初升高數(shù)學(xué)銜接班第7講——二元二次方程組

1、PAGE 初升高數(shù)學(xué)銜接班第7講二元二次方程組一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步驟；掌握用“代入法”解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組；2、通過對(duì)二元二次方程組解法的學(xué)習(xí)，滲透“消元”、“降次”的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。3、體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，養(yǎng)成深入觀察、分析的良好習(xí)慣。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1、會(huì)用“代入消元法”解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組；2、理解解二元二次方程組的基本思想。三、課程精講：新知探秘：什么樣的方程組是二元二次方程組？如何解二元二次方程組？1、二元二次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次

2、數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程。例如：xy1，x2y0，xy2xy3都是二元二次方程；xy1，x2y0都不是二元二次方程。2、二元二次方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或者由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫二元二次方程組。知識(shí)點(diǎn)一：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解。其中蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解?！纠?】解方程組思路導(dǎo)航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得，代入方程（2）消去。解：由（1）得： （3）將（3）代入（2）得：，解得：把代入（3

3、）得：；把代入（3）得：。原方程組的解是：。點(diǎn)津：（1）解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟：把由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程（3）；把方程（3）代入二元二次方程，得到一個(gè)一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程（3），求相應(yīng)的未知數(shù)的值；寫出答案。（2）消去，還是消去，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來決定若系數(shù)均為整數(shù)，那么最好消去系數(shù)絕對(duì)值較小的，如方程，可以消去，變形得，再代入消元。（3）消元后，求出一元二次方程的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能會(huì)產(chǎn)生增根

4、，這一點(diǎn)要切記?！纠?】解方程組思路導(dǎo)航：本題可以用代入消元法解方程組，但應(yīng)注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解。解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把、看成是方程的兩根，解方程得：。 原方程組的解是：。點(diǎn)津：（1）對(duì)于這種對(duì)稱型的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如。（2）對(duì)稱型方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱的，即有解，則必有解知識(shí)點(diǎn)二：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組1、可因式分解型的方程組方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成。【例

5、3】解方程組思路導(dǎo)航：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程。解：由（1）得： 或 原方程組可化為兩個(gè)方程組：用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：點(diǎn)津：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則將原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程?！纠?】解方程組思路導(dǎo)航：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程。對(duì)其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型。解：（1）（2）得：即 原方程組可化為兩個(gè)二元二次方程組：。用代入法解

6、這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：。點(diǎn)津：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程。此方程與原方程組中的任何一個(gè)方程聯(lián)立，即可得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組。【例5】解方程組思路導(dǎo)航：（1）（2）得：，（1）（2）得：，分別分解（3）、（4）可得四個(gè)二元一次方程組。解：（1）（2）得：，（1）（2）得：。解此四個(gè)方程組，得原方程組的解是：。點(diǎn)津：對(duì)稱型方程組，如、都可以通過變形轉(zhuǎn)化為的形式，再通過構(gòu)造一元二次方程求解。2、可消二次項(xiàng)型的方程組【例6】解方程組思路導(dǎo)航：注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)

7、二元二次方程組成的方程組。解：（1）得：代入（1）得：。分別代入（3）得：。 原方程組的解是：。點(diǎn)津：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解。二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方法，做題時(shí)應(yīng)具體問題具體解決?！局睋舾咧小俊纠?】k為何值時(shí)，方程組 （1）有一個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出此解；（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解。思路導(dǎo)航：所考知識(shí)點(diǎn)：二元二次方程組的解法及根的判別式，先用代入法消去未知數(shù)y，可得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式來討論。解：將代入，整理得k2x2（

8、2k4）x10 （2k4）24k2116（k1）。（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)解。將k1代入原方程組得當(dāng)k0時(shí)，方程不是一元二次方程，此時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解。（這種情形經(jīng)常被忽略了）當(dāng)k1且k0時(shí)，原方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。時(shí)，原方程組沒有實(shí)數(shù)解。點(diǎn)津：解這種題型的規(guī)律一般是將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程后，利用0，0，0來討論的。解題易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽略一元二次方程中x2的系數(shù)k2不等于0。四、知識(shí)提煉：解二元二次方程組的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，將二元轉(zhuǎn)化為一元，將二次轉(zhuǎn)化為一次，轉(zhuǎn)化的基本方法是“消元”和“降次”。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵。五、目標(biāo)期望：在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們要了解一元

9、二次方程、一元二次方程組的概念，掌握由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解法，會(huì)用代入法求方程組的解；掌握由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程組成的方程組的解法。六、下節(jié)預(yù)告：在高中的向量、解析幾何與立體幾何的學(xué)習(xí)中需要用到平行線分線段成比例、直角三角形的射影定理以及圓中的垂徑定理、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓的位置關(guān)系等知識(shí)。因此有必要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行歸納、整理?！就骄毩?xí)】（答題時(shí)間：30分鐘）1、解方程組一般用 法。2、解方程組 時(shí)用含x的代數(shù)式表示y，按代入法解這個(gè)方程組，可得關(guān)于x的方程是 3、方程組的解為_4、方程組：可化為的兩個(gè)方程組為_與_5、解下列方程組：（1）（2）6、解方程組：7、解方程組8、解方程組【試題答案】1、代入 2、3、4、5、6、解：方程（1）可變形為 把（2）代入（3）中，得 即于是