精品等比數(shù)列的性質(zhì)

1、. z.-教學(xué)容【知識(shí)構(gòu)造】1 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比 等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q 表示q0，即： an =qq0 an一11o “從第二項(xiàng)起與“前一項(xiàng)之比為常數(shù)(q) a 成等比數(shù)列 一nan+1 =q n 仁 N + ,q 0an2o 隱含：任一項(xiàng) a 士 0且q 士 0n“ a 0是數(shù)列 a 成等比數(shù)列的必要非充分條件n nn3o q= 1 時(shí)， a 為常數(shù)2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 1: an = a1 . qn一1 (a1 . q 士 0)3. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 2: an = a

2、m . qm一1 (a1 . q 士 0)4 既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列 ：非零常數(shù)列5 等比中項(xiàng)： 如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G，使 a,G，b 成等比數(shù)列，則 稱這個(gè)數(shù) G 為 a 與 b 的等比中項(xiàng). 即 G= ab a,b 同號(hào)如 果 在 a 與 b 中 間 插 入 一 個(gè) 數(shù) G ， 使 a,G ， b 成 等 比 數(shù) 列 ， 則G b = 亭 G2 = ab 亭 G = 士 ab ， a G反之，假設(shè) G 2 =ab, 則 G = b ，即 a,G,b 成等比數(shù)列a Ga,G,b 成等比數(shù)列 一 G 2 =aba b06 等比數(shù)列的性質(zhì)： 假設(shè) m+n=p+k，則 a a

3、 = a a m n p k. z.a n-在等比數(shù)列中， m+n=p+q， a , a , a , a 有什么關(guān)系呢？m n p k由定義得：a = a q m1m 1a = a q n1 a = a q p1 n 1 p 1ak = a1 . qk 1am . an = a12 qm+n2 ， ap . ak = a12 q p+k 2則 a a = a am n p k7 等比數(shù)列的增減性： 當(dāng) q1, a 0 或 0q1, a 1, a1 0,或 0q0 時(shí), a 是遞減數(shù)列;當(dāng) q=1 時(shí), a 是常數(shù)列;當(dāng) q 0 , a a + 2a a + a a = 25 , 求 a + a

4、 n n 2 4 3 5 4 6 3 5(2) ac,三數(shù) a, 1, c 成等差數(shù)列， a 2 ,1, c 2 成等比數(shù)列，求 解：(1) a 是等比數(shù)列，n2 4 3 5 4 6 3 5 a a 2a a a a ( a a ) 2 25,又 a 0, a a 5;n 3 5(2) a, 1, c 成等差數(shù)列, ac2,又 a 2 , 1, c 2 成等比數(shù)列, a 2 c 2 1, 有 ac1 或 ac1, 當(dāng) ac1 時(shí), 由 ac2 得 a1, c1,與 ac 矛盾， ac1, a 2 + c 2 = (a + c)2 2ac = 6a + c 1 = . a 2 + c 2 3.

5、z.-0 1 2 n1例 4 無窮數(shù)列10 5 ,10 5 ,10 5 , 10 5 , ，求證：1這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列12這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)為哪一項(xiàng)它后面第五項(xiàng)的 ，103這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中 n1證：1 an 10 5 10 常數(shù)該數(shù)列成等比數(shù)列 a n2n1 10 5n11a a n 10 n52 an 10 5 10 1 1 ，即：a n4 10n5 10 5p1 q1 pq23 a a 10 5 10 5 10 5 ， p, q N ， p q 2 p q p q 1 1且p q 1 N ， 第 p q 1項(xiàng) 例 5 設(shè) a, b, c, d 均為非零實(shí)數(shù)， a 2 b

6、2 d 2 2ba cd b2 c 2 0 ，求證： a, b, c 成等比數(shù)列且公比為d 證一：關(guān)于 d 的二次方程 a 2 b2 d 2 2ba cd b2 c 2 0 有實(shí)根， 4b2 a c2 4 a 2 b2 2 c2 0 ， b2 ac2 0則必有： b 2 ac 0 ，即b2 ac ， a, b, c 成等比數(shù)列設(shè)公比為 q ，則 b aq ， c aq 2 代入a 2 a 2 q 2 d 2 2aqa aq 2 d a 2 q 2 a 2 q 4 0 q 2 1a 2 0 ，即 d 2 2qd q 2 0 ，即 d q 0 證二： a 2 b2 d 2 2ba cd b2 c

