幾類不同增長的函數(shù)模型一課件

1、 Tuesday, July 12, 2022 （一）3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型【教學(xué)重點】【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)難點】課程目標(biāo)【教學(xué)手段】多媒體電腦與投影儀將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題.借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，對指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長狀況進行比較，初步體會它們的增長差異性；結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異性 在理想環(huán)境中,種群數(shù)量呈指數(shù)增長;在有限制的環(huán)境中,種

2、群數(shù)量的增長將由指數(shù)增長轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shù)增長,并逐漸趨于穩(wěn)定.那么,應(yīng)如何選擇不同的函數(shù)模型描述這些現(xiàn)象呢？問題情景問題情景 假如某公司每天向你投資10萬元,共投資30天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？ 閱讀課本95 97頁例1，邊閱讀邊思考下面的問題：【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.請問,你會選擇哪種投資方案？

3、 在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？構(gòu)建數(shù)學(xué)探究一投資天數(shù)、回報金額解:設(shè)第x天所得回報是 y元，則方案一：方案二：方案三： 在本問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？探究一 上述的三個數(shù)學(xué)模型,第一個是常數(shù)函數(shù),另兩個都是遞增的函數(shù)模型,你如何對三個方案作出選擇？方法1:我們來計算三種方案所得回報的增長情況：探究二 請同學(xué)們對函數(shù)增長情況進行分析,方法是列表觀察或作出圖象觀察.x/天 方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2

4、540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.83040030010214748364.8107374182.4 根據(jù)表格中所提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認識？三種方案每天回報表x42681012y20406080100120140o 底數(shù)為2 的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多.從中你對“指數(shù)爆炸”的函數(shù)有什么新的理解？ 你能通過圖象描述一下三種方案的特點嗎？ 方法2：我們來作出三種方案的三個函數(shù)的圖象：123

5、4567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8結(jié)論: 投資16天,應(yīng)選擇方案一; 投資7天,應(yīng)選擇方案一或二; 投資810天,應(yīng)選擇方案二; 投資11天(含11天)以上,則應(yīng)選擇方案三.回報天數(shù)方案累計回報表：方案一方案二方案三你30天內(nèi)給公司的回報為:0.01+0.012+0.0122+ +0.01229300萬元解答:公司30天內(nèi)為你的總投資為:情景問題解答 假如某公司每天向你投資10萬元,共投資3

6、0天.公司要求你給他的回報是:第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天,你認為這樣的交易對你有利嗎？=10737418.231074(萬元).1074-300=774 (萬元).實際應(yīng)用問題分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答數(shù)學(xué)問題審 題數(shù)學(xué)化尋找解題思路還原(設(shè))(列)(解)(答) 解答例1的過程實際上就是建立函數(shù)模型的過程,建立函數(shù)模型的程序大概如下：【例2】某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時,按銷售利潤進行獎勵,且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎金總數(shù)

7、不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？ 本問題涉及了哪幾類函數(shù)模型？本問題的實質(zhì)是什么？ 一次函數(shù)模型 實質(zhì):分析三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響，就是比較三個函數(shù)的增長情況 y=0.25xy=log7 x +1, 對數(shù)函數(shù)模型 指數(shù)函數(shù)模型y=1.002x探究一 銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵,且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元,所以銷售利潤x可用不等式表示為_. 依據(jù)這個模型進行獎勵時,獎金不超過利潤的25%,所以獎金y可用不等式表示為_. 依據(jù)這個

8、模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元,所以獎金y可用不等式表示為_.10 x10000y50y25%x 你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎勵方案的條件嗎?探究二 你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎？ 獎勵模型符合公司要求就是依據(jù)這個模型進行獎勵時,符合條件： (1)獎金總數(shù)不超過5萬元； (2)獎金不超過利潤的25%. 因此,在區(qū)間10,1000上,不妨作出三個函數(shù)模型的圖象,通過觀察函數(shù)的圖象,得到初步的結(jié)論,再通過具體計算確認結(jié)果.探究三40060080010001200200 1 2 3 45678xyoy=5y=0.25x探究四 通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的

