【解析版】江蘇省南京師大附中2013屆高三(上)12月學情反饋數(shù)學試卷

1、江蘇省南京師大附中2013屆高三（上）12月學情反饋數(shù)學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1（5分）函數(shù)y=（sinx+cosx）2的最小正周期是考點：同角三角函數(shù)間的基本關系；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法.專題：計算題分析：利用同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式可得函數(shù)y=1+sin2x，根據(jù)最小正周期等于 求出結果解答：解：函數(shù)y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于 =，故答案為：點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，二倍角公式的應用，正弦函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎題2（5分）若集合A=x|（

2、x1）23x+7，xR，則AZ中有6個元素考點：交集及其運算分析：先化簡集合A，即解一元二次不等式（x1）23x+7，再與Z求交集解答：解：由（x1）23x+7得x25x60，A=（1，6），因此AZ=0，1，2，3，4，5，共有6個元素故答案是 6點評：本小題考查集合的運算和解一元二次不等式3（5分）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（1，考點：復合函數(shù)的單調(diào)性.專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用分析：由函數(shù)，知x2+3x+40，由t=x2+3x+40是開口向下，對稱軸為x=拋物線，利用復合函數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間解答：解：函數(shù)，x2+3x+40，解得1x4t=x2+3x+40是開口向下，對稱軸為x=拋

3、物線，由復合函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（1，故答案為：（1，點評：本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用4（5分）若=a+bi（i是虛數(shù)單位，a，bR），則乘積ab的值是3考點：復數(shù)相等的充要條件.專題：計算題分析：先對等式的左端分子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)2+i進行化簡，然后根據(jù)復數(shù)相等的條件當且僅當實部與虛部分別相等可求a，b進而可求ab解答：解：1+3i=a+bi根據(jù)復數(shù)相等的條件可得，a=1，b=3ab=3故答案為：3點評：本題主要考查了復數(shù)的乘除的基本運算，還考查了復數(shù)相等的條件：當且僅當實部與虛部分別相等，屬于基礎試題5（5分）若

4、將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具），先后拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為4的概率是考點：古典概型及其概率計算公式.專題：計算題分析：分別求出基本事件數(shù)，“點數(shù)和為4”的種數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可解答：解析：基本事件共66個，點數(shù)和為4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3個，故故填：點評：本小題考查古典概型及其概率計算公式，考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）=6（5分）給出一個算法： Read x If x0，Then f（x）4x Else f（x）2x End

5、，If Print，f（x）根據(jù)以上算法，可求得f（1）+f（2）=0考點：條件語句.專題：圖表型分析：先根據(jù)算法求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)自變量的值代入相應的解析式即可求出所求解答：解：根據(jù)算法程序得：f（x）=f（1）+f（2）=4（1）+4=0故答案為：0點評：本題主要考查了條件語句，以及函數(shù)值的求解，同時考查了閱讀算法語句的能力，屬于基礎題7（5分）橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，則PF1F2的面積為24考點：橢圓的簡單性質(zhì).專題：計算題分析：根據(jù)橢圓的標準方程求出焦點坐標，利用點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直以及點P在橢圓上，求出點P的縱坐標，從而計

6、算出PF1F2的面積解答：解：由題意得 a=7，b=2 ，c=5，兩個焦點F1 （5，0），F(xiàn)2（5，0），設點P（m，n），則 由題意得 =1，+=1，n2=，n=，則PF1F2的面積為 2c|n|=10=24，故答案為：24點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)、方程組的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題8（5分）已知向量和的夾角為120，則=7考點：向量的模.專題：計算題分析：根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式得，化簡后把已知條件代入求值解答：解：由題意得，=，=7故答案為：7點評：本小題考查向量模的求法，即利用數(shù)量積運算公式“”進行求解9（5分）在RtAB

7、C中，C=90，A=30，則A、B為焦點，過點C的橢圓的離心率考點：橢圓的簡單性質(zhì).專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：根據(jù)RtABC中，C=90，A=30，求出三角形ABC的三邊長，因為三角形ABC為橢圓中的焦點三角形，所以可用三邊長表示橢圓中的長軸長2a和焦距2c，再代入離心率公式即可解答：解：設|BC|=1，ABC中，C=90，A=30，|AC|=，|AB|=2橢圓以A，B為焦點，且經(jīng)過C點，2a=|CA|+|CB|，2c=|AB|a=，c=1橢圓離心率e=故答案為：點評：本題主要考查橢圓中離心率的求法，關鍵是借助焦點三角形中的三邊關系求出a，c的值10（5分）在平面直角坐標系

