Phi4場的路徑積分

1、4理論中的路徑積分Part One11，自由標量場拉氏量我們這里只考慮實標量場，因而自由標量場的拉氏量可以寫為：如果加上場源，那么自由場拉氏量可以寫為：21，自由標量場拉氏量現(xiàn)在考慮作用量：考慮其中的這項積分： 我們有：考慮Gauss定理：其中是V的邊界。因而上述積分為：考慮無窮遠邊界上場量為0這個邊界條件，那么上述積分實際上給出：31，自由標量場拉氏量從而可以寫出有效拉氏量為：顯然，作用量S對有效拉氏量和原始拉氏量是相同的，現(xiàn)寫為：這個表達是與“無窮遠邊界上場量為零”的邊界條件相契合的有效拉氏量表達。不同的邊界條件可以給出不同的有效拉氏量。41，自由標量場拉氏量在經(jīng)典情況下，場所滿足運動方程

2、是由原始拉氏量而非有效拉氏量給出的：這就是經(jīng)典標量場所滿足的Klein-Gordon方程。51，自由標量場生成泛函生成泛函WJ與作用量S,J的關(guān)系為：其中最外面的積分是對場的泛函積分，D為泛函積分的積分測度。對N維時空，上述積分測度可以寫為：其中n為時間切片數(shù)，為時間切片間隔，滿足：61，自由標量場生成泛函這里要說明一下，上面以及以后的表示中都省略了e指數(shù)的分母：完整的生成泛函應該是：當我們?nèi)O限 時，生成泛函實際上只有經(jīng)典場才有貢獻，因而可以認為經(jīng)典情況就是Planck常數(shù)為零的量子情況。71，自由標量場生成泛函對現(xiàn)在的自由實標量場，生成泛函可以寫為：需要注意的是，這里的標量場是泛函積分的積

3、分參量，因而并不需要滿足Klein-Gordon方程。滿足KG方程的是經(jīng)典場0。這點和分析力學中的虛運動差不多。歸一化的生成泛函：81，自由標量場生成泛函由歸一化的生成泛函ZJ我們可以看出，為了計算它我們需要做兩次泛函積分，這在實際計算中是很麻煩的事情。因而，如果能將WJ寫成如下形式，無疑將會使計算大大簡化：在這種情況下，作用量中的場源J與場量分離，因而顯然有：91，自由標量場生成泛函這種情況下，歸一化生成泛函就可以寫為：顯然，現(xiàn)在歸一化生成泛函已經(jīng)不含泛函積分，因而便于處理。101，自由標量場生成泛函現(xiàn)在考慮這么一種場量分解：其中，0是滿足KG方程的經(jīng)典場，而是在經(jīng)典場“附近”的擾動場。這種

4、分解下，泛函積分的積分測度不變（類似普通積分中加入常數(shù)項的情況），因而生成泛函可以寫為：111，自由標量場生成泛函由于經(jīng)典場滿足KG方程，從而可以進一步寫為：121，自由標量場生成泛函注意到這里的有效拉氏量最終是在作用量的積分中體現(xiàn)的，因而對于上式最后兩個表達式我們有如下積分關(guān)系：131，自由標量場生成泛函從而，從最后作用量中積分的角度來說，我們可以認為：從而對有效作用量的分解可以寫為：141，自由作用量生成泛函從而，現(xiàn)在的生成泛函可以寫為：因而，我們所期望的目標實現(xiàn)了：151，自由標量場生成泛函最后，我們來看一下這里的經(jīng)典場0，它滿足KG方程：先來看這么一個方程：對delta函數(shù)做Fouri

5、er展開，得：161，自由標量場生成泛函從而對G的方程可以得到解：我們引入Feynman傳播子：因而有：從而經(jīng)典場可以解出，為：171，自由標量場生成泛函最終，生成泛函可以寫為：可見，自由標量場的（歸一化的）生成泛函最終可以寫為一種很簡潔的形式。182，F(xiàn)eynman傳播子在上一小節(jié)，我們得出了Feynman傳播子為：但是，顯然這種寫法是有問題的，因為現(xiàn)在被積函數(shù)在實軸上有奇點，位于p2-m2=0處。為了解決這個問題，我們在分母中引入一個無窮小正虛量：從而，現(xiàn)在奇點從實軸上被移開了而并不破壞原始的積分。192，F(xiàn)eynman傳播子由于我們所考慮的時空是3+1維的平坦時空，度規(guī)可以寫為： ，從而

