22湯家鳳《強(qiáng)化測試十套卷》數(shù)學(xué)一解析

1、 TOC o 1-5 h z 2022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷（一）答案解析 12022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷（二）答案解析102022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷（三）答案解析192022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷（四）答案解析262022考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷（五）答案解析342022考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化效果檢測卷（一）答案解析432022考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化效果檢測卷（二）答案解析522022考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化效果檢測卷（三）答案解析602022考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化效果檢測卷（四）答案解析692022考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化效果檢測卷（五）答案解析782()22考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)效果檢測卷(一)答案解析一、選擇題1.【答案】D.【解】顯然h= l

2、,m=O,工=2為/(工)的間斷點.y、工ln( x )1In口 (工 + 1)由 lim/(;c) = lim ： = lim工j：i jc U z 十 13 工1得工=一1為/(jc)的可去間斷點；X2 x 2丄3由/(0 0) = lim/Xc) = limx-*0_.r-*0f(0 十 0) = lim /(x ) = lim工 f 0十x-oOx2 一 x 一 2ln( x ) = lim ln( t )(_j)= 0,L x-*o_ 工 In 工=lm In 工=02工一-o十得工=0為/(乂)的可去間斷點；由lim/Q) = 得jc = 2為/()的第二類間斷點，應(yīng)選D. 工72

3、 .【答案】C.【解】方法一取/(j)=工，顯然/(j)在x = 0處可導(dǎo)且/ (0) =1,但| / (z) |在h = 0處不可導(dǎo)，A,D取/(工)=F Q： 有| f(c) |=1在2 =0處可導(dǎo)，但y(龍)在工=o處不連續(xù)，從 (一 1, x G RQ.而)在工=0處不可導(dǎo)，B不對，應(yīng)選C.方法二設(shè)/ (a) = 0,/，(a) = 0,令 g(H)= | f(x ) I，貝 I TOC o 1-5 h z g=igg&)g( Q =lim垃垃4 =lim 丨2.1 = /(a) |=0,工廠X ax_a- ax-a_ IxaIg；(小=訕2心2= dmJ/一- lim l 心)_ )

4、 I=,昇| = ,X aZfa+x ai-a+ 丨:：-I由gL (a)=g, (a) 0得g(a)=0,即|/(工)|在工=a處可導(dǎo)，應(yīng)選C.3.【答案】C.【解】 因為y(o)= o且/工)二階連續(xù)可導(dǎo)，所以由lim八工)+ 2彳 =4得/(0)+2廠(0) =0,從而廠(0) = 0； TOC o 1-5 h z 0X X再由 4 = lim g+2f：S_ =恤Ux-*-0X Xzf 0工=lim 八()八()+ 21im /(工八(0)=嚴(yán)(o)+ 2y(0) =2/70)工0XX得廠(0) =2.因為Hnm=g=20,所以存在& 0,當(dāng)0V & | V 8時，有有心總 0. -*

5、 0XX當(dāng)工G （一&,0）時,嚴(yán)（）0,故（0,于（0）為曲線y =f（x ） 的拐點，應(yīng)選C.4 .【答案】A.【解】方法一1p1由lim（.z 0）1 ；- = 1且a = 1上1得反常積分| dj發(fā)散；工o t Jx + J -i 工 Jx + 1由lim X 1-=1且a=lWl得反常積分|發(fā)散；工十xJ 1工當(dāng)工時n（ 1 +力）W工，貝13 0 ,ln（ 1 +工） x+8 帖+8 a r+8兒丁再由|=山工=+oo得| 哎發(fā)散，由比較法得 】。二 、發(fā)散，應(yīng)選a.J 1 xJ 1 xJ i ln（ J + z）方法二1 1 1由 lim （工 一 0） 2 = lim=lMa=

6、,工 *o+JX JC-r-*o+ J二匸2if11再由 lim （1 j ） 2 - = lim = 1 且 a = 1,再由A2 =O得r(A) +r(A) 3,即r(A) 1從而 r(A) =1,A 不對；因為r (A ) =m且加V”，所以A經(jīng)過若干次初等列變換可化為(E j O) , B不對； 因為r (AtA ) = r (A ) = m n，即人丁為為降秩矩陣，所以以丁不不是正定矩陣，d不對，應(yīng) 選C.事實上，存在初等矩陣0,陣“，2,使得AQxQz-Q, =(E ： O),即存在可逆矩陣Q,使得 AQ=E i O).【答案】C.【解】 由(X,Y N(0,l；l,4；0，得 X

7、 N(O,1),Y N(l,4),且 px 0 - y,pY 1=y, 由q=0得X,Y相互獨立，故pxxx=pxx i)o=pxo,yi + pxvo,yvi = PX0PYl+PX0PY0tan xarcsin tan xarcsin xtan z* tan xarcsin lim而limarcsm x tan x0limx-*0arcsin x xx tan x+lim且lim xf 0arcsm x jc .=limlimX0故limx-*0(1 Xseedlimx-*0 x tan x .1 r2=limarcsin xtan x工一o3工21=e*3工212【答案】X21n 2【解

