教學(xué)設(shè)計(jì)參考案例－勾股定理

1、 PAGE PAGE 8 19.1勾股定理（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)（人教版課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下）哈爾濱市虹橋?qū)W校 高靜【摘要】通過(guò)活動(dòng)一了解勾股定理，通過(guò)活動(dòng)二由特殊三角形入手發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，在活動(dòng)三的環(huán)節(jié)由特殊到一般的順序驗(yàn)證猜想，得出定理，活動(dòng)四應(yīng)用定理?！娟P(guān)鍵詞】由特殊到一般 拼圖 面積法證明【教材分析】1.在教材中所處的地位本節(jié)內(nèi)容是人教版八年級(jí)下第19章中第1節(jié)勾股定理的第一課時(shí)。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念、全等三角形、特殊三角形的性質(zhì)和定理等知識(shí)之后，對(duì)直角三角形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與補(bǔ)充。它所揭示的直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系，成為解決“幾何學(xué)”有關(guān)“線段長(zhǎng)度計(jì)算問(wèn)題”

2、的強(qiáng)有力的工具。它不但是今后學(xué)習(xí)四邊形、學(xué)習(xí)解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，而且為我們將來(lái)學(xué)習(xí)立體幾何、研究數(shù)論作了一些有益的準(zhǔn)備。勾股定理是一條應(yīng)用十分廣泛的定理。如測(cè)量、建筑、航海中都有應(yīng)用。特別地，勾股定理在其他學(xué)科尤其是物理中有著廣泛的應(yīng)用，成為這些學(xué)科強(qiáng)有力的工具之一。在古代，中國(guó)的大禹曾還利用勾股定理來(lái)治理洪水，埃及人利用勾股定理建造了金字塔。可以說(shuō)它是初等幾何中最精彩、最著名的定理。2. 教學(xué)目標(biāo)(1)知識(shí)與技能1、在探索基礎(chǔ)上掌握勾股定理。2、理解勾股定理的面積證法。3、使學(xué)生能應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。(2)過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)勾股定理的探究,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)過(guò)程，進(jìn)一步提

3、高學(xué)生觀察、 猜想、分析、合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的習(xí)慣。(3)情感態(tài)度價(jià)值觀1、通過(guò)對(duì)勾股定理面積證法的探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，敢于嘗試的科學(xué)精神。2、通過(guò)對(duì)勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功體驗(yàn)，建立自信心，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。3、通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的介紹，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)與熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感。3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：探索和證明勾股定理難點(diǎn)：用面積證法證明勾股定理。【學(xué)情分析】在心理特征上：八年級(jí)學(xué)生獨(dú)立思考和探索的愿望有所提高，并能在探索的過(guò)程中形成自己的觀點(diǎn)。在解題過(guò)程中學(xué)生急于追求結(jié)果，常常丟寫(xiě)或錯(cuò)寫(xiě)證明的條件，應(yīng)注意

4、讓學(xué)生感受幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，所以在本節(jié)課中設(shè)置了一些針對(duì)性的練習(xí)題，保證學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法的掌握。在知識(shí)結(jié)構(gòu)上：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般三角形和直角三角形的相關(guān)概念和性質(zhì)，并且對(duì)于幾何推理已經(jīng)具有了一定的方法和技巧?！窘虒W(xué)策略】本節(jié)課借鑒美國(guó)教育家杜威在“做中學(xué)”的理論，注重培養(yǎng)學(xué)生自主探究與合作交流。教學(xué)內(nèi)容采用“問(wèn)題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的方式展開(kāi)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程。在探索勾股定理的教學(xué)中，利用學(xué)生的好奇心與求知欲，展開(kāi)先實(shí)踐后猜想的探索活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程，提高學(xué)生的思維能力，有效的激發(fā)學(xué)生的思維積極性。本節(jié)課采用傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體相結(jié)合的教學(xué)手段，充分利用多媒體

5、圖文并茂的優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生獲得較為直觀的印象，有效地降低難度，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性?！窘虒W(xué)過(guò)程】活動(dòng)12002年在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”。這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案。（1）你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？（2）你聽(tīng)說(shuō)過(guò)“勾股定理”嗎？教師出示照片及圖片。學(xué)生觀察圖片發(fā)表見(jiàn)解。教師做補(bǔ)充說(shuō)明：這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”。 其實(shí)在中國(guó)， HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算經(jīng)記載了勾股定理證明，相傳是在 HYPERLINK /view/270