9、獎勵方案？探究四 通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？對于模型y=0.25x,它在區(qū)間10,1000上遞增,當(dāng)x20時,y5,因此該模型不符合要求;探究四 通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？對于模型y=1.002x,它在區(qū)間10,1000上遞增, 觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x806時,y5,因此該模型不符合要求.探究四 通過觀察圖象,你認為哪個模型符合公司的獎勵方案？ 對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間10,1000上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x=1000時, y=log71000+14.551),冪函數(shù)y=xn (n0)與指數(shù)函數(shù)y = ax (a 1)在區(qū)

10、間(0,+)上都是增函數(shù),但它們的增長是有差異的.那么這種差異的具體情況到底是怎樣呢?以函數(shù)y = 2x , y=log2x , y=x2為例.探究一制作函數(shù)值表(借助計算器制表).觀察表格,三個函數(shù)的增長速度是不同的. 總體來講隨著x的增大, y=log2x的增長速度最慢; y = 2x和y=x2的增長速度有變化,一開始, y = 2x的增長速度快,后來y=x2增長速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y = 2x探究一畫函數(shù)圖象(描點或借助計算機作圖).觀察圖象可以看出:三個函數(shù)的增長速度是不同的,你能根據(jù)圖象分別標(biāo)出不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范？

11、(1) 0 x4時,(2) 2 x x2,有時2xx2但當(dāng)x越來越大時, 2x的增長速度遠快于x2.問題(2)觀察圖象,試求出可使下列不等式成立的x的取值范圍.(1)0 x4時,(2)2x1),指數(shù)函數(shù)y = ax (a 1)與冪函數(shù)y=xn (n0) 都是增函數(shù),但它們的增長速度不同,而且不在同一個“檔次”上. 隨著x的增大, y = ax (a 1)的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=xn (n0)的增長速度,而y=logax (a1)的增長速度則會越來越慢.因此總存在一個x0,當(dāng) x x0時,就會有3. 冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)增長速度的一般結(jié)論結(jié)論1: 的增長快于 的增長，所以存

12、在一個 ，使x 時,有 .結(jié)論2: 的增長快于 的增長，所以存在一個 ，使x 時,有 .結(jié)論3：在區(qū)間（0，+）上，函數(shù) (a1） （a1), (n0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同。隨著x的增大 (a1） 的增長速度越來越快，遠遠大于 （n0) 的增長速度，而 (a1)的增長速度則越來越慢，因此，會存在一個 ，當(dāng) 時，有探究以函數(shù) 為例.思考:你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0a1),y=ax(0a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上衰減情況嗎?結(jié)論:在區(qū)間(0,+)上,盡管對數(shù)函數(shù)y=logax (0a1), y = ax (0a1)與y=xn (n0) 都是減函數(shù),

13、但它們的衰減速度不同,而且不在同一個“檔次”上. 隨著x的增大, y=logax (0a1)的衰減速度越來越快,會超過并遠遠大于y = ax (0a1)的衰減速度,而y=xn (nx0時,就會有3.你能用同樣的方法,討論函數(shù)y=logax(0a1), y=ax(0a1)與冪函數(shù)y=xn(n0)在區(qū)間(0,+)上衰減情況嗎? 【1】四個變量y1, y2, y3, y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.4785450531302005113050513053025201510

14、50關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是_.(練習(xí)P.981)練一練練一練 【2】某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的，如果某臺計算機感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時，這臺計算機都可能感染沒被感染的20臺計算機.現(xiàn)在10臺計算機在第1輪病毒發(fā)作時被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時可能有多少臺計算機被感染？(練習(xí)P.982)2.答案:第5輪病毒發(fā)作時最多會有160萬臺被感染練習(xí)P.981，21.答案：y2練一練課堂小結(jié)確定函數(shù)模型利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象討論模型體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義 布置作業(yè)(1)課本P.39A 5(2)學(xué)案P.27-28P.39 2探究創(chuàng)新再見山東省臨沂一中例2、 探究：公司有哪些要求，你能用 數(shù)學(xué)語言表達出來嗎？某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%現(xiàn)有三個獎勵模型：問：其中哪個模型能符合公司的要