8、】-T 1 + sin xdj： =1 + sin 工 1 sin rdx = = 21 sin xsin xjc sec xdje=2xd(tan x )=2工 tan_24 tan 工山=善 + 21n | cos x 0 2兀 1 c 7t 21n 211一413.【答案】x = e 一72 V2【解】由|t)dtJ 0j( w) dw 得o/(? ) + 2工f u)du = x 或)J 0X兩邊求導(dǎo)得比）八乞）+為（工）=0,（2工）于（工）=0,整理得x f (z ) + (2工 $ 1”(工)=0 或廠(工 +解得) = Ce= Cx e_J由 /(l)=得 C=l,故 /(h

9、) =ze e令 ff Qx ) = (1 一 2工 2 ) e-j2當(dāng)0 工 丄時,十（工） 0；當(dāng)工 丄時，/（工） 0,則=厶為心心）的極大值點，極大值為yG42414.【答案】2疋【解】（im工 _ （1 + cosn-*O 百=1 n :由:x dx =yx cos x djr ox cos2 x ckr 07tcos2 X djc = 7T 0恤丈冷(1 + cos )”一； = j n n Z (1 + cos H )2 dH 0 x cos2 jc djr 0sin x dc = 2,o今兀2cosx d?=- o422、9匸_4 +乞=224 /42 =丄兀22*7CA +1

10、-11【解】 A | =0入1=(A + 1)(入 $ -0-a A 2因為A不可相似對角化，所以矩陣A 定有重根.情形一 :A = 1為重根，即a = 3，且入i = A 2 = 一 1 以3 11/0A =00-1 ，-EA - E +A = 0 0 32 /、015【答案】1.1-32A + a),=3,此時1-卜(0 / o因為r（EA）=l,所以A可相似對角化；情形二:人=1為單根，即a =1,且入=一1,入2 =入 311,且入i,E -A =1 ,此時11因為YE A）=2H 1所以A不可相似對角化，故16.【答案】12.【解】 因為X為連續(xù)型隨機(jī)變量，所以FQ）為連續(xù)函數(shù)時 由

11、 F（2 一 0） =F（2） =F（2 + 0）得 a = 8,所以X的密度函數(shù)為=1.-心）=24由 E(X)=+84 dr = 24X+8 7 dcc = 3 ,2 工3E (X2)=24 - dx = 24x+一 一一 dx =122工得D(X) =E(X2) E(X)2 =3,故 D(Y) =D(2X + 1) =4D(X) =12.三、解答題17.【解】limx -* 0cos tdt olr? (1 + h )=limx*0=limx 一 0limx*0er cos tdt ln2 (1 + x ) oXln2(1 + T )ez cos tdt ln2 (1 + cc )oe一

12、 cos tdt 一 2+ lim 工o而limx0cos tdt j 0e cos tdt x 1. Jo=limHf 01.e_J cos x 11= lim2= hm2工2x0cos .b limx-*0cos x 1limz-*0 x2 ln2 (1 + x )JC 故原式【解】=tiimcos 工2. x + ln(l + 工) limx-*0JC 一 ln(l + 工)因為(工，夕)連續(xù)，所以由1im絲 旳2 = 0得于(0,0) = 2；o$-0丿2 +/2令p =丿尹，由lim 心2-加3一 =o得 2 7f x，夕)一一2工 3夕一2=o(q),f G，夕)/(0,0) =

13、2(工 0) + 3(j/ 一 0) + o(q),從而 9,在(0,0)處可微，且 f (0,0) = 2 9 f； (0,0) = 3.將 z = 0 代入(2工 + l)j+e，=4工 4- 1 得 y =0.等式(2$ + 1)夕+卍=4工 + 1兩邊對工求導(dǎo)得或者2夕+ (2工 +1)字 + J 卑=4, axa:r將2 = 0,q =0代入得學(xué)djr由譽= 3f （3,無+，）+/； （3無,工+） （1 + 獸）尖 |=3/ (0,0)+/； (0,0)(1 +字 |) = 15.dr I x=o6.x I x=o /【證明】 不妨設(shè)/； (a) 0,fL Ch) 0,因為f+

14、(a) 0,所以存在，e (a)，使得fCxJ /(a)=0; 因為(6) 0,所以存在廠C (a)，使得/(2) /(&) =0.因為fSMS) 0,所以存在c e (廠，工2)U (a,6),使得/(c) =0.令 /i (x ) = ex f (z),顯然 A (a ) = h (c) =h(b) = 0 , 由羅爾定理，存在& e (a,c),& 6 (c,b),使得力(筑)=力(5)=0,而 Az(x) =e_xE/() -/(x)且亍工 0,故 /(ej -/(fi) =0,/z(f2) -/(?2) =0.令卩(z ) = e_2i _fx ) /(x ),顯然 p (fi)=卩

15、($2)=0, 由羅爾定理，存在g 6 ($|點2)U (a,6),使得卩($)=0, 而卩(z )=/*&) 一3于(工)+2yCr)且 e_2x 工 0, 故 /w($) -3/(f) +2/($) =0,即 /z(f) +2/($) =3/，(f).【解】方法一r = 2cos t,令= sin z,（起點t =0,終點t =2兀），則z = 2cos t sin t + 1,f2n=Josin t (一2sin t) + 4cos2Z + (2cos t sin f + 1) ( 2sin t cos t)At(2cosS 3sin cos t 2sin t cos t)dt=22k0

