工程力學第十章

1、第第1010章章 應力狀態(tài)應力狀態(tài) 強度理論強度理論 組合變形組合變形10.1 10.1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析10.3 10.3 強度理論強度理論10.4 10.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算小小 結(jié)結(jié)返回10.1 10.1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念下一頁 返回10.1.1 10.1.1 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)分析橫截面上的應力對解決強度問題是必要的，為了全面地分析橫截面上的應力對解決強度問題是必要的，為了全面地分析強度問題，僅僅分析橫截面上的應力還不夠，還必須對分析強度問題，僅僅分析橫截面上的應力還不夠，還必須對

2、各個不同方向的斜面上的應力進行分析。各個不同方向的斜面上的應力進行分析。 通過物體內(nèi)某一點不同截面上的應力情況，叫做該點的應力通過物體內(nèi)某一點不同截面上的應力情況，叫做該點的應力狀態(tài)。狀態(tài)。10.1 10.1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念下一頁上一頁返回10.1.2 10.1.2 單元體的概念單元體的概念為了研究受力構(gòu)件內(nèi)某一點的應力狀態(tài)，假想圍繞該點取出一個微小為了研究受力構(gòu)件內(nèi)某一點的應力狀態(tài)，假想圍繞該點取出一個微小的正六面體的正六面體單元體來進行分析。因為單元體的邊長是非常微小的，單元體來進行分析。因為單元體的邊長是非常微小的，所以，可以認為單元體各個面上的應力是均勻分布的，相對平行的

3、平所以，可以認為單元體各個面上的應力是均勻分布的，相對平行的平面上的應力大小相等、性質(zhì)相同。若令單元體的邊長趨于零，則單元面上的應力大小相等、性質(zhì)相同。若令單元體的邊長趨于零，則單元體各不同方向上的應力情況就代表了該點的應力狀態(tài)。體各不同方向上的應力情況就代表了該點的應力狀態(tài)。一般情況下，桿件橫截面上的應力是可以求得的，因此，在截取單元一般情況下，桿件橫截面上的應力是可以求得的，因此，在截取單元體時，常以橫截面為基礎(chǔ)，用一對橫截面和相互垂直的兩對縱截面，體時，常以橫截面為基礎(chǔ)，用一對橫截面和相互垂直的兩對縱截面，就可以從受力桿件中截取一個各側(cè)面上的應力均為已知的單元體。就可以從受力桿件中截取一

4、個各側(cè)面上的應力均為已知的單元體。這些單元體中各側(cè)面上的應力均可通過桿件的外載荷求得，故稱為原這些單元體中各側(cè)面上的應力均可通過桿件的外載荷求得，故稱為原始單元體。始單元體。10.1 10.1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念下一頁上一頁返回10.1.3 10.1.3 主平面、主應力主平面、主應力單元體中切應力等于零的平面稱為主平面。作用于主平面上的單元體中切應力等于零的平面稱為主平面。作用于主平面上的正應力稱為主應力。正應力稱為主應力。根據(jù)彈性理論可以證明，在受力物體內(nèi)的任一點處，總可以找根據(jù)彈性理論可以證明，在受力物體內(nèi)的任一點處，總可以找到具有三個互相垂直的主平面組成的單元體，稱為主單元體。

5、到具有三個互相垂直的主平面組成的單元體，稱為主單元體。相應的三個主應力，一個是最大，一個最小，通常用相應的三個主應力，一個是最大，一個最小，通常用11、22、33表示，并且規(guī)定按它們代數(shù)值的大小表示，并且規(guī)定按它們代數(shù)值的大小1 2 31 2 3順序順序排列。排列。 上一頁 返回10.1.4 10.1.4 應力狀態(tài)分類應力狀態(tài)分類一向應力狀態(tài)，一個主應力數(shù)值不等于零的應力狀態(tài)。一向應力狀態(tài)，一個主應力數(shù)值不等于零的應力狀態(tài)。二向應力狀態(tài)二向應力狀態(tài)( (平面平面) )：兩個主應力數(shù)值不等于零的應力狀態(tài)。：兩個主應力數(shù)值不等于零的應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)( (空間空間) )：三個主應力