6、39.htm t _blank 西周由 HYPERLINK /view/781919.htm t _blank 商高發(fā)現(xiàn)，故又有稱之為商高定理；三國(guó)時(shí)代的 HYPERLINK /view/77313.htm t _blank 趙爽對(duì) HYPERLINK /view/52535.htm t _blank 周髀算經(jīng)內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)纸o出了另外一個(gè)證明。 在本次活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生對(duì)“趙爽弦圖”及勾股定理的歷史是否感興趣；（2）學(xué)生對(duì)勾股定理的了解程度。設(shè)計(jì)意圖：從現(xiàn)實(shí)生活中提出“趙爽弦圖”，為學(xué)生能夠積極主動(dòng)地投入到探索活動(dòng)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)為探索勾股定理提

7、供背景材料。活動(dòng)2畢達(dá)哥拉斯是古代希臘著名的數(shù)學(xué)家，相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地板反映了直角三角形的某種性質(zhì)。（1）現(xiàn)在請(qǐng)你也觀察一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？1、等腰直角三角形（師）觀察圖5，對(duì)于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和已計(jì)算的正方形C的面積填入下表，它們的面積有什么關(guān)系？三角形 的形狀正方A面積正方形B面積正方C面積等腰直角三 角 形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有這樣的特點(diǎn)呢？2、直角邊長(zhǎng)為整數(shù)的一般直角三角形（師）觀察圖6，直角邊長(zhǎng)為整數(shù)的一般直角三角形，正方形

8、A、正方形B、正方形C面積又有什么關(guān)系呢？結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積3、任意直角三角形（師）那么，對(duì)于直角邊長(zhǎng)不是整數(shù)的一般直角三角形上面的結(jié)論還成立嗎？AC生合作：試著將已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如圖所示的圖形。ABC（師）同學(xué)們從活動(dòng)中都得出正方形A、正方形B、正方形C面積有什么關(guān)系？ （生）小組交流，學(xué)生代表發(fā)言。三角形 的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積任意的直角三角形結(jié)論：正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積師點(diǎn)撥：這里的四個(gè)全等的四邊形是正方形B按如圖8所示的方法分割的。師小結(jié)：通過(guò)以上活動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)以任意直角三角形的

9、兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之和都等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積。（師）下面我們運(yùn)用幾何畫(huà)板進(jìn)一步驗(yàn)證上面的結(jié)論（改變直角三角形的三邊長(zhǎng)度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)結(jié)論仍然成立）。4、正方形面積與直角三角形三邊關(guān)系（師）若我們?cè)O(shè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊為c，你能用三角形的邊長(zhǎng)來(lái)表示這三個(gè)正方形的面積嗎？（將正方形的面積和三角形的邊長(zhǎng)聯(lián)系起來(lái)） （生）正方形A面積為a2，正方形B面積為b2，正方形C面積為c2。（師）你發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間有什么聯(lián)系？（生）分組討論，交流并發(fā)言。 結(jié)論：由于 正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積，所以 a2 + b2 = c2 即兩條直角邊的平方和等于斜邊

10、的平方。5、認(rèn)識(shí)直角三角形三邊關(guān)系（師）利用幾何畫(huà)板展示任意直角三角形，我們發(fā)現(xiàn)：無(wú)論三邊長(zhǎng)度如何變化，兩條直角邊的平方和總是等于斜邊平方。 （師）請(qǐng)將上述結(jié)論用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述并符號(hào)化。（生）學(xué)生討論，交流并發(fā)言。 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （師）在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為勾，下半部分稱為股。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。所以我國(guó)古代把上面的定理稱為“勾股定理”。再請(qǐng)學(xué)生看一看，讀一讀：早在三千多年前周朝數(shù)學(xué)家商高就提出勾

11、三、股四、弦五，并在后來(lái)被記載在中國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)之中，一千多年后西方的畢達(dá)哥拉斯證明了此定理。 （設(shè)計(jì)意圖：在探索定理的過(guò)程中， 為了突出本節(jié)重點(diǎn)，解決難點(diǎn)，我將按下面兩個(gè)層次設(shè)計(jì)探索過(guò)程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三邊關(guān)系的研究，體現(xiàn)從特殊到一般的方法，第二方面引導(dǎo)學(xué)生用割、補(bǔ)等方法計(jì)算正方形C面積到用拼圖的方法探索直角三角形三邊關(guān)系，展示由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的思想，探索出勾股定理。） 活動(dòng)3下面，我們就來(lái)看一看我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的。（1）以直角三角形ABC的兩條直角邊a、b為邊作兩個(gè)正方形。你能通過(guò)剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？（2）迄今為止，關(guān)于勾股定理

