空間問題與板殼單元

1、 在用有限元法求解軸對稱問題時，采用的單元一般為整圓環(huán)，如圖所示。它們和子午面rz面相交的截面，可以是直邊三角形或矩形，也可以是任意四邊形、曲邊三角形、曲邊四邊形等。各個單元之間以圓環(huán)形的鉸相互連接，而每一個鉸與子午面rz面的交點就稱為節(jié)點。如圖上的i、j、m等。所有單元將在子午面rz面上形成有限元網(wǎng)格，與在平面問題中形成的網(wǎng)格一樣。因為在軸對稱問題中采用的單元是一個整圓環(huán)，所以在計算單元的體積時要注意到這一點。下面以三角形截面單元為例，說明如何求解軸對稱問題。 如圖所示子午面rz面上的一個三角形單元，設(shè)單元上任一點的徑向位移（沿r向位移）分量為 ，軸向位移（沿z向位移）為量為 。由于這兩個位

2、移分量僅是r和z的函數(shù)，故令uw123456urzwrz 與平面問題一樣，可將位移用形函數(shù)及節(jié)點位移表示為iijjmmiijjmmuN uN uN uwN wN wN w即eeeeijmu= NNNv uNIII式中： 二階單位矩陣； 、 、 形函數(shù)矩陣，如下IiNjNmN 1()2iiiiNabrc z （i、j、m 輪換）1211iijjmmrzrzrz jjimmrzarz11jimzbz 11jimrcr式中： 由彈性力學(xué)知，軸對稱問題中除平面內(nèi)的應(yīng)變分量 外，還有環(huán)向應(yīng)變 。rzzr、 、因此其幾何方程為rezrzururwzwurz 將位移代入上式，得eeeeeeeijmBBBB

3、引入iiiiabrc zhr則00001020iiiieiiiiiiiNrbNhrcNzcbNNzrB 應(yīng)變矩陣 中的元素不全是常量，因此單元內(nèi)的應(yīng)變也不是常量，這是因為軸對稱問題中采用的單元是圓環(huán)，徑向的位移 必引起環(huán)向應(yīng)變 ，而此應(yīng)變的大小與點的位置有關(guān)。另外，由于 中含有 項，使單元的應(yīng)變、應(yīng)力及單元剛度矩陣的計算比平面問題復(fù)雜得多。1 reBueB根據(jù)彈性力學(xué)可知 ，對于軸對稱問題，有ee D Terzrz 1011101111+1 210111 20002 1ED = 根據(jù)虛功原理或用最小位能原理，可以和平面問題一樣推得其單元剛度矩陣的表達式為 ，在軸對稱問題中，由于單元是一圓環(huán)，上

4、述積分式中的微分體積 可取為微分圓環(huán)的體積，即 ，故單元剛度矩陣為eeeTdVKBDBdV2dVrdrdz2eeTerdrdzKBDB 與平面問題一樣，單元剛度矩陣 是一個 階的方陣，矩陣 可分成三塊，故 也可分成 個子矩陣，每個子矩陣為 階的方陣，其表達式為3 32 2eBeK2eeTeststrdrdzKBDB( , ,)s ti j m 因為矩陣 與坐標有關(guān)，且坐標r處于分母上，因此積分不像平面問題中那么簡單，常采用三種辦法進行計算：1、顯式積分；2、數(shù)值積分；3、簡單的近似積分。一般采用第3種簡單的積分，它不僅在程序上簡單，而且還回避了節(jié)點在極軸上時帶來的奇異問題。實踐證明，在精度方面

5、它并不比精確的積分公式法差。 具體做法是取節(jié)點坐標平均值，即單元中心坐標eB33ijmijmrrrrzzzz并取iiiiabrc zhr在式剛度矩陣中以 代替 ，以 代替 可得ihihrir00102iieiiiibhccbB 這樣就使得單元剛度矩陣中的被積函數(shù)化為常數(shù)，然后積分即可求得 ，具體表達式這里不再給出。estK 與平面問題一樣，無論使用虛功原理或最小位能原理可以得到相同的載荷移置公式，其形式與平面問題相似。 1. 集中載荷 軸對稱問題中的集中載荷實質(zhì)上是沿著圓周線作用，均勻分布的一圈力。在子午面單元上任一點 處作用集中力 ，其中 、 為單位弧長上分布力的合力，其對應(yīng)的等效節(jié)點載荷為