8、中，設三角形ABC 的頂點分別為A（0，a），B（b，0），C （c，0），點P（0，p）在線段AO 上（異于端點），設a，b，c，p 均為非零實數(shù)，直線BP，CP 分別交AC，AB 于點E，F(xiàn)，一同學已正確算得OE的方程：，請你求OF的方程：考點：直線的一般式方程.專題：直線與圓分析：根據(jù)題設，要求OF的方程即要求出F點的坐標而F點為CP與AB的交點，故要分別求出CP與 AB的方程解答：解：由題意，C（c，0），P（0，p），則CP方程為，同理，AB方程為y=（xb），兩直線方程聯(lián)立，得出F點坐標為（，），所以OF方程為（acpabp）x（abcbcp）y=0，同除以abcp整理得OF方程為

9、：故答案為：點評：本題主要體現(xiàn)“對稱輪換思想”，因為點B與點C“地位平等”，所以它們具有可交換性，因此只要將直線OE方程中b與c交換，便可得直線OF方程，直接求解運算量較大，易出錯11（5分）如圖，點P是單位圓上的一個頂點，它從初始位置P0開始沿單位圓按逆時針方向運動角（）到達點P1，然后繼續(xù)沿單位圓逆時針方向運動到達點P2，若點P2的橫坐標為，則cos的值等于考點：任意角的三角函數(shù)的定義.專題：計算題分析：首先根據(jù)P2的橫坐標為，求出cos（+）的值，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的性質(zhì)求出sin（），最后根據(jù)cos=cos（）化簡即可求出cos解答：解：cos（+）=sin（）=cos=cos（）=

10、；故答案為點評：本題考查單位圓與周期性，以及任意角的三角函數(shù)的定義及其應用通過三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化來求角的余弦值屬于基礎題12（5分）設實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是考點：簡單線性規(guī)劃.專題：計算題分析：本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件的可行域，再求出分析可行域中各點的坐標，分析后易得的取值范圍解答：解：由約束條件得如圖所示的陰影區(qū)域，由圖可知，當x=3，y=1時，u有最小值，當x=1，y=2時，u有最大值，故的取值范圍是，故答案為：點評：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達式的幾何意義，然后結合數(shù)形結合的思想，分析圖形，找出滿足條

11、件的點的坐標，即可求出答案13（5分）滿足條件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面積的最大值是2考點：三角形中的幾何計算.專題：計算題；壓軸題分析：設BC=x，根據(jù)面積公式用x和sinB表示出三角形的面積，再根據(jù)余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面積表達式，進而得到關于x的三角形面積表達式，再根據(jù)x的范圍求得三角形面積的最大值解答：解：設BC=x，則AC=x，根據(jù)面積公式得SABC=ABBCsinB=2x，根據(jù)余弦定理得cosB=，代入上式得SABC=x=，由三角形三邊關系有，解得22x2+2故當x=2時，SABC取得最大值2點評：本題主要考查了余弦定理和面積公式在解三角形中的應用當涉

12、及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題14（5分）f（x）=ax33x+1對于x1，1總有f（x）0成立，則a=4考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：計算題；壓軸題分析：這類不等式在某個區(qū)間上恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題要分三類：x=0，x0，x0等三種情形，當x=0時，不論a取何值，f（x）0都成立；當x0時有a，可構造函數(shù)g（x）=，然后利用導數(shù)求g（x）的最大值，只需要使ag（x）max，同理可得x0時的a的范圍，從而可得a的值解答：解：若x=0，則不論a取何值，f（x）0都成立；當x0即x（0，1時，f（x）=ax33x+10可化為：a設g（x）=，則g

13、（x）=，所以g（x）在區(qū)間（0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，1上單調(diào)遞減，因此g（x）max=g（）=4，從而a4；當x0即x1，0）時，f（x）=ax33x+10可化為：a，g（x）=在區(qū)間1，0）上單調(diào)遞增，因此g（x）min=g（1）=4，從而a4，綜上a=4答案為：4點評：本題考查的是含參數(shù)不等式的恒成立問題，考查分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，利用導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，最小值等知識與方法在討論時，容易漏掉x=0的情形，因此分類討論時要特別注意該問題的解答二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答時需寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（14分）在ABC中，A，B，C分別為a，b