16、cos2 tdt =4 cos2 Y dr = 8J o.1 7Tcos2tdt = 8 X X = 27t.o22方法二令 y z + 1 = 0(j?2 +4j/2 = 4)取上側(cè)，f111n = 1, 1, 1,法向量的方向余弦為 cos a =,cos 0 = ,cos / =,V373V3由斯托克斯公式得)ydx + 2j? dj/ zdz 11 1-屁a3 j：ady2xdS =/1 + lz + ( l)2 dzdy2V 2 DdS21【解】（1）由題可得二次型矩陣A =由 Aa o = a 得1b da b= 1, a c = 2 , b + 2c = 一 1,從而Y一 1一

17、1解得 a = b = 1,c = 1.A 1-1由 |UE-A | =1 A1(A + 2) (A 1)2=0 得入 1 = 一 2,入 2 =入3 =1.-1 1A/21M /01 由一2E -A 2E +A =1 2-1 一 01得4 = 2對應(yīng)的線性無關(guān)的特112 000 -10根據(jù)題可得A = f1由 E-A =T111為a二=-,a 3 =1-10 得入2=入3= 1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量0 /(a 3,卩 2)b _(02，02)H =11單位化得八，則 f=XTAX X = QQ22.【解】(1)PX +Y W 1=1-5-_工y/ (j：Ax Ay = dyJ o=|eP

18、-ef dy = ( - e - ey_1) J 02 = 1 + e_1 - 2e0+f G ,y)dy , oo當(dāng)工 W 0 時,fx (x) =0;(2)/x(z)=當(dāng)工0時,/x（工）=Ay =x ex ,即于 x(無)= o0,4-f(.x ,3/ )dz ,當(dāng) y W 0 時，/y (j/) =0；*8y八g,因為f (j? ,y) H f x (無)幾(夕)，所以X ,Y不相互獨立. (3)Fz(z) = FZz=FX-Y 0 時，/y )=/ yAjc = ey，艮卩 /y (j/)= 0, 0.當(dāng) z 0 時，F(xiàn)z(n) =0當(dāng) z$0 時，F(xiàn)z(n)=PZn=1J drf+

19、8 x e_J dj? + n+0_ln( 1 x )x丄2, +22 2=一limx-0一7 +227 一 2/(0 + 0) = limz-* o+ln( 1 + 力)x丄2, +227 - 2=lim工f o+-+2, 2由)=00得=1為十Q)的第二類間斷點，應(yīng)選B. 工f 1【答案】D.【解】 顯然 / (0) = O,f/(O) = 1,因為曲率半徑R=麗,且在點(0,0)的鄰域內(nèi)曲線是凹的， 廳八丨2 =丄,即/(0) = 2,1 + /2(0)T 罷所以于是1曲八工)廣工x f0X【答案】A.z1dx2 舟/ i【解】=+凹凹=扌凹心三皿二討(0) = 1應(yīng)選D.2 x-*ox

20、X0nrf 1+ f 2dy 2VJ工1 _一圭于-J U 2 J 1X立=+ I24j： a/z 2、2=f 1 + f 2 +12 + 7/22 ；4乂4zT1妊x_I =11 + 12 + 2心277力-1 丄12 2丿 22，X亢! 一 yf222 yr zZ =+y24y=1】+ 廠、ei *2nd z則 X+ 歹 d2dxdy4,_T應(yīng)選A.6 .【答案】D.【解】由對稱性得+幾+拿幾+圭局z + 2p )dS =JJ2曲面工:Z =丿4 一工2 2 (D巧 磴二X廠:3 工* /4 一 2 _ “2，dydS=. / 1 +2:工2 +夕2三2工)，y得 a/ 4 X1 y2 兀

21、dz dy,dz dy ,貝寸/4xyx2 a/4 x y /dx dy = 2 jjJ Z2 夕2Dpf 25廠3 cos0d廠=16cos&de =百兀兀，應(yīng)選D.J 02j：2 dx dy2cos 07.【答案】【解】由0oA.(0010 =E得A-1A-10 o /I00-1再由丨At1 00 1| = 1 得 | A | = 1,00100丿-4，則040-21 / 2一1010 =-10 )10-4/104 ，應(yīng)選A.故A* =&【答案】C.【解】A經(jīng)過有限次初等變換化為於，即等價，其充要條件是r(A) =r(B), 顯然然不，400不一定相似,|A |與迢|不一定相等;101，顯

22、然入1 =入Q2 = 0,入3 = 4,但廠(A) =2,應(yīng)選 C,1A 2 1A a A 1 a ) , Aa 2 A 22 ,Ac( 3 A 3 a 3,故 a 】，a 2，9 .【答案】B.【解】 因為連續(xù)型隨機(jī)變量在任一點的概率為0,所以對任一點工。6 (*,十*), F (x o 0) = F (無 o) = F Czg + 0),即 F (無)在 Zo 處連續(xù)，應(yīng)選 B.對任意的隨機(jī)變量X,E(X),D(X)不一定存在，如：/()，顯然E(X),E(X2)都不存在.兀(1 + H )10.【答案】B.事實上，設(shè)P AP =N(0,)又(77 1)S2 一 1),因為X2,s2相互獨

23、立，【解】由X，即 AP =P1a 21 3a 3為矩陣A的特征向量.，等價于得奶乂N(O,1),且(廟X)2X2(l),所以 D(X2 +S?) = D(N) +D3 =)2 + 喬tD【(7 - 102nD(X +S2)=2 , 2G 1) 異異5 l)2= 2(g + )，應(yīng)選 B.n n 1 /二、填空題11【答案】y = 2z + 2.22 j i 1【解】 由 lim = lim -q e = 2, TOC o 1-5 h z X-*8 x攵00 x/2r2 + 11丄11lim (j/ 2h ) = lim Iex 2x I = 2limjr (e 1) +lim ex工f 8