6、,CCrzTcrczcFFF =rcPrzP2eeTcccrFNF 2. 面力 設(shè)單元的分布面力為 ，則其對應(yīng)的等效節(jié)點載荷為Trzqqq =2eeTqSrdSFNq 3. 體積力 設(shè)單元是分布體力為 ，其中 、 為單位體積的體力分量，其對應(yīng)的等效節(jié)點載荷為TrzGGG =rGzG2eeTGArdrdzFN G 例如，在體力為自重的情況下，有 、 其中 為容重，于是有0rG zG 0000200020000202026TijmeGijmATijmATijmjmimijNNNrdrdzNNN-NNNrdrdzArrrrrrrrr F 1. 位移模式 如圖所示的四面體單元，單元節(jié)點的編碼為i，j，

7、m，n。每個節(jié)點具有三個位移分量，單元節(jié)點的位移列陣可表示為iTjeiiijjjmmmnnnmnuvwuvwuvwuvw 單元的位移模式采用線性多項式的形式，如下123456789101112uxyzvxyzwxyz 將單元上四個節(jié)點坐標代入上式，求解相應(yīng)參數(shù)，則單元內(nèi)任一點的位移可用節(jié)點位移和形函數(shù)表示，如下iijjmmnniijjmmnniijjmmnnuN uN uN uN uvN vN vN vN vwN wN wN wN w用矩陣表示為000000000000000000000000iijmnjeijmnmijmnneeijmnuNNNNvNNNNwNNNNNNNN uIIIIN 式

8、中：I I三階單位陣； 、 、 、 四面體單元的形函數(shù)，如下iNjNmNnN1()61()61()61()6iiiiijjjjjmmmmmnnnnnNab xc yd zVNab xc yd zVNab xc yd zVNab xc yd zVjjjimmmnnnxyzaxyzxyz111jjimmnnyzbyzyz111jjimmnnxzcxzxz111jjimmnnxydxyxy1111iiijjjmmmnnnxyzxyzVxyzxyz式中：（i、j、m、n輪換） 式中：V四面體的體積。 2. 單元應(yīng)變 根據(jù)幾何方程，得eeeeijmnBBBBB 00000016000iiiiiiiiii

9、bcdVcbdcdbB（i、j、m、n輪換） 由于單元中的應(yīng)變是常量，所以四面體單元是常應(yīng)變單元。3. 單元應(yīng)力由物理方程得單元的應(yīng)力為eeeeeijmnDDBSSSSS式中： 空間問題的彈性矩陣，如下D10001110001110001111 211 2000002 11 2000002 11 2000002 1ED =式中： 四面體單元的應(yīng)力矩陣，表示為S11111132222220600iiiiiiiiiiiiiiiibAcAdAbcAdAbAcdAA cA bVA dA cA dA bS （i、j、m、n輪換）式中： ， ， 。 11A21 22(1)A3(1)(1)(1 2 )EA

10、由于單元中的應(yīng)力是常量，所以四面體單元是常應(yīng)力單元。 4. 單元剛度矩陣 由虛功原理，按照平面問題的類似推導(dǎo)，可得空間問題的單元剛度矩陣為eeTeeTedxdydzVK =BDB= BDB單元剛度矩陣可表示為分塊形式，如下iiijiminjijjjmjnemimjmmmnninjnmnnKKKKKKKKK =KKKKKKKK式中任一子塊由下式計算147258369(1)36 (1+ )(12 )eTeststKKKEV =KKKVKKKK= BDB, ,s ti j m n122123124125261271281292()()()rsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsr

11、srsrsrsrsrsKb bA c cd dKAc bA b cKAd bA b dKAb cA c bKc cA d db bKAd cA c dKAb dA d dKAc dA d cKd dA b bc c式中：5. 等效節(jié)點載荷（1）集中載荷若集中載荷為 ，則等效節(jié)點載荷可表示為TccxcyczFFFFeeTccFNFeeTqdAFNq（3）體力若分布體力為 ，則等效節(jié)點載荷可表示為TxyzGGGG =eeTGdxdydzFNG（2）面力 對于單元的某一邊界上的分布面力 ，則等效節(jié)點載荷可表示為qTxyzqqq 單 元 自 重 的 等 效 節(jié) 點 載 荷 可 由 上 式 計 算 ，

12、因為 ，所以等效節(jié)點載荷表示為0,xyzGGG 11110 00 00 00 0444411110 00 00 00 04444eeTGTTdxdydzVVVVVWWWWFNG 由上式可知，單元等效節(jié)點力可看作將單元自重W均勻移置到每個節(jié)點上。 1. 四面體單元 由上節(jié)可知，常應(yīng)變四面體單元中的各點應(yīng)力為常量，然而實際工程結(jié)構(gòu)中的各點應(yīng)力是隨著坐標變化的，為了反映真實情況，可以假定高次位移模式，相應(yīng)的單元稱為高階單元。例如，在四節(jié)點四面體單元的基礎(chǔ)上增加節(jié)點數(shù)，形成四面體單元族，如圖所示。圖中的4節(jié)點、10節(jié)點和20節(jié)點四面體單元，與左側(cè)的四面體比較，可以看出節(jié)點的數(shù)目與多項式的項數(shù)完全一致，