6、上述被積函數(shù)的分母可以寫為：其中 因而現(xiàn)在奇點位置為：202，F(xiàn)eynman傳播子在復平面上奇點位置圖示：212，F(xiàn)eynman傳播子現(xiàn)在來計算傳播子中的積分：因而，這里需要對x0-y0的結(jié)果進行分類討論。222，F(xiàn)eynman傳播子將p0從實軸上延拓到整個復平面中，從而可以將其寫為a+ib的形式，因而對p0的積分可以寫為：當 時，在無窮遠處b必須小于零積分才能收斂，因而對應到復平面的下半平面；當 時，在無窮遠處b必須大于零積分才能收斂，因而對應到復平面的上半平面；結(jié)合之前的奇點在復平面上的分布圖，我們可得積分結(jié)果。232，F(xiàn)eynman傳播子當 時，積分圍道為：242，F(xiàn)eynman傳播子可

7、見，此時積分圍道內(nèi)的奇點出現(xiàn)在 的位置由于下半平面無窮遠處的積分為0，因而整個圍道積分就等于對實軸的積分：由留數(shù)定理，并注意到現(xiàn)在的圍道是順時針的，因而最終4-動量0分量的積分部分為：252，F(xiàn)eynman傳播子當 時，積分圍道為：262，F(xiàn)eynman傳播子可見，此時積分圍道內(nèi)的奇點出現(xiàn)在 的位置由于上半平面無窮遠處的積分為0，因而整個圍道積分就等于對實軸的積分：由留數(shù)定理，并注意到現(xiàn)在的圍道是逆時針的，因而最終4-動量0分量的積分部分為：272，F(xiàn)eynman傳播子結(jié)合上述兩種情況，我們可以把積分最終寫為：從而傳播子的積分可以寫為：其中最后一步做了不改變積分結(jié)果的變量變換：282，F(xiàn)eyn

8、man傳播子考慮三維KG方程其解可以寫為：其有正交關(guān)系：292，F(xiàn)eynman傳播子從而，可以利用這個函數(shù)將傳播子改寫：302，F(xiàn)eynman傳播子從上式我們可以看出：負頻解函數(shù)對應到沿著時間逆流的傳播子；正頻解函數(shù)對應到沿著時間正流的傳播子。在現(xiàn)在所寫傳播子形式 下，拉氏量應該寫為：312，F(xiàn)eynman傳播子因果律對Feynman傳播子，之前給出了一個積分表示為：下面，我們就類時與類空時空間隔x-y來進行分類討論。322，F(xiàn)eynman傳播子因果律如果x與y是類時間隔，那么總能通過Lorentz轉(zhuǎn)動，使得x與y的空間部分相同，也即使得現(xiàn)在的時空坐標的時間軸平行于xy連線。此時傳播子為：其中

9、積分部分可以寫為：332，F(xiàn)eynman傳播子因果律這里的近似是由于e指數(shù)在A很大的時候其積分為零，從而可以對不小的區(qū)域積分貢獻近似為零，因而可以如此近似。從而可以由此得到傳播子。342，F(xiàn)eynman傳播子因果律如果x與y是類空間隔，那么總能通過Lorentz轉(zhuǎn)動，使得x與y的時間部分相同，也即使得現(xiàn)在的時空坐標的時間軸垂直于xy連線。此時傳播子為：352，F(xiàn)eynman傳播子因果律上面積分的最后一部分 可以下面所取的積分圍道來求值：362，F(xiàn)eynman傳播子因果律注意到被積函數(shù)中存在 項，其在圍道積分中是多值的，因而可以在im處沿向上虛軸設割線鏈接兩片Riemann葉，im就是支點。這樣