24、OC X-*XfOO JC,=21im 匚=2,ZfOO1X2 丁2 亠 1得曲線y = 竺匸e的斜漸近線為y=2_+2.X【答案】 一1.【解】當(dāng)z =0時，夕=0.e+y + sin xy = x + 1兩邊對x求導(dǎo)得er+y (1 + 3)+ cos xy (j+hj/)=l, 解得 j (0) = 0.e+v (1 + y) + cos xy (夕 + xyf) = 1 兩邊對 x 求導(dǎo)得e+ .( i + 夕，)2 + e+y y sin xy (y + xy Y + cos xy (2j/+ zy) = 0 , 解得 /(0) = l.5 【答案】才.【解】由lim 心 23工-工

25、4=0 得 y(o,o)=4.xfa/x2 + y令 q = 7Pp7,由1im 4遼土二=0 得二0J工+夕/(久,y ) 3_z y 4=o(o),從而 S = fQ,夕)一/(0,0) 31 + y + o(p),于是 f ,y)在(0,0)處可微，且 f： (0,0) =3/； (0,0) =1；故limh*0=lim3 a0/(2A ,0) /(0,/1)3h + 人2j.21imf2h 0) -(00,0)2Ji./(Oh) (0,0ylimAoh5 *2允(0,0) /打(0,。)1 =才-14【答案】1.【解】因為S（2）為以2為周期的函數(shù),所以 S ) = S(4 + *)=

26、S (弋)，又因為乂 =*為fQ的第一類間斷點,22。2，。3),則/I00卩00AP P 212,PAP 212 B10丿I10-1 000 +=0得A的特征值為入+ 12A*+(1+T)15.【答案】一3.【解】令P = (a,=(A +2)(入-1)2-3A = 2 ,A 2 :=入 31，再由|A | = 2得的特征值為-2r -2c -2c二=1，亍=_2, 丁 = 2,故 An + A 22 + A33 = tr A * =1 2 2 = 3.16 .【答案】壽*【解】 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(z)于()dt，當(dāng) x V 1 時，F(xiàn)(h) = 0 ；r11 x j當(dāng)一1 工0 時

27、，F(xiàn)(z) =rdr=-；J -1z當(dāng) 0無 1 時，F(xiàn) (無)=J fdk+ tdtJ -1J 0當(dāng)H $ 1時，F(xiàn) (工)=1即FQ) =20,1 x221 +d1,x 2 + 1=2；x V 1,一 1 W z V 0,o W 無 v 1, z1.由 E(X) = 0,E(X2) = x2 x I d:xx3 d；c = 得 D(X)=I，J 1J 021于是 PX? D(X) =2P x 古=2三、解答題17.【解】 由| 土(工一刀山得原式=limx -*0arctan xxyi+z s x v 1+arctan xarctan x詈亠-l+J”皿VT+xcOsi Vl+arctan

28、 x由 lim;? 0arctan xx1 +/ ( u ) dzzJ o竺嚴(yán)-l+j/3d“v1+xcos x Vl+arctan xarctan x x=iim:xox ”/(u )dz +lim x-*0X1-+imfG)1 + H 2jc 2x cos x arctan xi.% + jr cos x /1 + arctan xhmLfOjclim/ 0 51+2 cos h + 1 + arctan xlim乂0jc cos x x,. x arctan x+11 m；ox廠 *+忸 3寧丿一召得原式=e-8.18.證明】 令/(工)=ln(2 a) +戈，其中z V 2, 由 y

29、(z ) = - + 1= 0 得工=1,xL當(dāng)工 V 1 時,/(x) 0；當(dāng) 1 Vh V 2 時，十(工)V 0,即工=1為/(工)的最大點，最大值為M=f(l) = 1, 從而有a” V l(n = 1,2,)，即數(shù)列S”有上界.又當(dāng) a” V 1 時，2 a” 1,從而 ln(2 a”)0,于是 a”+i =ln(2 a”)+a” a 即數(shù)列a”單調(diào)遞增，故數(shù)列a”收斂，即lima存在.”一*令lima” = A ,由anx =ln(2 a”)+ a”兩邊取極限得8A =ln(2 A) +A,解得 A =1.19.【解】(1)令P =砂2 +工,Q =爭(工)y ,因為曲線積分與路徑

30、無關(guān)，所以以學(xué)dx從而爭(工)=2工，解得卩(工)=/ + C , 由卩(0) = 2得C = 2今故甲(工)xz2.(2)方法一f(2,3)（1,0）(jcj/2 + x ) d;r + 卩(j：)3djy =(2,3)（1,0）(工了2 + x )cLz + (jc2 一 2)ydy2dc +| 2：ydy = T | 】+彳亠 + 9=峯峯02十2方法二r（2,3）(1,0)(jy2 + h)dr - p(jc )ydy =(2,3)(1,0)jcy2 + jc )dz + (工2 一 Zydy(2,3)d(1,0)丄廠2-W：2,0：21T當(dāng)工1,2力2 斗，斗士 1時，因為lim（-