13、因此相應(yīng)的位移模式可取為一次、二次和三次完全多項式。不難驗證10節(jié)點二次四面體單元的應(yīng)力、應(yīng)變隨著坐標線性變化，20節(jié)點三次四面體的應(yīng)力、應(yīng)變是坐標的二次函數(shù)，對于彈性力學(xué)問題其計算精度大大高于4節(jié)點常應(yīng)變四面體單元。高次四面體單元 2. 六面體單元 在空間問題中經(jīng)常使用六面體單元，常見的六面體單元有8節(jié)點、20 節(jié)點和32節(jié)點的立方體單元，如圖5.5所示。8節(jié)點六面體單元精度明顯高于同樣節(jié)點數(shù)的四面體單元，20節(jié)點的六面體單元精度更高一些，但六面體形狀難以適應(yīng)工程結(jié)構(gòu)的復(fù)雜外形，實際中使用不多。 空間六面體單元 板殼結(jié)構(gòu)是工程結(jié)構(gòu)中常見的一種結(jié)構(gòu)，如圖所示，中面為平面的稱為板，中面為曲面的稱

14、為殼。本節(jié)以四節(jié)點矩形彎曲薄板單元為例，說明板殼單元的基本理論。板殼結(jié)構(gòu)( , )ww x ywuzx wvzy 1.應(yīng)變在板的小撓度理論中，板單元的的位移表示為 板單元的應(yīng)變表示為222222xeyxywuxxvwzzyyuvwyxx y 式中：222222Twwwxyx y 2.應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系10110002(1)xxyyxyxyE 則應(yīng)力為xyxyzDD式中： 彈性矩陣。D3.內(nèi)力分量由彈性理論得22222312xhhhhyxyfMMz dzzdzMhMDDD式中： 薄板彎曲問題的彈性矩陣，如下fD32101012(1)(1)002fEhD 則薄板應(yīng)力可由內(nèi)力表示，如下312zhM 四

15、節(jié)點矩形薄板單元如圖所示，節(jié)點位移為iiixiiyiiwwwywx （i、j、m、n輪換） 矩形薄板有4個節(jié)點，整個單元的位移列陣為TeTTTTijmn矩形薄板單元的位移模式可取為22312345672233389101112waa xa ya xa xya ya xa x ya xya ya x ya xyeew N 將薄板單元的坐標和節(jié)點位移代入上式，求解得到 ，并代回上式，則上式表示為112aa式中：ijmnNNNNN式中：iixiyiNNNN式中：222211(1)(2)811(1)(1)811(1)(1)8iiiiixiiiiyiiiiNNbNa （i、j、m、n輪換）式中：,iii

16、ixyxyaabb將位移代入應(yīng)變表達式，可得到單元應(yīng)變eeeeijmnBBBBB 式中：22222222222211122iieiiiiiaxzzybabx y NNNNBNN （i、j、m、n輪換）化簡后得到單元應(yīng)變矩陣，如下22223(1)01 3(1)3(1)1(1 3)04(334)(321)(321)iiiiieiiiiiiiiiiiibbazaaabbbaB則單元應(yīng)力可由物理方程求得，如下eeee= DDS 單元剛度矩陣用分塊形式表示為 將應(yīng)變矩陣 、彈性矩陣 代入單元剛度一般表達式 中，得單元剛度矩陣為eBDeeTedVKB DB112112heeTehabd d dz KBDB

17、iiijiminjijjjmjnemimjmmmnninjnmnnKKKKKKKKKKKKKKKKK111213212223313233staaaaaaaaaK, ,s ti j m n式中子矩陣為33的矩陣，如下式中：222200001122222200122222001322220212231514455323515532351553235155iijiijjjbbbaaHaaabaaaHbbbbbaHaaaaaaHbbb 02200002222322003122322200003322(1)(35)5(3)(3)15()()323515515()()2(1)(35)5(3)(3)iijijjjiijijaaHbbaH abbbaHaaaaH abbaHaa 式中：30026012(1)ijijDEhHDab 至于單元節(jié)點等效載荷的求法以及總體剛陣的組裝均與平面問題是類似的，這里不再給出。把四節(jié)點矩形平面應(yīng)力單元和該節(jié)討論的四節(jié)點矩形彎曲薄板單元結(jié)合起來，可以構(gòu)造同時考慮中面的伸展和板彎曲的四節(jié)點矩形板單元，進而分析殼體單元。 如圖（a）表示一個邊長為1m的正方形薄板，四邊固支，中心受垂直板面的