2020屆五省優(yōu)創(chuàng)名校高三(全國Ⅰ卷)第四次聯(lián)考數(shù)學(文)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020屆五省優(yōu)創(chuàng)名校高三（全國卷）第四次聯(lián)考數(shù)學（文）試題一、單選題1已知集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】先計算，再計算得到答案.【詳解】因為，所以故選：【點睛】本題考查了集合的運算，意在考查學生的計算能力.2若，則在復平面內(nèi)對應(yīng)點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】A【解析】化簡得到，得到答案.【詳解】，對應(yīng)的點在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復數(shù)對應(yīng)象限，意在考查學生的計算能力.3（ ）ABCD【答案】B【解析】化簡得到原式，再

2、利用和差公式計算得到答案.【詳解】故選：【點睛】本題考查了誘導公式化簡，和差公式，意在考查學生對于三角公式的靈活運用.4已知為定義在上的偶函數(shù)，當時，則（ ）ABCD【答案】D【解析】判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】，故選：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.5高考“”模式指考生總成績由語文、數(shù)學、外語3個科目成績和高中學業(yè)水平考試個科目成績組成計入總成績的高中學業(yè)水平考試科目，由考生根據(jù)報考高校要求和自身特長，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物個科目中自主選擇某中學為了解本校學生的選擇情況，隨機調(diào)查了位學生的選擇意向，其中選擇物理

3、或化學的學生共有位，選擇化學的學生共有位，選擇物理也選擇化學的學生共有位，則該校選擇物理的學生人數(shù)與該校學生總?cè)藬?shù)比值的估計值為（ ）ABCD【答案】B【解析】計算選擇物理的學生人數(shù)為，再計算比值得到答案.【詳解】選擇物理的學生人數(shù)為，即該校選擇物理的學生人數(shù)與該校學生總?cè)藬?shù)比值的估計值為故選：【點睛】本題考查了根據(jù)樣本估計總體，意在考查學生的應(yīng)用能力.6在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）A或BCD或【答案】D【解析】根據(jù)正弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】由，得，或，或故選：【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學生的計算能力.7函數(shù)的部分圖象大致為（ ）ABCD【答案】A【解析】

4、判斷函數(shù)為奇函數(shù)排除B，C，計算特殊值排除D，得到答案.【詳解】，為奇函數(shù)，排除B，C；又，排除D；故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.8明代數(shù)學家程大位（15331606年），有感于當時籌算方法的不便，用其畢生心血寫出算法統(tǒng)宗，可謂集成計算的鼻祖如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算，意在考查學生的理解能力和計算能力.9將函數(shù)

5、的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若為奇函數(shù)，則的最小值為（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出，根據(jù)是奇函數(shù)，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，因為是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10點在所在的平面內(nèi)，且，則（ ）ABCD【答案】D【解析】確定點為外心，代入化簡得到，再根據(jù)計算得到答案.【詳解】由可知，點為外心，

6、則，又，所以因為，聯(lián)立方程可得，因為，所以，即故選：【點睛】本題考查了向量模長的計算，意在考查學生的計算能力.11已知雙曲線的左、右頂點分別是，雙曲線的右焦點為，點在過且垂直于軸的直線上，當?shù)耐饨訄A面積達到最小時，點恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】A【解析】點的坐標為，展開利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因為，所以，當且僅當，即當時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標為，代入可得，所以雙曲線的方程為故選：【點睛】本題考查

7、了求雙曲線方程，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.12有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（ ）（附：）A個B個C個D個【答案】C【解析】計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，得到不等式，計算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，若想要蓋上蓋子，則需要

8、滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球故選：【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.二、填空題13某公司的老年人、中年人、青年人的比例為2:6:4，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本進行調(diào)查，其中青年人數(shù)為，_.【答案】300【解析】直接利用分層抽樣的比例公式計算得到答案.【詳解】用分層抽樣的方法抽取了一個容量為的樣本進行調(diào)查，其中青年人數(shù)為，則，解得故答案為：【點睛】本題考查了分層抽樣，意在考查學生的計算能力.14拋物線的焦點坐標為_.【答案】【解析】變換得到，計算焦點得到答案.【詳解】拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為故答案為：【點睛】本題