31、 1）十；丁 （1）0 H0,所以工 =1時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)2n +1的收斂域為(一1,1).令 SQ) = ( 1)”22 + 72 + 1=a +2n + n + 1 2nJC2 77 + 11000012? + 1“ 2n 百得 S3 =斜(7”心” + 三(x = 0 時，S (0) =1；-1 8 二工 0 時，SQ)=寧 8(- 1)”2必T+ (- 1)” -_ ,r2+1 2 ” = “匚”=0力力+1= (-l)W” + /n=0=7(M2* +工2丿2一d+工2)21,S （工）=乂arctan x/ + arctan x+ arctan x工 =0 92: ， 1Vz1

32、 且 zHO. (1 +工)21【解】(1 由 AB = O 得 r(A) +r(B) 3,由 r(B)上 2 得 r(A) 1,因為A為非零矩陣，所以r (A ) $ 1,于是r (A ) = 1 ,12 1 a 一 1故一7 =1 ac ，解得 a = = 1 ,c = 2a = 4.c 2(2)A =_2_2A 1 21由 |AE A |=1 A + 2 一 1 =A2(A + 3) = 0 得2 4 A +2A的特征值為A ! = A 2 = 0,入3 = 3 ,因為廠(0E A)=廠(A) = 1所以A! = A2 = 0有兩個線性無關(guān)的特征向量，故A可相似對角化.0 得A, =A2

33、 = 0對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為0 /a1由一3EA 3E+A =得As=3對應(yīng)的線性無關(guān)的1-211 /00 I 101，則 P - 1 AP = 000012丿o0-3/取P =X N(0,l) ,Y22.【解】（1）由U(l,1f x(K) = =e/2兀1/y(3)=y 2得X,Y的邊緣密度函數(shù)為-1 y 1，0,其他.因為x,y獨立，所以（x,y）的聯(lián)合密度函數(shù)為0，/（z） =/x（乂）/丫（夕）=oo 無 + oo, 1 01由lim于（工）=lim 山口（+ 1_ _le 3得工=_ 1為十（工）的可去間斷點；xi工一一 1 c 一 1jc + 1L1由limyduHm .

34、“口 + “_ 得工=1為f d）的可去間斷點；乂一 1乂一 i z 十 1X 1L由/（2 0） =0,y（2 + 0） = + *得工=2為/（工）的第二類間斷點，應(yīng)選C.【答案】D.【解】 由（e + 2z） _ e = e* （1 + 竺）一1 e 1 zln（l + _） - x22得 a = ,b = 2,應(yīng)選 D. e【答案】A.【解】因為得一血收斂，J工“七（1 +工“?。┧杂?lim （z 0）1tan 工 =1 得1 VI,即 a 即（即 石，1 八仃+嚴(yán)）221 3 故=C a V空，應(yīng)選A.【答案】D.8 8【解】 因為磊級數(shù)藝即”（2z 1）在攵=一4處條件收斂，所

35、以需級數(shù)a”z的收斂半徑n = 0n=0為R =9,從而無級數(shù)a”工宀的收斂半徑為r=3,M = 0 33z 2 rl=A(Yy)= B,P(A) = F(B) =1 (1 )顯然由 pmin(X,Y)= 1一pmin(X,Y) *=1 F(X 丄,Y 一 =1 P(AB) = |-I AA 丿ze3得 F(AB) =12e故 P max(X ,Y)土 = 1 P max(X ,Y) W1 - Fx y,Y 計=l-P(AB)P(A +B)10.答案】D.【解】由x2=P(A) +P(B) - P(AB)=- e1 - 丁)=丁 -】應(yīng)選A.ST) n ,Y（“，弓）且相互獨立得N(0,遷 n

36、，即用（X仝）心0,1）.42 a（-_1） 12 （” 一 1）且相互獨立得X2 (n 1),2(7-l)Sx (n - 1)S$(772(5X2 (2? - 2),再由應(yīng)1與J2aVT(X-Y)5 - i)sx + (兀i)syc22 相互獨立得6G - 1)S； * G -1)S$2 O 2(7 1) 二、填空題11.答案】2336.【解】由 ln( 1 + 2工) =2_zt(2” 一 2),即廟1=Y2 “2” 一2),應(yīng)選 D.丿 S； +S$(2工)2 , (2工)3 (2 工)4234+ - +0( 5)5-2工 2 + 罷 3 - 4g 4 + 菩35尤 5 + o(g 5)

37、得（64于是/；：型=等，故/（0） =2336.5!I59 工12.【答案】一斗25【解】 由竺=2工嚴(yán)嚴(yán)卄,字=工2嚴(yán)（旳，OOyl + （y +z）=1 7 du 叫 _ y e， a+ 4 + )工5 +。(乂 5)= . + 器川3 f15+ o(工 5),2 _arctai(y+z) 彳曰1 +()+n)2 寸讐L=2J，亦曲面:z+ b在點（一 10,1）的外法向量為7? I=2=,2）, - 1 I= 一 2,0, 1,丨（一lOl）丨（一】f=P2,0,1),0,1)方向余弦為cos a1,cos 0 = 0, cos y =V575所求的方向?qū)?shù)為13.【答案】 工（2?

