2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷 新高考Ⅰ卷（含解析）

1、2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 新高考卷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合，則( )A.B.C.D.2.若，則( )A.-2B.-1C.1D.23.在中，點D在邊AB上，記，則( )A.B.C.D.4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔157.5 m時，相應(yīng)水面的面積為.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為( )A.B.C.D.

2、5.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為( )A.B.C.D.6.記函數(shù)的最小正周期為T.若，且的圖像關(guān)于點中心對稱，則( )A.1B.C.D.37.設(shè)，則( )A.B.C.D.8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為36，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是( )A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知正方體，則( )A.直線與所成的角為90°B.直線與所成的角為90°C.直線與平面所成的角為45&

3、#176;D.直線與平面ABCD所成的角為45°10.已知函數(shù)，則( )A.有兩個極值點B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線11.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則( )A.C的準(zhǔn)線為B.直線AB與C相切C.D.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記.若，均為偶函數(shù)，則( )A.B.C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.的展開式中的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.14.寫出與圓和都相切的一條直線的方程_.15.若曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是_.16.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，離心率為.過且

4、垂直于的直線與C交于D，E兩點，則的周長是_.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）記為數(shù)列的前n項和，已知，是公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）證明：.18.（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求B；（2）求的最小值.19.（12分）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點，平面平面，求二面角的正弦值.20.（12分）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病

5、例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.（）證明：；（）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（）的結(jié)果給出R的估計值.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821.（12分）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率

6、之和為0.（1）求l的斜率；（2）若，求的面積.22.（12分）已知函數(shù)和有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.參考答案1.答案：D解析：通解（直接法）因為，所以；因為，所以.所以，故選D.光速解（特取法）觀察選項進行特取，取，則，所以，排除A，B；取，則，所以，排除C.故選D.2.答案：D解析：因為，所以，所以，所以.故選D.3.答案：B解析：通解：因為，所以，所以.故選B.光速解（作圖法）：如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量，由圖易知（即向量m）的系數(shù)為負數(shù)，排除A,C,D，故選B.4.答案：C解析：如圖

7、，由已知得該棱臺的高為（m），所以該棱臺的體積.故選C.5.答案：D解析：從7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有（種）取法，取得的2個數(shù)互質(zhì)的情況有2,3，2,5，2,7，3,4，3,5，3,7，3,8，4,5，4,7，5,6，5,7，5,8，6,7，7,8，共14種，根據(jù)古典概型的概率公式，得這2個數(shù)互質(zhì)的概率為.故選D.6.答案：A解析：因為，所以，解得.因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，且，即，所以，又，所以，所以，解得，所以，所以.故選A.7.答案：C解析：設(shè)，則當(dāng)時，.設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，所以在

8、上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即.綜上，故選C.8.答案：C解析：通解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.光速解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A,B,D，故選C.優(yōu)美解：如圖，設(shè)

9、該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為，依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長，高.在中，作，垂足為E，則可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四校維的體積，設(shè)，易得，則，則，令，得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，所以.所以該正四棱維的體積的取值范圍是，故選C.9.答案：ABD解析：如圖，連接，在正方形中，因為，所以，所以直線與所成的角為90°.故A正確.在正方體中，平面，又平面，所以，連接，則，因為，平面，所以平面，又平面，所以，所以直線與所成的角為90°.故B

10、正確.連接，交于點O，則易得平面，連接OB，因為平面，所以，為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為a，則易得，所以在中，所以.故C錯誤.因為平面ABCD，所以為直線與平面ABCD所成的角，易得，故D正確.故選ABD.10.答案：AC解析：因為，所以，令，得.由得或；由得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個極值點，故A正確.因為的極小值，所以函數(shù)在R上有且只有一個零點，故B錯誤.因為函數(shù)的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱且，所以點是曲線的對稱中心，故C正確.假設(shè)直線是曲線的切線，切點為，則，解得.若，則切點坐標(biāo)為，但點不在直線上，若，則切點坐標(biāo)為，但點不