10、，圍道中沿虛軸兩側(cè)的積分并不相等。由于這里是平方根，因而兩側(cè)差相因子 。由于整個圍道積分等實軸上的積分加無窮遠邊界上的積分，再加沿虛軸兩側(cè)的積分，而無窮遠積分為零，故實軸積分加虛軸兩側(cè)積分等于圍道內(nèi)奇點留數(shù)總合等于零。再考慮虛軸兩側(cè)積分方向以及兩側(cè)的相位差，從而最后實軸積分就等于沿im以上虛軸積分的兩倍。372，F(xiàn)eynman傳播子因果律從而最后有結(jié)果：可見，它和類時情況的最大區(qū)別，就在e指數(shù)上。類時是一個正弦波，而類空則是e指數(shù)衰減。382，F(xiàn)eynman傳播子歐氏表示與非相對論性量子力學中的情況一樣，我們可以可以用歐氏空間表示來處理傳播子的問題：取 ，故時空度規(guī)為：4動量可以寫為 ，其中這

11、樣就有其中最后一項顯示歐氏表示下的動量與位矢的標量積是改變的。但是Fourier展開這種含動量全空間積分的函數(shù)中，我們可以通過變換 而不改變積分結(jié)果，從而在且僅在這種函數(shù)中歐氏表示的標量積結(jié)果不變。392，F(xiàn)eynman傳播子歐氏表示現(xiàn)在，F(xiàn)eynman傳播子可以在歐氏表示中進行重寫。為此，我們先做Wick轉(zhuǎn)動，將能量積分從實軸上轉(zhuǎn)到虛軸上，這樣在歐氏表示下就等于歐氏能量在實軸上的積分，從而現(xiàn)在Feynman傳播子可以寫為：顯然，這種表示下的Feynman傳播子的被積函數(shù)是沒有發(fā)散奇點的。403，高斯型積分在第一部分的最后，我們在生成泛函中得到一個高斯形積分：可以在積分中插入一個Delta函數(shù)

12、而不改變積分結(jié)果：413，高斯型積分將其歐氏化，就得到這種形式：這是一個典型的高斯型積分423，高斯型積分對矩陣的高斯積分為：其中X和B都是n維列向量，而A是nn矩陣。在前面的生成泛函中有：從而可以將生成泛函寫為：433，高斯型積分由于這里 ，因而可以將其寫為：這里D是傳播子構(gòu)成的矩陣。因而歐氏表示中的生成泛函可以寫為：443，高斯型積分將上述結(jié)果再對應會原本的閔科夫斯基時空，得：而這就是我們在之前所得到的結(jié)果可見，通過歐氏表示和高斯型積分，也能得到相同的生成泛函，這是得到生成泛函的另一種方法。454，相互作用場在泛函積分中，由于作用量是位于e指數(shù)上的，因而我們只有有限類型的作用量可以解析地解

13、出，比如高斯型積分。對于含相互作用勢的作用量，一般會使得作用量不是高斯型積分。這是，就需要使用“靜態(tài)相位法”或者也稱為“鞍點法”來將其化為高斯型積分。464，相互作用場靜態(tài)相位法在含有外勢V的情況下，標量場拉氏量可以寫為：和自由場一樣，可以在零邊界條件下給出積分相等的有效作用量：從而，經(jīng)典場滿足的運動方程為：474，相互作用場靜態(tài)相位法現(xiàn)在，系統(tǒng)的作用量可以寫為：它在經(jīng)典場處的泛函微分為：這里用到了如下關(guān)系：因而，可以對作用量做Taylor展開：484，相互作用場靜態(tài)相位法作用量到二階的Taylor展開：而作用量的二階泛函微分為：494，相互作用場靜態(tài)相位法因而，作用量到二階的Taylor展開為：從而，對生成泛函就有：顯然，現(xiàn)在這個生成泛函是高斯型積分。504，相互作用場靜態(tài)相位法通過Wick轉(zhuǎn)動，就可以在歐氏表示中利用之前的積分技巧給出生成泛函：514，相互作用場靜態(tài)相位法我們現(xiàn)在用加下標0的W來表示不含相互作用勢時的生成泛函：從而可以構(gòu)造不影響結(jié)果的新的生成泛函為：顯然這個新的生成泛函不影響歸一化生成泛函的結(jié)果。524，相互作用場靜態(tài)相位法在歐氏表示中，我們有 ，由于delta函數(shù)在歐氏表示與閔科夫斯基表示下的差異，現(xiàn)在我們有關(guān)系：從而新的生成泛函可以寫為：與普通的生成泛函形式相同，我們可以將新的生成泛函寫為：534，相互作用場靜態(tài)相位法對行列式求值部分，我們