38、+ l）（z l）（0 x 2）.n = 0【解】g）x _ x 2 + 212（2 尤 ）2（2 x ）2 h 2（工一2）21x 2 一 1 + （工一1） 八=一（乂 l）（0 Vz V2）,1 - （j： - 1）”=o由逐項可導(dǎo)性得/c、2 =一!工一1）= = 一 （+1）（一一 1）0 Vz V2）,（H 0 Z 2n= 01 00即 t . _八2 =工5+1）（乂 - 1）（0 J； 工（0,0）-設(shè)L所圍成的區(qū)域為O,作Lo : ;r 2 + y2 = r2 （r 0 ,L0在L內(nèi)丄。取逆時針），再令與L圍成的區(qū)域為D，L0圍成的區(qū)域為D。，由格林公式得用-D1y dj*

39、x dyz2 + 夕2djc dy =0,從而（;字山字dy=f L dydjcJ lydjc 一 jc dy2 I2h+夕Pjyd 工j八5jj （- 1 - 1） dj? dj/Dn15.【答案】15.【解】 因為AX= 0有非零解，所以r(A) 3,從而矩陣A有特征值入】=0. 由 Aa = 20 ,Ap = 2a,得A(a + 0)=2(a + 0),A(a 一 0) = 2(a 0)，即入2 = 2,入3 = 2為矩陣A的特征值，于是A +3E的特征值為3,5,1,故|A + 3E | = 15.0,y0,16.【答案】0y V 1,11,2 2.【解】由X -E(*)得隨機(jī)變量X的

40、分布函數(shù)為(0,工 V 0,F(a)= |11 e 2 , z $ 0.(0,X 0,隨機(jī)變量Y = F(X)=x11 一 e 2 , X $ 0.隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為Fy(y)當(dāng) y Z 0 時,Fy(y) = 0;當(dāng)，鼻1 時，F(xiàn)y(y ) = 1 ;當(dāng) 0 y 1 時,FY(y) =P Y y = e 2 y =P X 一 21n( 1 y) =F 21n( 1 一 jy) = y ,Fy()=0,歹，.1,夕 o，0 j/ XdoT：(黑 + csc0)gesc 0(rsin 0 + l)drosin7n CSCT圧土山曲，= 31n | csc 9 cot 0 ” : = 一 31

41、11(雄一1) = 3ln(V2 + 1).18.【證明】由lim八2工=2得/(1)=1,X-1X 1再由 2l /心- 1)-1再由 _2= lim x-*ix 1lim2 工12x - 2由拉格朗日中值定理，存在c 6 (12),使得/(C)= 2-1=7令(p(x) = eT2x _f (x ) + 11，爭 (1) = (c) = 0 ,由羅爾定理可知，存在F E (l,c) U (12),使得卩()=0,而 C O ) = e2x /(z ) 一 2ff (鼻)一 2且 e_2j H 0,故y(W) 2十() 2=0,即 /(f) 一 2廠() =2.解竽19.【解】=2e2z/1

42、 + sin 2t fz,at7 = 4e2/j + 2/(2亡2/11 + sin 2t /1) + 2cos 2t f 2 + sin 2t de?/21 + sin 2t f 22) at 4e2/i + 4ez/n + 4e sin 2t f 12 + 2cos 2t f 2 +sin2 2t f 22.20.【解】曲面 2 :z = 1 + Jx + y (jt2 + y2 W 1)，取下側(cè)，令 S0 : n = 2(無2 + a? 1)，取上側(cè)，P = x2yz ,Q =xy ,R = (n + 1)S 則U22x2 yz dy dz x2dz +(z + l)2 dx dy少 j

43、c2yzdydzx2y(Zzdx +(n + 1)2dxdjy 半。由 井 jc2yzdy dz + x2 y dzdx +(n + 1)2dLc d, 半0= Jcr2 +2z + 2)血=Q=4J1 血Hz xz+y22：cycZ x2+(n + 1)2dr dy , =JU(2hj/n 2 x x + 2n + 2)dun(工 2 + 2z + 2) djc dy(:c 2 + y2 )djc dy + 27cJ (n + l)(n I)2 zz +j2(z-l)2= IJ：dd0 ；dr + 2tc Cn3 一 J 一 n + 1)dn= -7t ; J i609dz dj/ = 9k

44、 , TOC o 1-5 h z 再由 JJx2yzdy dz +- x:紐dcdr +(n + 1) dr dy =jj(n + 1) ? dz dy = 工0竊皿片亠 113c427故原式 =-7： 一 9兀=-兀.bU605-1 得2b 一訂21【解】(1)AX =有解的充分必要條件是r(A) =/-(A ： B),/I-1-225 I-1225 由(AB) = 2-10: a-2 1 - (014a 一 4121一 3-432 J01452b - 20Z-11-2/I023-014500005一 1200，_2+二I得-41-7-12-21-1 4Z-12，則 45 21 7 一 Z

45、12 I （其中中&，/為任意常數(shù)）. k22.【解】（1）總體X的分布律為 1e 291一 30E(X) =0 9 + 1 20+2(1 3)=2 40,E(X) =X得參數(shù))的矩估計量為(2)顯然 N。E(”，0),Ni B5,20),N2 51 30),E(T) =QqE(N o ) + 2E(Ni)a2E (N 2 ) =a.o n9 + a x n 23 + a2 - z(l 30) =n(a0 + 2a 7 3(a2 )6 + n(a2 ,因為T =aoNo + QiNi + a2N2為9的無偏估計量，所以有 aQ + 2a! 一 3oxv /(I sin 2x) 一于().f (