14、，c邊所對的角，且（1）求的值；（2）若a=2，求ABC的面積S的最大值考點：正弦定理；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值.專題：計算題；解三角形分析：（1）由已知可求cos，cos2A=2cos2A1，然后利用誘導公式及二倍角公式即可求解（2）根據(jù)三角形的面積公式S=bcsinA表示出三角形的面積，根據(jù)余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化簡，把a的值代入即可求出bc的最大值，進而得到面積S的最大值解答：解：（1）=且coscos=，cos2A=2cos2A1=由三角形的內(nèi)角和可得，B+C=A=cos+cos2A=（2）由余弦定理可得，cosA=b2+c2a2=b2+c24

15、2bc4bc10S=3，即S的最大值為3點評：此題屬于解三角形的題型，考查的知識有：誘導公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，三角形的面積公式，以及基本不等式的應用，熟練掌握公式是解本題的關鍵16（14分）已知點P（3，4）是橢圓+=1（ab0）上的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩焦點，若PF1PF2，試求：（1）橢圓方程；（2）PF1F2的面積考點：橢圓的簡單性質(zhì).專題：解題方法；待定系數(shù)法分析：（1）設出焦點的坐標，利用垂直關系求出 c 值，橢圓的方程化為+=1，把點P的坐標代入，可解得a2的值，從而得到所求橢圓方程（2） P點縱坐標的值即為F1F2邊上的高，由 SPF1F

16、2 =|F1F2|4 求得）PF1F2的面積解答：解：（1） 令F1（c，0），F(xiàn)2（c，0），PF1PF2，kPF1kPF2=1，即 =1，解得 c=5，橢圓方程為 +=1點P（3，4）在橢圓上，+=1，解得 a2=45，或a2=5，又ac，a2=5舍去，故所求橢圓方程為 +=1（2） P點縱坐標的值即為F1F2邊上的高，SPF1F2 =|F1F2|4=104=20點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程的方法17（15分）已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB（如圖1）現(xiàn)將ADE沿DE折起，使得AEEB（如圖2），連接AC，AB

17、，設M是AB的中點（1）求證：BC平面AEC；（2）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.專題：綜合題；空間位置關系與距離分析：（1）在圖1中，過C作CFEB，連接CE，證明BCCE，在圖2中，利用AEEB，AEED，可證AE平面BCDE，從而可得AEBC，即可證明BC平面AEC（2）用反證法假設EM平面ACD，從而可證面AEB面AC，而A平面AEB，A平面ACD，與平面AEB平面ACD矛盾，故可得結論解答：（1）證明：在圖1中，過C作CFEBDEEB，四邊形CDEF是矩形，CD=1，EF=1四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，AE=BF

18、=1BAD=45，DE=CF=1連接CE，則CE=CB=，EB=2，BCE=90，BCCE 在圖2中，AEEB，AEED，EBED=E，AE平面BCDEBC平面BCDE，AEBC AECE=E，BC平面AEC （2）解：用反證法假設EM平面ACD EBCD，CD平面ACD，EB平面ACD，EB平面ACDEBEM=E，面AEB面ACD 而A平面AEB，A平面ACD，與平面AEB平面ACD矛盾假設不成立，EM與平面ACD不平行點評：本題考查圖形的翻折，考查線面垂直，考查三棱錐的體積，考查反證法思想的運用，解題的關鍵是掌握線面垂直，面面平行的判定方法，屬于中檔題18（15分）某地政府為科技興市，欲在

19、如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：應用題分析：先以A為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系得到A、F、E、C的坐標設出拋物線的解析式把F坐標代入可求出，根據(jù)坐標EC所在直線的方程，設出P的坐標表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面積公式表示出S，求出S=0時的值來討論S的增減性得到S的最大值即可解答：解：

20、以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，則A（0，0），F(xiàn)（2，4），由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為y=ax2（a0），由4=a22得，a=1，AF所在拋物線的方程為y=x2，又E（0，4），C（2，6），EC所在直線的方程為y=x+4，設P（x，x2）（0 x2），則PQ=x，QE=4x2，PR=4+xx2，工業(yè)園區(qū)的面積（0 x2），S=3x2+x+4，令S=0得或x=1（舍去負值），當x變化時，S和S的變化情況如下表：由表格可知，當時，S取得最大值答：該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積點評：考查學生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)關系的能力，以及會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力19（16分

21、）已知C過點P（1，1），且與M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）關于直線x+y+2=0對稱（）求C的方程；（）設Q為C上的一個動點，求的最小值；（）過點P作兩條相異直線分別與C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由考點：圓與圓的位置關系及其判定.專題：計算題；壓軸題分析：（）設圓心的坐標，利用對稱的特征：點與對稱點連線的中點在對稱軸上；點與對稱點連線的斜率與對稱軸的斜率之積等于1，求出圓心坐標，又C過點P（1，1），可得半徑，從而寫出C方程（）設Q的坐標，用坐標表示兩個向量的數(shù)量積，化簡后再進行三角代換，可得其最小值（）

