2022屆北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為( )ABCD2將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（ ）A圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C

2、圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1D最小正周期為，在有兩個(gè)根3已知函數(shù)，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（ ）A1BCD4已知，分別是三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊，則（ ）ABCD5已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）ABC2D6在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）A74B121CD7已知集合,則（ ）ABCD8如果直線與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（ ）A點(diǎn)M在圓C上B點(diǎn)M在圓C外C點(diǎn)M在圓C內(nèi)D上述三種情況都有可能9已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD10在四面體中，為正三角形，邊長(zhǎng)為6，則四面體的體積為（ ）ABC24D1

3、1設(shè)集合，集合 ，則 =（ ）ABCDR12如圖，正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（ ）A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì)D5對(duì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則14某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1 000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1 000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)?50，400)內(nèi)的學(xué)生共有_人15若復(fù)數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_.16記Sk1k+2k+3k+nk，當(dāng)k

4、1，2，3，時(shí)，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S5An6n5n4+Bn2，可以推測(cè)，AB_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.18（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長(zhǎng)為8，求b.19（12分）已知的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且.

5、（1）求；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).20（12分）在綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)的某個(gè)維度的測(cè)評(píng)中，依據(jù)評(píng)分細(xì)則，學(xué)生之間相互打分，最終將所有的數(shù)據(jù)合成一個(gè)分?jǐn)?shù)，滿分100分，按照大于或等于80分的為優(yōu)秀，小于80分的為合格，為了解學(xué)生的在該維度的測(cè)評(píng)結(jié)果，在畢業(yè)班中隨機(jī)抽出一個(gè)班的數(shù)據(jù).該班共有60名學(xué)生，得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)秀合格總計(jì)男生6女生18合計(jì)60已知在該班隨機(jī)抽取1人測(cè)評(píng)結(jié)果為優(yōu)秀的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系？（3）現(xiàn)在如果想了解全校學(xué)生在該維度的表現(xiàn)情況，采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式在全校學(xué)生中抽取少數(shù)一部分來分析，請(qǐng)你選擇

6、一個(gè)合適的抽樣方法，并解釋理由.附：0.250.100.0251.3232.7065.02421（12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，動(dòng)點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過點(diǎn)且垂直的直線，試問直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)寫出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.22（10分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2 -kx（其中e為自然對(duì)數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

7、合題目要求的。1A【解析】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且平面，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵2C【解析】由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷

8、各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對(duì)稱中心滿足，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤；對(duì)于C，的對(duì)稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對(duì)于D，最小正周期為，當(dāng)，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.3C【解析】根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,

9、總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增, 無最大值.若,則當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí), ,在遞減；當(dāng)時(shí), ,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.4C【解析】原式由正弦定理化簡(jiǎn)得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因?yàn)?，所以代入上式化?jiǎn)得.由于，所以.又，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)

10、算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.5A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6D【解析】根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，7B【解析】計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8B【解析】根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線

11、的距離，即也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題9B【解析】由題可知，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對(duì)有，即，解得，再對(duì)，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，因?yàn)椋?因?yàn)樗?在中，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題10A【解析】推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解： 在四面體中，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，平面，平面，四面體的體積為：.故答案

12、為：.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.11D【解析】試題分析：由題，選D考點(diǎn)：集合的運(yùn)算12C【解析】畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作POAD于O，則有PO平面ABCD，POCD，又ADCD，所以，CD平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：POAOOD，所以，APPD，又APCD，所以，AP平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì)【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視

13、圖，考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14750【解析】因?yàn)?.001+0.001+0.004+a+0.005+0.00350=1，得a=0.006，所以10000.004+0.006+0.00550=750。15【解析】先求得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題.16【解析】觀察知各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1，最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)

14、所給的已知等式得到：各等式右邊各項(xiàng)的系數(shù)和為1，最高次項(xiàng)的系數(shù)為該項(xiàng)次數(shù)的倒數(shù)，A，A1，解得B，所以AB故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）：，直線：；（2）【解析】（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，曲線的極坐標(biāo)方程是；由，化為直角坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為【點(diǎn)睛】本題考查

15、參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化18（1）；（2）【解析】（1）通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8，求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得，結(jié)合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設(shè)，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.19（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果

16、；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.20（1）見解析；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”（3）見解析.【解析】（1）由已知抽取的人中優(yōu)秀人數(shù)為20，這樣結(jié)合已知可得列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，比較后可得；（3）由于性別對(duì)結(jié)果有影響，因此用分層抽樣法【詳解】解：（1）優(yōu)秀合格總計(jì)男生62228女生141

17、832合計(jì)204060（2）由于，因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“性別與測(cè)評(píng)結(jié)果有關(guān)系”.（3）由（2）可知性別有可能對(duì)是否優(yōu)秀有影響，所以采用分層抽樣按男女生比例抽取一定的學(xué)生，這樣得到的結(jié)果對(duì)學(xué)生在該維度的總體表現(xiàn)情況會(huì)比較符合實(shí)際情況.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分層抽樣的性質(zhì)考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力屬于中檔題21（1）；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y12y0，由，可得2x0+2y0t6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，即可證明【詳解】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a

18、，0），|a5|3，解得a2或a8（舍去），橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y21，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1y0，得（x02 x0，y12y0） （0，y1y0）=0，整理可得y12y0，或y1y0 （舍），得（x0，2y0）（2x0，t2y0）2，整理可得2x0+2y0tx02+4y02+26，由（1）可得F（，0），（x0，2y0），（x0，2y0）（2，t）62x02y0t0，NFOP，故過點(diǎn)N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)F【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.22（1）；（2）見解析【解析】（1）求出，記，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)