46、1) 一產(chǎn)(1 -3x)=i m i m /（I sin 2z ）于（1） + 3島 /（1 3 工）一于1）=于，（）=?兀， 應(yīng)選C.3.【答案】D.1foAt因為lim (0 x )”一=且=1 $1,所以廣義積分 發(fā)散；x-*o-x Zz + 1J t 工冷工 + Cb 帖住 rl(lny) C+8J t因為 Km | ”= 2 lim,= 2 lim /n b = +,所以廣義積分 |,i+J 1 x yin Xf+2 2 /n 工1+00J1 x /( z發(fā)散，應(yīng)選D.事實上，。一好 d山=f x djr I sc e dx , TOC o 1-5 h z J iJ oJor-K

47、l JX = t f+f+ l而| 工edz2 |尸d= 2F(4)= 12,所以廣義積分| _eedz收斂.J oJ 0J 1【答案】A.【解】 特征方程為A? 2A = 0,特征根為Ai=2,A2=0, 方程/ 一2 = (2工+1(0 +工2可拆成兩個非齊次線性微分方程y 2夕 =(2工 + De? ,(* )y _ 2yf =x _ 2,(* * )(* )的特解形式為 yx =x (ax + b) e =+ bx )e2x ;(* *)的特解形式為 夕2=工 (Ax + B) =AX + Bx ,故原方程的特解形式為 yq = y i + 夕2 = (az ? + bx )e2 +

48、Az2 + Bx , 應(yīng)選A.【答案】B.【解】lim/(乂，y) = , lim f (x , y)= h-O施 eOy = xy = 2xx-*0yf 0因為lim/X# ,y) H limfQ,夕),所以limj/Q ,y)不存在，故fCx ,y)在(0,0)處不連續(xù).x-0rf0y = xy = 2x由 Hm 八 =0 得(0,0) =0，同理 fy (0,0) =0,即 f(x ,y)在(0,0)處可偏- 0乞?qū)?，?yīng)選B.6.【答案】B.【解】 顯然SC)以2為周期，則S(3) =S(-4 + 1) =S(1)_S(1 -0) +S(1 +0 _空 +1-2= -2- =7S(4)

49、=S() + 0) =S(0)S(O-O) + S(0 + 0)2故 S(-3) +S(4) =*,應(yīng)選 B.7.【答案】D.方法一取 A=l 0 b = 1 j ,顯然 r (A ) = 2 , 3/W- I1 1對 A=(A)=10、2-3,A-210-2因為r (A )工r (A )，所以AX = b無解，應(yīng)選D27方法二由 AB =A 得 A(B 一 E) =O,從而 r(A) +r-(B E) n ,再由r(A)= ”得r(B 一 E) =0,于是B =E,A正確；因為廠(A i AB ) $ r (A )=n,又(A i AB) = AGE i B),r(A i AB) = rA(

50、E ： B) A)=，故r(A i AB) = n, B 正確；由 AB = O 得 r(A) + r(B) n，由 r (A )=得 r(B) =0,故 B=O,C 正確，應(yīng)選 D.&【答案】D.【解】A,B等價的充分必要條件是r(A) =r(B),/1 0 /1 一 2 取取=()，B = (),顯然心)=心)=2,即A,B等價，0 2/ 0 1 /因為為，B特征值不同，所以A,B不相似，A不正確；顯然| A |H B |出不正確；A為對角矩陣，顯然B的特征值為為=1且r(E-B)=L,矩陣B不可相似對角化，C不 正確，應(yīng)選D.事實上，因為A,B等價，所以存在初等矩陣，幺，0，使得PiPp

51、-PAQQ2-Q, =B,令P =P2卩，Q =QxQz-Q,，顯然P，Q可逆且PAQ =B.9.【答案】C.【解】 由XE(Q),YEQ?)得X,丫的分布函數(shù)為心(刃=1一廠$ ，F(xiàn)心J匕夕$。，【0,工 V 0,10,夕 0,Fy(u) =PU=PZ =0PU u I Z =0 + PZ =1PU u | Z = 1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 13=-PYu +4當(dāng) u VO 時，F(xiàn) u ( “)= 0 ；當(dāng) u $0 時，F(xiàn)u(“)= 1 e ，44ro,“vo,即 Fr(M)=1 T h 3 -A.U

52、 =應(yīng)選 C.1ee ,% N 0,I 44.【答案】D.【解】E(U)= 一 工工E(|X, |3)=E(|X|3)=百ar3ef dz n 0 Jo=03工彳 dr =03r4) =63 ,應(yīng)選 D. J 0二、填空題.答案】 一6 丄1【解】/1 + u u 1 = (1 + u u ) 1 X 2 ( f 0),f2 2 21 2,21 2xu當(dāng)u工0時， 5 = 角(賈)= e7 dt，則J 一1X J -1X J -X22 t 2ex x dt 3-ix=lim Lf 0lim 5 71 +才2x 2L d/ 一 3=21im-*02er dk 3工=21imx O12.【答案】.