6、數(shù)值都不等于零的應力狀態(tài)。：三個主應力數(shù)值都不等于零的應力狀態(tài)。一向一向( (單向單向) )應力狀態(tài)也稱簡單應力狀態(tài)，二向、三向應力狀態(tài)應力狀態(tài)也稱簡單應力狀態(tài)，二向、三向應力狀態(tài)也稱復雜應力狀態(tài)。也稱復雜應力狀態(tài)。10.1 10.1 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析 下一頁 返回工程上許多受力構(gòu)件的危險點都是處于平面應力狀態(tài)。例如，工程上許多受力構(gòu)件的危險點都是處于平面應力狀態(tài)。例如，圖圖10-3a10-3a所示的單元體，其上面的應力所示的單元體，其上面的應力xx、yy、xx、yy 分分布在同一個平面內(nèi)，故稱為平面應力狀態(tài)。布在同一個平面內(nèi)，故

7、稱為平面應力狀態(tài)。10.2.1 10.2.1 斜截面上的應力斜截面上的應力圖圖10-3a10-3a所示的單元體，設所示的單元體，設x x平面平面( (外法線沿外法線沿x x軸的平面軸的平面) )上的應上的應力力xx、xx和和y y平面上的應力平面上的應力yy、yy 均已知。由于垂直于均已知。由于垂直于z z軸的兩平面上沒有應力作用，即為主平面，該主平面上的主應軸的兩平面上沒有應力作用，即為主平面，該主平面上的主應力為零，因此，該單元體也可用力為零，因此，該單元體也可用圖圖10-3b10-3b的平面狀態(tài)表示。利的平面狀態(tài)表示。利用截面法可以求出與用截面法可以求出與x x軸正向軸正向角的任意斜截面

8、上的正應力角的任意斜截面上的正應力和切應力和切應力 下一頁上一頁返回式式(10.1)(10.1)和和(10.2)(10.2)中，正應力中，正應力xx、yy以拉應力為正，壓應以拉應力為正，壓應力為負；切應力力為負；切應力xx、yy以對單元體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)向以對單元體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)向的力矩時為正，反之為負；角度的力矩時為正，反之為負；角度以以x x軸逆時針轉(zhuǎn)到斜截面的軸逆時針轉(zhuǎn)到斜截面的外法線外法線n n時為正，反之為負。時為正，反之為負。2yx2sin2cos2xyx(10.1)(10.1) 2cos2sin2xyx(10.2)(10.2) 10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀

9、態(tài)分析10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析下一頁上一頁返回10.2.2 10.2.2 主應力的大小和方向主應力的大小和方向由式由式(10.1)(10.1)和和(10.2)(10.2)可知，斜截面上的正應力可知，斜截面上的正應力和剪應力和剪應力隨隨角的改變而改變，即角的改變而改變，即和和都是都是的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。對公式對公式(10.1)(10.1)求導，即可確定極值正應力所在平面的方位。求導，即可確定極值正應力所在平面的方位。令令 得得即即 0dddd02cos22sin)(xyx=02cos2sin2xyx(10.5)(10.5)10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應

10、力狀態(tài)分析下一頁上一頁返回將上式與式將上式與式(10.2)(10.2)相比較可知，在切應力相比較可知，在切應力=0=0的主平面上，的主平面上，正應力正應力取得極值，即極值正應力就是主應力。取得極值，即極值正應力就是主應力。如果用如果用0 0表示主平面的外法線與表示主平面的外法線與x x軸正向間的夾角，則由式軸正向間的夾角，則由式(10.5)(10.5)可得可得 (10.6)(10.6)式式(10.6)(10.6)可確定主平面的位置可確定主平面的位置0 0，因為，因為 tg20=tg(20+180)=tg2(0+90)yxxtg22010.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析下一頁上一

11、頁返回所以所以0 0和和0+900+90都滿足式都滿足式(10.6)(10.6)。這表明有兩個相互垂直。這表明有兩個相互垂直的主平面，其上面的主應力分別對應最大和最小極值正應力。的主平面，其上面的主應力分別對應最大和最小極值正應力。由式由式(10.6)(10.6)求出求出sin2sin20 0和和cos2cos20 0后入后入(10.1)(10.1)式中，得兩個式中，得兩個主平面上的最大和最小正應力為主平面上的最大和最小正應力為因為平面應力狀態(tài)可視為一個主應力為零的三向應力狀態(tài)，因為平面應力狀態(tài)可視為一個主應力為零的三向應力狀態(tài)，則可根據(jù)則可根據(jù)maxmax和和minmin代數(shù)值的大小，按代數(shù)

12、值的大小，按1 1 2 2 3 3順順序排列，定出三個主應力。序排列，定出三個主應力。22minmax)2(2xyxyx(10.7)(10.7) 10.2 10.2 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析上一頁 返回10.2.3 10.2.3 最大切應力最大切應力理論分析證明，在復雜應力狀態(tài)下，最大切應力與主應力之間存理論分析證明，在復雜應力狀態(tài)下，最大切應力與主應力之間存在如下數(shù)量關(guān)系：在如下數(shù)量關(guān)系：最大切應力最大切應力maxmax的作用面與最大主應力的作用面與最大主應力1 1和最小主應力和最小主應力3 3的的所在平面的夾角均成所在平面的夾角均成4545，與主應力，與主應力2 2垂直，如垂直，如

