2022屆廣東省揭陽華僑高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1已知，則等于（ ）ABCD2已知函數(shù)，若，則的值等于（ ）ABCD3函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知，函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數(shù)的解析式為（ ）ABCD4已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）ABCD5劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想

3、，得到的近似值為（ ）ABCD6在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（ ）ABCD7如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A2014年我國入境游客萬人次最少B后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差8關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學(xué)通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，

4、再統(tǒng)計，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（ ）ABCD9對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（ ）ABCD10函數(shù)且的圖象是（ ）ABCD11三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注周髀算經(jīng)中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用，化簡，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機拋擲顆圖釘（大小忽略不計），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（ ）ABCD12下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)

5、又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數(shù)的定義域是_14已知向量，滿足，則的取值范圍為_.15已知F為拋物線C：x28y的焦點，P為C上一點，M（4，3），則PMF周長的最小值是_.16已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7，最小值為1，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在四棱錐的底面是菱形， 底面， 分別是的中點， .（）求證： ；（）求直線與平面所成角的正弦值；（III）在邊上是否存在點，使與所成角的余弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.18（12分）已知數(shù)列，其前項和為，滿足，其中，.

6、若，（），求證：數(shù)列是等比數(shù)列；若數(shù)列是等比數(shù)列，求，的值；若，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.19（12分）已知函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點.（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的極大值點和極小值點分別為和，且，求實數(shù)a的取值范圍.（e是自然對數(shù)的底數(shù)）20（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，M是橢圓E上的一個動點，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標準方程，（2）若，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，記直線AD，BC的斜率分別為，求證:為定值.21（12分）班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比

7、例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）（2）如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績（單位：分）對應(yīng)如下表：學(xué)生序號1234567數(shù)學(xué)成績60657075858790物理成績70778085908693若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，預(yù)測該同學(xué)的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.768381252622（10分）如圖,設(shè)點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為

8、的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當時，（1）求橢圓的方程.（2）當時，求的面積.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】由已知條件利用誘導(dǎo)公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得 ，又，所以，結(jié)合解得，所以 ，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)也為奇函數(shù)故選：B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點對稱時有：奇函數(shù)奇函

9、數(shù)=奇函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)；奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)3A【解析】由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據(jù)圖像過，即可求出，再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，所以，即，因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到，所以.故選：A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】解：命題p：x0，ln（x+1）0，則命題p為真命題，則p為假命題

10、；取a=1，b=2，ab，但a2b2，則命題q是假命題，則q是真命題pq是假命題，pq是真命題，pq是假命題，pq是假命題故選B5A【解析】設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.6A【解析】根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍

11、角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.7D【解析】ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯誤.故選：D.【點睛

12、】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.8B【解析】先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，若，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學(xué)生的基本計算能力，是一個中檔題.9D【解析】作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠

13、近哪個曲線【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側(cè)，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多，說明擬合效果好10B【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域為，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，排除C，D.又，在必有零點，排除A.故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.11A【解析】分析：設(shè)三角形的直角邊分別為1，利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析：設(shè)三角形的直角

14、邊分別為1，則弦為2，故而大正方形的面積為4，小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選：A.點睛：應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型，將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并加以度量(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在數(shù)軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標系即可建立與體

15、積有關(guān)的幾何概型12C【解析】結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域為，故答案為.14【解析】設(shè)，由，根據(jù)平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：因為，所以A點軌跡為以O(shè)為圓心

16、、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.155【解析】PMF的周長最小，即求最小，過做拋物線準線的垂線，垂足為，轉(zhuǎn)化為求最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，F(xiàn)為拋物線C：x28y的焦點，P為C上一點，M（4，3），拋物線C：x28y的焦點為F（0，2），準線方程為y2.過作準線的垂線，垂足為，則有，當且僅當三點共線時，等號成立，所以PMF的周長最小值為55.故答案為：5.【點睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.16-2【解析

17、】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大最小值時所在的頂點即可【詳解】由題意得：目標函數(shù)在點B取得最大值為7，在點A處取得最小值為1，直線AB的方程是：，則，故答案為.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值的方法，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）見解析； （）； （）見解析.【解析】()由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；()建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()假設(shè)滿足題意的點存在，設(shè)，由

18、直線與的方向向量得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點F的位置.【詳解】()由菱形的性質(zhì)可得：，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：，故，底面，底面，故，且，故平面，平面，()由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知，以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則：，設(shè)平面的一個法向量為,則：，據(jù)此可得平面的一個法向量為，而，設(shè)直線與平面所成角為，則.()由題意可得：，假設(shè)滿足題意的點存在，設(shè)，據(jù)此可得：，即：,從而點F的坐標為，據(jù)此可得：,，結(jié)合題意有：，解得：.故點F為中點時滿足題意.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，線面角的向量求法，立體幾何中的探索性問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能

19、力.18（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(), 所以，故數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析：（1）證明：若，則當(),所以，即，所以， 又由，得，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列 （2）若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為（ ），當時，即，得， 當時，即，得，當時，即，得，得 ， ，得 ， 解得代入式，得 此時()，所以，是公比為的等比數(shù)列，故 （3）證明：若，由，得，又，解得由， ，代入得，所以，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以， 因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列.19（1）；（2）.【解析】（1）首先對函數(shù)求導(dǎo)

20、，根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍；（2）首先求出的值，再根據(jù)求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為是，若有兩個極值點，則方程一定有兩個不等的正根，設(shè)為和，且，所以解得，此時，當時，當時，當時，故是極大值點，是極小值點，故實數(shù)a的取值范圍是；（2）由（1）知，則，由，得，即，令，考慮到，所以可化為，而，所以在上為增函數(shù)，由，得，故實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，屬于難題.20（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據(jù)題意可知，因為，所以可設(shè)直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程，利用韋達定理得到的關(guān)系，再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當M為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.所以，所以，故橢圓E的標準方程為.（2）根據(jù)題意可知，因為，所以可設(shè)直線CD的方程為.由，消去y可得，所以，即.直線AD的斜率，直線BC的斜率，所以，故為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解、橢圓中的定值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標法的運用.21（