+2 = 0,點 0 在圓 C： x2+y24x2y=0 , 則|4| + PQ的最小值是解析（1）函數y的圖象表不圓（兀一l）2+y2x 2q ,=4在兀軸及下方的部分，令點0的坐標為（兀,尹）,貝卅_ a LP=Q3,得j=2_3,即x2y6 = Q,作出圖象如圖所示，=2,所以直線x由于圓心（1, 0）到直線兀一2y6 = 0的距離d2y6 = 0與圓（兀一l）2+y2=4相離

13、，因此尸的最小值是書一2.(2)因為圓C： x2+y2-4x2y=09故圓C是以C(2, 1)為圓心，半徑r=5的圓 設點A(0, 2)關于直線x+y+2 = 0的對稱點為A(m, n),m-Q , n2 ,+二-+2 = 0, %=_4故L-2解得n=-2 故才(f -2)-m01，連接川C 交圓 C 于 0,由對稱性可PA + PQ = ArP + PQAfQ = AfC-r=25考點三與圓有關的軌跡問題【例3】已知圓x2+y2 = 4上一定點&2, 0), B(1, 1)為圓內一點，P, 0為圓上的動點.求線段/P中點的軌跡方程；若ZPB0=9O,求線段P0中點的軌跡方程.解(1)設/P

14、的中點為M(x, y),由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x-2, 2y). 因為卩點在圓x2 +y2 = 4上 所以(2x 2)2 + (2y)2二丄故線段/P中點的軌跡方程為(x1)2+y2=1(x#2).設P0的中點為N(x,尹).在RtPBQ中，|PN = IBN.設O為坐標原點，連接ON,則ON丄PQ, 所以OP2 = ON2+pn2 = on2+bn2, 所以x2 +2+(x 1)2+(y1)2 = 4. 故線段PQ中點的軌跡方程為 x2+y2一x一y一 1=0.規(guī)律方法 求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：直接法，直接根據題目提供的條件列出方程；定義法，根據

15、圓、直線等定義列方程；幾何法，利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.【訓練3】已知過原點的動直線/與圓Ci： x2+y2-6x+5 = 0相交于不同的兩點B. 求圓C的圓心坐標；(2)求線段/B的中點M的軌跡C的方程.解(1)由 x2+y2 6x+5 = 0 得(x3)2+y2 = 4, 所以圓G的圓心坐標為(3, 0).(2)設M/(x, y),因為點M為線段/B的中點，所以(J/丄AB,所以 kCxMkAB= 1,當詳3 時可得土1，整理得x_I +2=4,-又當直線/與兀軸重合時，M點坐標為(3, 0),代入上式成立. 設直線/的方程%

16、y=kx，與x2+y2-6x+5 = 0聯立， 消去y得：(l+k2)x2 6x+5 = 0.CCC 4令其判別式/ = ( 6)2 4(l+/)X5 = 0,得此時方程為|x26x+5 = 0?解上式得兀=丁，因此*xW3. 所以線段48的中點M的軌跡方程為卜j + J2=4ljX3 反思與感悟思維升華確定一個圓的方程，需要三個獨立條件.“選形式、定參數”是求圓的方程的基本方 法，是指根據題設條件恰當選擇圓的方程的形式，進而確定其中的三個參數.解答圓的問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質，簡化運算.易錯防范求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設哪一種圓的方程都要列出系數的三個 獨立方程.熟練掌握配方法，能把圓的一般方程化為標準方程.本節(jié)內容結束1判斷下