7、2 0 a 2 d 2 2abd b2 b 2 d 2 2bcd c 2 0ad b2 bd c2 0 ， ad b ，且bd c. z.-b c a, b, c, d 非零， = = da b例 6 設(shè) S 為數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和， S = kn2 + n ， n N* ，其中 k 是常數(shù)n n n1 求 a 及 a ；1 n2假設(shè)對(duì)于任意的 m N* ， a ， a ， a 成等比數(shù)列，求 k 的值m 2m 4m解1當(dāng) n = 1, a = S = k +1，1 1n 2, a = S S = kn 2 + n k (n 1)2 + (n 1) = 2kn k + 1 * n n n1經(jīng)歷

8、， n = 1, * 式成立，：a = 2kn k + 1 n2 am , a2m , a4m 成等比數(shù)列， ：a2m2 = am .a4m ，即 (4km k +1)2 = (2km k +1)(8km k +1) ，整理得： mk (k 1) = 0 ，對(duì)任意的 m N * 成立， ：k = 0或k = 1例 7 在等差數(shù)列a 中，假設(shè) a 0，則有等式 a +a + a =a +a + an 10 1 2 n 1 2 19 nn19， nN) 成立. 類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列 b 中，假設(shè) bn 91，則有等式成立答案： b b b b b b n17， nN*；1 2 n 1

9、2 17 n解：在等差數(shù)列 a 中，由 a 0，得 a a a a a a an 10 1 19 2 18 n 20 n na 2a 0，1 19 n 10所以 a a a a 0，即 a a a a a a ，1 2 n 19 1 2 n 19 18 n1又a a ， a a ， a a1 19 2 18 19 n n1a a a a a a a a a ，1 2 n 19 18 n1 1 2 19 n假設(shè) a 0，同理可得 a a a a a a ，9 1 2 n 1 2 17 n-相應(yīng)地等比數(shù)列b 中，則可得： b b b bb b n17，nN*。n 1 2 n 1 2 17 n. z

10、. z.-【備選例題】例 8如圖 3 1，在邊長為 l 的等邊ABC 中，圓 O 為ABC 的切圓，圓 O1 2與圓 O 外切，且與 AB， BC 相切，圓 O 與圓 O 外切，且與 AB、BC 相1 n+1 n切，如此無限繼續(xù)下去.記圓 O 的面積為 a nN*，證明a 是等比數(shù)列；n n nl 3證明：記 r 為圓 O 的半徑，則 r = tan30= l 。n n 1 2 6r r 1n1 n =sin30= ，所r + r 2n1 n以 r = 1 r n2，于是 a =r 2= l 2 , an = ( rn )2 = 1 ，n 3 n1 1 1 12 a r 9n1 n1故a 成等

11、比數(shù)列。n點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問題的判定，需要對(duì)實(shí)際問題情景進(jìn)展分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。n n 1 n+1 3 n n n例 9 數(shù)列a 和b 滿足： a =,a = 2 a + n 4,b = (1)n (a 3n + 21),其中 為實(shí)數(shù)， n 為正整數(shù).對(duì)任意實(shí)數(shù) ，證明數(shù)列a 不是等比數(shù)列；n試判斷數(shù)列b 是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.n解： 證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使a 是等比數(shù)列，則有a2 = a a , 即n 2 1 3( 2 入 3)2 = 入(4 入 4) 一 4 入2 4入 + 9 = 4 入2 4入 一 9 = 0, 矛盾. 所以a 不是3 9 9 9

12、n等比數(shù)列. z.1 n +12 2b-()解：因?yàn)?b = (_1)n+1(a _ 3(n +1)+ 21) = _ (_1)n (a _ 3n + 21) = _ b 又 n+1 n+1 3 n 3 nb = _ (入 +18), 所以1當(dāng) 18， b = 0 ( n N+),此時(shí)b不是等比數(shù)列：當(dāng) 18 時(shí)，1 nb = _ (入 +18)士 0 , 由上可知 b 士 0 ， ba+1 = _ 2 ( n N+). 故當(dāng) -18 時(shí)，數(shù)列1 n b 3 nb 是以18為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列.n 3點(diǎn)評(píng)： 此題主要考察等比數(shù)列的概念和根本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例 10 等比數(shù)列a