11、在直線上，所以假設(shè)不成立，故D錯誤.故選AC.11.答案：BCD解析：如圖，因為拋物線C過點，所以，解得，所以C：的準(zhǔn)線為，所以A錯誤；因為，所以，所以，所以C在點A處的切線方程為，即，又點在直線上，所以直線AB與C相切，所以B正確；設(shè)，直線PQ的方程為，由得，所以，且，得或，所以，所以C正確；，所以D正確.故選BCD.12.答案：BC解析：通解（轉(zhuǎn)化法）因為為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，所以C正確；因為為偶函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以的周期，因為，所以，即，所以D不正確；因為，即，所以，所以，所以，所以B正確；不妨取，經(jīng)驗證滿足題

12、意，但，所以選項A不正確.綜上，選BC.光速解（特例法）因為，均為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.取符合題意的一個函數(shù)，則，排除A；取符合題意的一個函數(shù)，則，即，所以，所以，排除D.故選BC.13.答案：-28解析：展開式的通項，.令，得，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.14.答案：或或.（填一條即可）解析：通解：如圖，因為圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，所以，所以兩圓外切，公切線有三種情況：易知公切線的方程為.另一條公切線與公切線關(guān)于過兩圓圓心的直線l對稱.易知過兩圓圓心的直線l的方程為，由，得，由對稱性可知公切線過點，設(shè)公切線的方程為，則點到的距離為1

13、，所以，解得，所以公切線的方程為，即.還有一條公切線與直線l：垂直，設(shè)公切線的方程為，易知，則點到的距離為1，所以，解得或（舍去），所以公切線的方程為，即.綜上，所求直線方程為或或.光速解：根據(jù)題意，精確作出兩圓（需用到尺規(guī)），由圖形可直觀快速看出直線是兩圓的一條公切線，經(jīng)驗證符合題意，故可填.15.答案：解析：因為，所以.設(shè)切點為，O為坐標(biāo)原點，依題意得，切線斜率，化簡，得.因為曲線有兩條過坐標(biāo)原點的切線，所以關(guān)于的方程有兩個不同的根，所以，解得或，所以a的取值范圍是.16.答案：13解析：如圖，連接，因為C的離心率為，所以，所以，所以.因為，所以為等邊三角形，又，所以直線DE為線段的垂直平

14、分線，所以，且，所以直線DE的方程為，代入橢圓C的方程，得.設(shè)，則，則，所以，解得，所以，所以的周長為.17.答案：（1），（2）見解析解析：（1）解法一因為，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以.因為當(dāng)時，所以，所以，整理得，所以，所以，又也滿足上式，所以，則，所以，又也滿足上式，所以.解法二因為，所以，又是公差為的等差數(shù)列，所以，所以.因為當(dāng)時，所以，所以，所以，所以，又也滿足上式，所以.（2）因為，所以，所以.18.答案：（1）（2）解析：（1）因為，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以.（2）由（1）得，所以，且，所以，所以，解得，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.19.

15、答案：（1）（2）解析：（1）設(shè)點A到平面的距離為h，因為直三棱柱的體積為4，所以，又的面積為，所以，即點A到平面的距離為.（2）取的中點E，連接AE，則，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，又平面ABC，所以，因為，所以平面，所以.以B為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，所以，因為的面積為，所以，所以，所以，則，設(shè)平面ABD的法向量為，則即令，得，又平面BDC的一個法向量為，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為.20.答案：（1）有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異（2）（）見解析（）6解析：（1），所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）（），由題意知，證明即可，左邊，右邊.左邊=右邊，故.（）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，且，所以.21.答案：（1）-1（2）解析：解：（1）將點A的坐標(biāo)代入雙曲線方程得，化簡得，得，故雙曲線C的方程為.由題易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程并整理得，故，.，化簡得，故，整理得，又直線l不過點A，即，故.（2）不妨設(shè)直線PA的傾斜角為，由題意知，所以，解得或（舍去），由，得，所以，同理得，所以.因為，所以，故.22.答案：（1）（2）見解析