22、設出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與C的方程聯(lián)立方程組，并化為關于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結論解答：解：（）設圓心C（a，b），則，解得（3分）則圓C的方程為x2+y2=r2，將點P的坐標代入得r2=2，故圓C的方程為x2+y2=2（5分）（）設Q（x，y），則x2+y2=2，（7分）=x2+y2+x+y4=x+y2，令x=cos，y=sin，=cos+sin2=2sin（+）2，（+）=2k時，2sin（+）=1，所以的最小值為22=4 （10分）（）由題意知，直線PA和直線

23、PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設PA：y1=k（x1），PB：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0（11分）因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得（13分）同理，所以=kOP ，所以，直線AB和OP一定平行（15分）點評：本題考查圓的標準方程的求法，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用20（16分）已知函數(shù)f（x）=（x23x+3）ex定義域為2，t（t2），設f（2）=m，f（t）=n（）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在2，t上為單調(diào)函數(shù)；（）求證：nm；（）求證：對于任意的t2，總存x0（2，t），滿足，并確定這樣的x

24、0的個數(shù)考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.專題：壓軸題分析：（）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關系確定t的取值范圍，（）運用函數(shù)的極小值進行證明，（）首先對關系式進行化簡，然后利用根與系數(shù)的關系進行判定解答：（）解：因為f（x）=（2x3）ex+（x23x+3）ex，由f（x）0 x1或x0，由f（x）00 x1，函數(shù)f（x）在（，0），（1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在2，t上為單調(diào)函數(shù)，2t0，（）證：因為函數(shù)f（x）在（，0）（1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，又f（2）

25、=13e2e，所以f（x）在2，+）上的最小值為f（2），從而當t2時，f（2）f（t），即mn，（）證：因為，即為x02x0=，令g（x）=x2x，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=0在（2，t）上有解并討論解的個數(shù)，因為g（2）=6（t1）2=，g（t）=t（t1）=，所以當t4或2t1時，g（2）g（t）0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且只有一解，當1t4時，g（2）0且g（t）0，但由于g（0）=0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且有兩解，當t=1時，g（x）=x2x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（2，t）上有且只有一解，當t=4時，g（x）=x2x6=0，所以g

26、（x）=0在（2，t）上也有且只有一解，綜上所述，對于任意的t2，總存在x0（2，t），滿足，且當t4或2t1時，有唯一的x0適合題意，當1t4時，有兩個x0適合題意點評：本小題主要考查導數(shù)的概念和計算，應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法及推理和運算能力三、理科附加題(30分鐘）21（選做題）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量考點：特征值與特征向量的計算.專題：計算題分析：根據(jù)特征多項式的一個零點為3，可得x=1，再回代到方程f（）=0即可解出另一個特征值為2=1，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量解答：解：矩陣M的特征多項式為=（1）（x）4（1分

27、）因為1=3方程f（）=0的一根，所以x=1（3分）由（1）（1）4=0得2=1，（5分）設2=1對應的一個特征向量為，則得x=y（8分）令x=1則y=1，所以矩陣M的另一個特征值為1，對應的一個特征向量為（10分）點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算的知識，同時考查了計算能力，屬于基礎題22（選做題）在極坐標系中，圓C的方程為，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關系考點：直線的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標方程.專題：計算題分析：消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標方程，再求出C的直角坐標方程，求出圓心C到直線l的距離小

28、于半徑，可得直線l和C相交解答：解：消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標方程為y=2x+1；（2分）圓C的方程 ，即=2（sin+cos），兩邊同乘以得2=2（sin+cos），得C的直角坐標方程為：（x1）2+（x1）2=2，（6分）圓心C到直線l的距離，所以直線l和C相交 （10分）點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，屬于基礎題23如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA底面ABCD，點M是棱PC的中點，AM平面PBD（1）求PA的長；（2）求棱PC與平面AMD所成角的正弦值考點：直線與平面所成的角；平面與平面垂直的性質(zhì).專題：空間位置關系與距離分析：（1）先建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，由平面PBD，=0，可得P的豎坐標，即得到PA的長（2）先求出平面AMD的一個法向量n，與法向量n的夾角的余弦值就等于與平面AMD夾角的正弦值解答：解：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）因為M是PC中點，所以M點的坐標為（，），所以=（，），=（1，1，0），=（1，0，a）（1）因為平面PBD，所以=