13、的前 n 項(xiàng)和為S ， 對(duì)任意的 n = N+ ，點(diǎn) (n, S ) ，均在函n n n數(shù) y = bx + r(b 0 且 b 士 1,b, r 均為常數(shù))的圖像上.1求 r 的值；2當(dāng) b=2 時(shí)，記b = n +1(n = N+ )n 4an求數(shù)列b 的前 n 項(xiàng)和Tn n解:因?yàn)閷?duì)任意的 n =N+ , 點(diǎn) (n, S ) ，均在函數(shù) y = bx + r(b 0 且 b 士 1,b, r 均為常n數(shù))的圖像上.所以得 S = bn + r ,n當(dāng) n = 1 時(shí), a = S = b + r ,1 1當(dāng) n 2 時(shí), a = S _ S = bn + r _ (bn_1 + r) =

14、 bn _ bn_1 = (b _ 1)bn_1 ,n n n_1又因?yàn)閍 為等比數(shù)列, 所以 r = _1 , 公比為 b ,n所以 a = (b _ 1)bn_1n2當(dāng) b=2 時(shí)， a = (b _ 1)bn_1 = 2n_1 ,n= = =n +1 n +1 n +1n 4a 42n_1 2n+1n2 3 4則 T = + + +n 22 23 24n +1+2n+11T = 2 nn +2 3 4 + + +2n+123 24 25相減,得 T = + + + +1 2 1 1 12 n 22 23 24 25n +1+2n+2+ _ 2n+1 2n+2. z.-1 11 + 23

15、2n1 n +1 = 3 1 n +1 2 1 2n+2 4 2n+1 2n+2 (1 )1 23 1 n +1 3 n + 3所以 T = = n 2 2n 2n+1 2 2n+1【穩(wěn)固練習(xí)】1.設(shè)等比數(shù)列a 的公比 q=2,前 n 項(xiàng)和為 S , 則 S4 = 15 .n n a 222.等比數(shù)列a 中,a =7,前 3 項(xiàng)之和 S =21，則公比 q 的值為 1 或- 1 .n 3 3 23.如果-1,a,b,c,-9 成等比數(shù)列, 則 b=-3,ac=9.4.在等比數(shù)列a 中， a a a =8，則 a a =4.n 1 3 11 2 85.假設(shè)數(shù)列a 的前n 項(xiàng)和 S =3n-a，數(shù)

16、列a 為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù) a 的值是 1.n n n6.設(shè) a ,a ,a ,a 成等比數(shù)列，其公比為 2， 2a1 + a2 的值為 1 . 1 2 3 4 2a + a 43 47.等比數(shù)列a 前 n 項(xiàng)的積為 T ,假設(shè) a a a 是一個(gè)確定的常數(shù)， 則數(shù)列 T ，T ，n n 3 6 18 10 13. z.則-T17，T25 中也是常數(shù)的項(xiàng)是 T17.8.在等比數(shù)列a中, a = 2 , 前 n 項(xiàng)和為 S ,假設(shè)數(shù)列a +1也是等比數(shù)列, 則 Sn 1 n n n等于 C .(A) 2n+1 _ 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3n _ 1C.提示：因數(shù)列a為等比，則a

17、= 2qn_1 ，因數(shù)列a +1也是等比數(shù)列，n n nn+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n n+2 n n+2 n+1(a +1)2 = (a +1)(a +1)亭 a 2 + 2a = a a + a + a 亭 a + a = 2a亭 a (1+ q2 _ 2q) = 0 亭 q = 1 n即 a = 2 ，所以 S = 2n ，應(yīng)選擇答案 C。n n9.假設(shè)互不相等的實(shí)數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列， c, a, b 成等比數(shù)列，且 a + 3b + c = 10 ，則 a = D A4 B2 C2 D4提示： 由互不相等的實(shí)數(shù) a, b, c 成等差數(shù)列可設(shè) abd ，cbd，由a + 3b + c =