13、圖圖10-510-5所示。所示。231max(10.8)(10.8) 10.3 10.3 強強 度度 理理 論論下一頁 返回10.3.1 10.3.1 強度理論的概念強度理論的概念無論是單向應力狀態(tài)還是復雜應力狀態(tài)，材料按某種方式的無論是單向應力狀態(tài)還是復雜應力狀態(tài)，材料按某種方式的失效失效( (如斷裂或屈服如斷裂或屈服) )都是由某一特定的因素都是由某一特定的因素( (如應力、應變或如應力、應變或變形能等變形能等) )引起的，只要導致材料失效的這一因素達到極限值，引起的，只要導致材料失效的這一因素達到極限值，構(gòu)件就會破壞。這樣就可以根據(jù)簡單應力狀態(tài)的實驗結(jié)果來構(gòu)件就會破壞。這樣就可以根據(jù)簡單

14、應力狀態(tài)的實驗結(jié)果來建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。關(guān)于引起材料失效的決定性建立復雜應力狀態(tài)的強度條件。關(guān)于引起材料失效的決定性因素的各種假說，稱為強度理論。因素的各種假說，稱為強度理論。在強度理論的指導下，對復雜應力狀態(tài)進行強度計算時，可在強度理論的指導下，對復雜應力狀態(tài)進行強度計算時，可把它的三個主應力把它的三個主應力1 1、2 2、3 3，“折算折算”成一個與它們相成一個與它們相當?shù)膯蜗驊顟B(tài)的主應力當?shù)膯蜗驊顟B(tài)的主應力rr，rr就稱為所研究的復雜應就稱為所研究的復雜應力狀態(tài)的相當應力。力狀態(tài)的相當應力。 10.3 10.3 強強 度度 理理 論論下一頁上一頁返回不同的強度理論因為假設

15、材料破壞的原因不同，所以就有不同不同的強度理論因為假設材料破壞的原因不同，所以就有不同的的“折算折算”方法。經(jīng)過方法。經(jīng)過“折算折算”后，就可以用相當應力后，就可以用相當應力rr與材與材料在單向應力狀態(tài)下的許用應力料在單向應力狀態(tài)下的許用應力 相比較，建立起復雜應力相比較，建立起復雜應力狀態(tài)下的強度條件狀態(tài)下的強度條件 rr (10.9) (10.9)式式(10.9)(10.9)中的許用應力中的許用應力 ，對于脆性材料：，對于脆性材料： ， 對于塑性材料：對于塑性材料： 。 nbns10.3 10.3 強強 度度 理理 論論下一頁上一頁返回10.3.2 10.3.2 常用的四種強度理論常用的四

16、種強度理論由于材料的破壞按其物理實質(zhì)可分為脆斷和屈服兩類，因而由于材料的破壞按其物理實質(zhì)可分為脆斷和屈服兩類，因而強度理論也相應分為兩類，第一類強度理論以脆斷作為破壞強度理論也相應分為兩類，第一類強度理論以脆斷作為破壞標志的，包括最大的拉應力理論和最大拉應變理論；第二類標志的，包括最大的拉應力理論和最大拉應變理論；第二類強度理論以屈服作為破壞標志的，包括最大切應力理論和形強度理論以屈服作為破壞標志的，包括最大切應力理論和形狀改變比能理論。狀改變比能理論。1. 1. 最大拉應力理論最大拉應力理論( (第一強度理論第一強度理論) )這一理論認為：引起材料的脆性斷裂的主要因素是最大拉應這一理論認為：

17、引起材料的脆性斷裂的主要因素是最大拉應力。力。 10.3 10.3 強強 度度 理理 論論下一頁上一頁返回 2. 2. 最大拉應變理論最大拉應變理論( (第二強度理論第二強度理論) )這一理論認為：引起材料的脆性斷裂的主要因素是最大拉應變。這一理論認為：引起材料的脆性斷裂的主要因素是最大拉應變。3. 3. 最大切應力理論最大切應力理論( (第三強度理論第三強度理論) )這一理論認為：引起材料的塑性屈服的主要因素是最大切應力。這一理論認為：引起材料的塑性屈服的主要因素是最大切應力。4.4.形狀改變比能理論形狀改變比能理論( (第四強度理論第四強度理論) )這個理論又稱為畸變能理論，它認為材料在各