9、考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.15已知偶函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，則不等式的解集為_.【答案】【解析】令，確定在上單調(diào)遞增，解不等式得到答案.【詳解】令，當時，在上單調(diào)遞增因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)因為，所以不等式等價于，所以或，解得或故答案為：【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的綜合運用.16在棱長為的正方體中，是正方形的中心，為的中點，過的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為_.【答案】【解析】確定平面即為平面，四邊形是菱形，計算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點為，連接，則平面即為平面證明如下：由正方體的性質(zhì)可知，則，

10、四點共面，記的中點為，連接，易證連接，則，所以平面，則同理可證，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面因為正方體的棱長為，易知四邊形是菱形，其對角線，所以其面積故答案為：【點睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.三、解答題17某高校健康社團為調(diào)查本校大學生每周運動的時長，隨機選取了80名學生，調(diào)查他們每周運動的總時長（單位：小時），按照共6組進行統(tǒng)計，得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下（表1、2），規(guī)定每周運動15小時以上（含15小時）的稱為“運動合格者”，其中每周運動25小時以上（含25小時）的稱為“運動達人”.表1：男生時長人數(shù)2816

11、842表2：女生時長人數(shù)04121284（1）從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人，求選到“運動達人”的概率；（2）根據(jù)題目條件，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關(guān).每周運動的時長小于15小時每周運動的時長不小于15小時總計男生女生總計參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】（1）；（2）填表見解析，沒有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關(guān).【解析】（1）由題可知共有個基本事件，“運動達人”的可能結(jié)果為個，求得概率即可；（2）根據(jù)題意列出列聯(lián)表

12、，代入公式計算結(jié)果，然后判斷即可.【詳解】（1）每周運動的時長在中的男生有4人，在中的男生有2人，則共有個基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能結(jié)果有個，所以抽到“運動達人”的概率為；（2）每周運動的時長小于15小時的男生有26人，女生有16人；每周運動的時長不小于15小時的男生有14人，女生有24人.可得下列列聯(lián)表：每周運動的時長小于15小時每周運動的時長不小于15小時總計男生261440女生162440總計423880，所以沒有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關(guān).【點睛】本題考查隨機抽樣和獨立性檢驗，考查概率的計算，考查分析和運算能力，屬于?？碱}.18已知數(shù)列滿足（1

13、）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1），當時，兩式相減即得數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，當時，當時，由-，得，因為符合上式，所以（2）證明：因為，所以【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查數(shù)列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19如圖，在四棱錐中，平面，點為的中點（1）證明：（2）求點到平面的距離【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）取的中點，連接，證明平面得到答案.（2）利用等體積法計算得到答案.【詳解】（1）取的中點，連接在直角梯形中，,，所以又因為為的中點，所以因為平面，平

14、面，所以，又因為，所以平面，所以在直角中，分別為的中點，因為，所以，所以，所以又因為平面，所以平面，則（2）設(shè)點到平面的距離為，由（1）可知平面，所以，整理得，所以點到平面的距離為【點睛】本題考查了線線垂直，點到平面的距離，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20已知函數(shù)，（1）若不等式對恒成立，求的最小值；（2）證明：【答案】（1）最小值為（2）見解析【解析】（1）化簡得到，令，求函數(shù)的最大值得到答案.（2）變換得到，分別求表達式兩邊的最值得到答案.【詳解】（1）即，化簡可得令，因為，所以，所以，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為（2）證要證，即兩邊同除以可得設(shè)，則，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上

15、，所以在上單調(diào)遞增所以設(shè)，因為在上是減函數(shù)，所以，所以，即【點睛】本題考查了恒成立問題，表達式的證明，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值計算是解題的關(guān)鍵.21已知分別是橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，且（1）求的方程；（2）已知點是上的任意一點，不經(jīng)過原點的直線與交于兩點，直線的斜率都存在，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）不妨設(shè)，計算得到，根據(jù)面積得到，計算得到答案.（2）設(shè)，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，代入化簡計算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，則，又，故的方程為（2）設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得在上，上式可化為，【點睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.22在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求和的直角坐標方程；（2）已知為曲線上的一個動點，求線段的中點到直線的最大距離【答案】（1）（2）最大距離為【解析】（1）直接利用極坐標方程和參數(shù)方程的公式計算得到答案.（2）曲線的參數(shù)方程為，設(shè)，計算點到直線的距離公式得到答案.【詳解】（1）由，得，則曲線的直角坐標方程為，即直線的直角坐標方程為（2）可知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，則到直線的距離為，所以線段的中點到直線的最大距離為【點睛】本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程，距