53、2 21嚴(yán)十-3諾皿3.Z2e_一 2 zO X_ 1 + hm工*01） = 6.【解】r sin2 x Az =/ o2 2k工r sin x r d!=sin2 無 dr =兀o =）_ 一 y djc + 工 dy + L+AO_ y d:r + jc dy , OA且（L+AOy djc + r Xx =J2 d.d= 7,D_ 一 y dz x r dy = OA2Odx = 0 得W = 7t.15 【答案】【解】由Aa 13.令 P = （a】,a2可逆，a 2, Au 2 a , Acz 3 a 2 + a 3 得/1/10AP =H10d，或 P x AP = 1 101

54、I =B，即 A-Bo000A-10-1A一 1=（A +1）（入一1）2=0得00A-1由 |AE B | =A的特征值為A i = 1 ,A 2 =入3 = 1且|A I = 1,從而A*的特征值為1 1, 1,A* +2E的特征值為3,1,1,故+ 2E | = 3.【答案】0.85.【解】 由 A , B 獨立得 P(B A) = P(B) - P(A)P(B),代入得 P(B) =0. 5,故 P(A +B) =P(A) + P(巨)一P(A)P(巨)=0. 7 + 0. 5 0. 7 X 0. 5 =0. 85.三、解答題qr 3 3 T 2【解】 由lim _arctan 乂=得

55、曲線沒有水平漸近線；Zf 8X 1了 3 T 2由lim :arctan x = 得工=1為一條鉛直漸近線；zi x 1qr 3 Q or I 2tt3 丁 2 3由imarctan工=lim =0得工=1不是曲線的鉛直漸近線i 1x - 14 x-i Lxx3 B a + 2arctan x/工 3 3 工+ 27r (X+ x 2. 7Tlim Ig:-arctan x十x I= lim I-arctan x+ xlimx (arctan 工 + 守)2arctan x jC十1lim.兀arctan rr 十limJC得- 1為曲線的斜漸近線;由limx3 3工 十 2:arctan x

56、工2 _ 1x3工十2aactan 工工？ 一 1兀 . X + x 27TX I lim (arctan xx厶Z+OO j 十2=:mx - arctan x-手)-_ arctan x .L x + L=lim7Tarctan o1+川1=一1得一 1為曲線的斜漸近線.18.【證明】（1）令 / （rr ） x 1 In x （j：0）,令 /z（jc ） =1= 0 得=1,x則工=1為/ （工 ）在（0, + o）內(nèi)的最小值點，最小值為m =于（1） = 0,故方程攵=l + ln z 只有唯一解才=1.（2）已知 s 1,設(shè) a 人 1,則 a 屮 =1 + In a & 1,由數(shù)

57、學(xué)歸納法，對任意的，有a” 1;由拉格朗日中值定理得Ina” = In a ” 一 In 1a 1=Va” 1 其中 1 VWVa”，于是a卄i = l + lna” Vl+a” 一 l=a”，即數(shù)列仏單調(diào)遞減,故極限lima”存在.”一*8令 lima” = A,由 an+i = 1 + In a” 得 A = 1 + In A，解得 A = 1.n-*19.【解】由lim I a | = 1得收斂半徑為R=l,”=8| a” |因為lim （ 叮4： + P（+ IB工0,所以幕級數(shù)的收斂域為（一1,1）.Ljn 十 1令 s （4工 I?； +1）X,2總 + 1t 4jz 2 + 1（

58、2t? + 1） ?2（2z + 1） + 2 =十八 ci- 侍由=o , = （2（ + 1 ）2 + Z+ 1 侍2 72 + 12n + 1Z72 + 188,_ X nS（Q）=（一一 + 1）工2 2工（一1）2” +2工 2+12 n = 0=0n=0 /并十丄x = 0 時，S（0） = 1 ;OO8當(dāng)工H0時，由工（一1）（2“ + 1）工2” =（一1）工2卄=0=02n + 1當(dāng)X1 +d1 - X2d+H7）7SQ）1 _ X 2（1 + 工2）22arctan x1 + 3工2（1+h?72arctan x工=0,0 | j: | = lim -_ =孑+】 =e)_

59、 _ _工1工-* +x x工1的鉛直漸近線；2 丁 2-|-丄乙工_ =4e2得工=1不是曲線3/=lim X一 | t 十 1 | | x 1 | /x + 1 9 x-*0 X得于1 (0) = 1 # ff (0) =1,即f(j?在工=0處不可導(dǎo)；/ (x ) / (l).| jc 十 1 | | 壬| I 工1 | lx 十 1=im工一)x 1=lim 1_N | x 丨丨 j 十 1 1 iTx + 1 ,1 x 14# f+ （0） =23 ,即_/（工）在乂 =1處不可導(dǎo)，應(yīng)選C.由 lim = 1,Z8 XHm(J/ 無)=lim工一8Z 8JT工)=m無-1) +lim

60、e缶 +lim e占=2_一8fg JC3.【答案】B.【解】由li”arcsin扌.上=恤(11 =暫得1 3 工0 xl-*03 乂66 x =lnf+27 =.22曲=2川，o J t sin 2q 0t當(dāng)工 o時，無窮小的階數(shù)由低到高的次序為p,y,a,應(yīng)選B.4.【答案】A.解z工一t = Ug (工一0g()dz,則于(h)=h ln(l + 工)+ J g(“)d“，f （jc ） = ln（ 1 + 工）+（工），廠（0 ） = ”h1十工 門o）= li/&）廠型x-*0X3 0,故工=0為/（工）的極小值點，應(yīng)選A.5 【答案】A.【解如圖所示，令 D1 = ( jc ”