12、的證明方法已有500余種。其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。下面我們一起來(lái)了解這一證法。此證明方法的核心思想是“面積之間的等量關(guān)系”。右圖是歷史上著名的“弦圖”，你能通過(guò)此圖，利用面積之間的等量關(guān)系來(lái)證明勾股定理嗎？ （設(shè)計(jì)意圖：本層題目面向?qū)W有余力的學(xué)生，注重思維開(kāi)放性的培養(yǎng)。其中勾股定理總統(tǒng)證法和弦圖證法，不但拓展了學(xué)生的視野，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，而且使學(xué)生感受到勾股定理證明的博大精深。）活動(dòng)4小結(jié)：勾股定理是一個(gè)基本幾何定理，是人類(lèi)早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思

13、想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是 HYPERLINK /view/134322.htm t _blank 數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。勾股定理是 HYPERLINK /view/52606.htm t _blank 余弦定理的一個(gè)特例。勾股定理約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。布置作業(yè)：收集有關(guān)勾股定理的證明方法，下節(jié)課展示、交流。學(xué)生談體會(huì)。教師進(jìn)行補(bǔ)充，總結(jié)，為下節(jié)課做好鋪墊。在此次活動(dòng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：不同層次的學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度；學(xué)生是否能從不同方面談感受；傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)，體會(huì)合作學(xué)習(xí)的必要性。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)為學(xué)生創(chuàng)造交流的空間，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，既引導(dǎo)了學(xué)

14、生從面積的角度理解勾股定理，又從能力、情感、態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對(duì)課堂整體感受，在輕松愉快的氣氛中體會(huì)收獲的喜悅。給學(xué)生留有繼續(xù)學(xué)習(xí)的空間和興趣。板書(shū)設(shè)計(jì)：勾股定理：如果在一個(gè)直角三角形中直角邊分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么有即直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，此為勾股定理?！菊n后反思】新課程改革要求我們：將數(shù)學(xué)教學(xué)置身于學(xué)生自主探究與合作交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)中；將知識(shí)的獲取與能力的培養(yǎng)置身于學(xué)生形式各異的探索經(jīng)歷中；關(guān)注學(xué)生探索過(guò)程中的情感體驗(yàn)，并發(fā)展實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識(shí)。為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)及可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。為此我在教學(xué)設(shè)計(jì)中注重了以下幾點(diǎn)：一、讓學(xué)生主動(dòng)想學(xué) 上這節(jié)課我布置給學(xué)生任

15、務(wù)：查有關(guān)勾股定理的資料（可上網(wǎng)查，也可查閱報(bào)刊、書(shū)籍）.提前兩三天由幾位學(xué)生匯總(教師可適當(dāng)指導(dǎo))。這樣可使學(xué)生在上這節(jié)課前就對(duì)勾股定理歷史背景有全面的理解，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到勾股定理的重要性，學(xué)習(xí)勾股定理是非常必要的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生也是一次愛(ài)國(guó)主義教育，培養(yǎng)民族自豪感，激勵(lì)他們奮發(fā)向上同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及歸類(lèi)總結(jié)能力。二、在課堂教學(xué)中，始終注重學(xué)生的自主探究 首先，創(chuàng)設(shè)情境，由實(shí)例引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后通過(guò)動(dòng)手操作、大膽猜想、勇于驗(yàn)證等一系列自主探究、合作交流活動(dòng)得出定理，并運(yùn)用定理進(jìn)一步鞏固提高。體現(xiàn)了學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。對(duì)于拼圖驗(yàn)證，學(xué)生還沒(méi)有接觸過(guò)，所以在教學(xué)中教師給予學(xué)生適當(dāng)指導(dǎo)與鼓勵(lì)。充分體現(xiàn)了教師是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。三、教會(huì)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生多種能力 課前查資料，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及歸類(lèi)總結(jié)能力；課上的探究培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦的能力、觀察能力、猜想歸納總結(jié)的能力、合作交流的能力四、注重了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)