18、種復雜應力作用下，引這個理論又稱為畸變能理論，它認為材料在各種復雜應力作用下，引起塑性屈服的主要原因是形狀改變比能達到其單向拉伸時的極限值。起塑性屈服的主要原因是形狀改變比能達到其單向拉伸時的極限值。10.3 10.3 強強 度度 理理 論論下一頁上一頁返回 10.3.3 10.3.3 四種強度理論的適用范圍四種強度理論的適用范圍材料的失效是一個極其復雜的問題，四種常用的強度理論都材料的失效是一個極其復雜的問題，四種常用的強度理論都有它符合實際的一方面，又有它不符合實際的片面的一方面。有它符合實際的一方面，又有它不符合實際的片面的一方面。大量的工程實踐和試驗結(jié)果表明，上述四種強度理論的適用大量

19、的工程實踐和試驗結(jié)果表明，上述四種強度理論的適用范圍與材料的類別和應力狀態(tài)等有關(guān)：范圍與材料的類別和應力狀態(tài)等有關(guān)：(1) (1) 脆性材料通常以斷裂形式失效，宜采用第一或第二強度脆性材料通常以斷裂形式失效，宜采用第一或第二強度理論。理論。(2) (2) 塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四強度塑性材料通常以屈服形式失效，宜采用第三或第四強度理論。理論。上一頁 返回(3) (3) 在三向拉應力狀態(tài)下，如果三個拉應力相近，無論是塑在三向拉應力狀態(tài)下，如果三個拉應力相近，無論是塑性材料或脆性材料都將以斷裂形式失效，宜采用第一強度理性材料或脆性材料都將以斷裂形式失效，宜采用第一強度理論論最大

20、拉應力理論。最大拉應力理論。(4) (4) 在三向壓縮應力狀態(tài)下，如果三個壓應力相近，無論是在三向壓縮應力狀態(tài)下，如果三個壓應力相近，無論是塑性材料或脆性材料都可引起塑性變形，宜采用第三或第四塑性材料或脆性材料都可引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論。強度理論。10.3 10.3 強強 度度 理理 論論10.4 10.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算下一頁 返回工程上大多數(shù)桿件在外力作用下，產(chǎn)生較為復雜的變形，但工程上大多數(shù)桿件在外力作用下，產(chǎn)生較為復雜的變形，但經(jīng)分析可知，這些變形均可看成是兩種或兩種以上的基本變經(jīng)分析可知，這些變形均可看成是兩種或兩種以上的基本變形組合，這種變形稱

21、為組合變形。形組合，這種變形稱為組合變形。10.4.1 10.4.1 彎曲與拉伸彎曲與拉伸( (壓縮壓縮) )組合變形的強組合變形的強度計算度計算當構(gòu)件發(fā)生的彎曲拉伸當構(gòu)件發(fā)生的彎曲拉伸( (壓縮壓縮) )組合變形時，對于抗壓強度等組合變形時，對于抗壓強度等于抗拉強度的塑性材料，為使桿件具有足夠的強度，只需按于抗拉強度的塑性材料，為使桿件具有足夠的強度，只需按截面上的最大應力進行強度計算，其強度條件為截面上的最大應力進行強度計算，其強度條件為WzMAFNmaxmax (10.14)(10.14)下一頁上一頁返回10.4.2 10.4.2 彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算

22、機械中的轉(zhuǎn)軸，通常是在彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形下工作。現(xiàn)以機械中的轉(zhuǎn)軸，通常是在彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形下工作。現(xiàn)以圖圖10-9a10-9a所示的圓軸所示的圓軸ABAB為例，來具體說明彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形為例，來具體說明彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強度計算方法。該軸的左端固定，在右端帶輪的邊緣上受的強度計算方法。該軸的左端固定，在右端帶輪的邊緣上受一垂直向下的力一垂直向下的力F F作用，帶輪半徑為作用，帶輪半徑為R R。首先分析力首先分析力F F對軸對軸ABAB的作用。將力的作用。將力F F向圓軸的向圓軸的B B截面形心簡化，截面形心簡化，得到一個力和一個力偶矩得到一個力和一個力偶矩M Me e，如，如圖圖10-9

23、b10-9b。其值分別為。其值分別為 F F = =F F M Me=e=FRFR 力力F F 使軸在使軸在xAyxAy平面內(nèi)發(fā)生彎曲，力偶平面內(nèi)發(fā)生彎曲，力偶MeMe使軸扭轉(zhuǎn)，故軸上使軸扭轉(zhuǎn)，故軸上產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形。10.4 10.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算10.4 10.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算下一頁上一頁返回根據(jù)軸根據(jù)軸ABAB的受力情況，畫出的受力情況，畫出ABAB軸的扭矩圖和彎矩圖如軸的扭矩圖和彎矩圖如圖圖10-10-9c,d9c,d所示。由圖可知，固定端截面所示。由圖可知，固定端截面A A為危險截面，其上的彎矩為危險截面，

24、其上的彎矩和扭矩值分別為和扭矩值分別為 M M= = F F l l T T= = M Me=e=FRFR由于在危險截面上同時作用彎矩和扭矩，故該截面上必同時由于在危險截面上同時作用彎矩和扭矩，故該截面上必同時存在彎曲正應力和扭轉(zhuǎn)切應力，其分布情況如存在彎曲正應力和扭轉(zhuǎn)切應力，其分布情況如圖圖10-9e10-9e所示。所示。由應力分布圖可見，由應力分布圖可見，C C、D D兩點的正應力和切應力均達到了最兩點的正應力和切應力均達到了最大值，因此，大值，因此，C C、D D兩點為危險點，該兩點的彎曲正應力和扭兩點為危險點，該兩點的彎曲正應力和扭轉(zhuǎn)切應力分別為轉(zhuǎn)切應力分別為zWMPWT10.4 10

25、.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算下一頁上一頁返回取取C C、D D兩點的單元體如兩點的單元體如圖圖10-9f10-9f、g g所示，它們均屬于平面應所示，它們均屬于平面應力狀態(tài)，故需按強度理論來建立強度條件。力狀態(tài)，故需按強度理論來建立強度條件。對于在彎曲和扭轉(zhuǎn)作用下的轉(zhuǎn)軸，一般用塑性材料制成，由對于在彎曲和扭轉(zhuǎn)作用下的轉(zhuǎn)軸，一般用塑性材料制成，由于其抗拉、抗壓強度相同，因此，于其抗拉、抗壓強度相同，因此，C C、D D兩點的危險程度是相兩點的危險程度是相同的?，F(xiàn)取同的?，F(xiàn)取C C點為例，采用第三強度理論和第四強度理論進行點為例，采用第三強度理論和第四強度理論進行強度計算。強度計算。

26、由前述知，單元體由前述知，單元體C C的第三、第四強度理論的相當應力分別為的第三、第四強度理論的相當應力分別為2234r2243r10.4 10.4 組合變形的強度計算組合變形的強度計算上一頁 返回將將 、 代入上面兩式，并注意到代入上面兩式，并注意到W WP=2P=2W WZ Z， 即得到按第三和第四強度理論建立的強度條件為即得到按第三和第四強度理論建立的強度條件為zWMPWTWzTMr223 WzTMr22475. 0 (10.15)(10.15)(10.16)(10.16) 下一頁 返回(1) (1) 一點和的應力狀態(tài)是指受力構(gòu)件內(nèi)某點處在各個不同方位一點和的應力狀態(tài)是指受力構(gòu)件內(nèi)某點處

27、在各個不同方位截面上的應力情況。一點處的應力狀態(tài)可采用單元體來表示。截面上的應力情況。一點處的應力狀態(tài)可采用單元體來表示。(2) (2) 單元體上切應力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應單元體上切應力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應力稱為主應力。過受力構(gòu)件的某點，總可以找到一個主單元體，力稱為主應力。過受力構(gòu)件的某點，總可以找到一個主單元體，其上作用著三個主應力其上作用著三個主應力1 1 2 2 3 3 。它是解釋材料失效。它是解釋材料失效和建立強度理論的基礎(chǔ)。和建立強度理論的基礎(chǔ)。(3) (3) 平面應力狀態(tài)下的主要公式。平面應力狀態(tài)下的主要公式。任意斜截面上的應力計算公式：任意斜截面上的應力計算公式：小小 結(jié)結(jié)2yx2sin2cos2xyx下一頁上一頁返回主應力計算公式主應力計算公式按按1 1 2 2 3 3定出三個主應力。定出三個主應力。主平面的方位角：主平面的方位角：最大切應力計算公式：最大切應力計算公式： 小小 結(jié)結(jié)2cos2sin2xyx22minmax)2(2xyxyxyxxtg220231max下一頁上一頁返回(4) (4) 強度理論是關(guān)于材料失效原因的假說。它利用單向拉伸的實強度理論是關(guān)于材料失效原因的假說。它利用單向拉伸的實驗結(jié)果來建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件：驗結(jié)果來建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件：rr 四個強度理論的相當應力分別為四