電路分析 (第二章)

1、物電學(xué)院第二章第二章 電阻電路分析電阻電路分析 2.1 支路電流法支路電流法 2.2 網(wǎng)孔分析法網(wǎng)孔分析法 2.3 節(jié)點電位法節(jié)點電位法 物電學(xué)院一一 、 幾個名詞幾個名詞 1. 支路支路 ( (branch) )：電路中通過同一電流的每個分支。電路中通過同一電流的每個分支。 2. 節(jié)點節(jié)點（node）: : 三條或三條以上支路的連接點稱為節(jié)點。三條或三條以上支路的連接點稱為節(jié)點。 4. 回路回路（loop）：）：由支路組成的閉合路徑。由支路組成的閉合路徑。 b=3 3. 路徑路徑（path）：）：兩節(jié)點間的一條通路。路徑由支路構(gòu)成。兩節(jié)點間的一條通路。路徑由支路構(gòu)成。 5. 網(wǎng)孔網(wǎng)孔（mes

2、h）：）：對對平面電路平面電路，其內(nèi)部不包含任何支路的，其內(nèi)部不包含任何支路的回路?；芈?。 網(wǎng)孔是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。網(wǎng)孔是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。 123ab+_R1uS1+_uS2R2R3l=3 n=2 123物電學(xué)院2.1 支支 路路 電電 流流 法法 在一個支路中的各元件上流經(jīng)的只能是同一個電流，在一個支路中的各元件上流經(jīng)的只能是同一個電流，支路兩端電壓等于該支路上相串聯(lián)各元件上電壓的代數(shù)和，支路兩端電壓等于該支路上相串聯(lián)各元件上電壓的代數(shù)和，如圖，由元件約束關(guān)系如圖，由元件約束關(guān)系(VAR) 得到得到suRiu圖圖 2.1 - 1 電路中一條支路電路中一條支路 物電學(xué)院2.1

3、.1 支路電流法支路電流法 支路電流法支路電流法是以是以完備完備的支路電流變量為的支路電流變量為未知量未知量，根據(jù)，根據(jù)元件的元件的VAR 及及 KCL、KVL約束，建立數(shù)目足夠且相互獨約束，建立數(shù)目足夠且相互獨立的方程組，解出各支路電流，進而再根據(jù)電路有關(guān)的基立的方程組，解出各支路電流，進而再根據(jù)電路有關(guān)的基本概念求得電路中任何處的電壓、功率等本概念求得電路中任何處的電壓、功率等。 物電學(xué)院圖 2.1-2 支路電流法分析用圖 如圖，如圖，支路數(shù)支路數(shù) b=3 節(jié)點數(shù)節(jié)點數(shù) n=2 取支路電流取支路電流 i1 i3為獨立為獨立變量變量，并在圖中標定各支，并在圖中標定各支路電流參考方向；默認支路

4、電流參考方向；默認支路電壓路電壓u1 u3取與支路電取與支路電流流關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián)方向的關(guān)聯(lián)方向 。 回路數(shù)回路數(shù) l=3 物電學(xué)院 根據(jù)根據(jù)KCL，對節(jié)點，對節(jié)點 a 和和 b 分別建立電流方程。則有分別建立電流方程。則有 節(jié)點節(jié)點 a 節(jié)點節(jié)點 b 根據(jù)根據(jù)KVL，對回路，對回路、 分別列寫方程得分別列寫方程得 13311suiRiR23322suiRiR212211ssuuiRiR回路回路 回路回路 回路回路 (2.1-2)(2.1-3)(2.1-4)(2.1-5)(2.1-6)可以證明：對有可以證明：對有n個節(jié)點個節(jié)點的電路，獨立的的電路，獨立的KCL方程方程只有只有n-1個個 。 可以

5、證明：對有可以證明：對有n個節(jié)點個節(jié)點b條支路的電路，條支路的電路，獨立的獨立的KVL方程只有方程只有b-n+1個個 。 (2.1-2)00321321 iiiiii物電學(xué)院選取出選取出 3 個個相互獨立相互獨立的方程如下：的方程如下： 2332213311321000ssuiRiRuiRiRiii(2.1-7)完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關(guān)系束關(guān)系。物電學(xué)院313221323100111RRRRRRRRRR2313123223211110sssssuRuRuRRRuRRu應(yīng)用克萊姆法則求解應(yīng)用克萊姆法則求解(2.1

6、-7)式。系數(shù)行列式式。系數(shù)行列式和各未和各未知量所對應(yīng)的行列式知量所對應(yīng)的行列式j(luò)(j=1, 2, 3)分別為分別為 物電學(xué)院122132113231321323112000110101sssssssssuRuRuRuRuRuRuRRuRuR物電學(xué)院所以求得支路電流所以求得支路電流 3132211221333132212313212231322123131211RRRRRRuRuRiRRRRRRuRuRuRiRRRRRRuRuRuRissssssss物電學(xué)院若再要求解圖若再要求解圖 中的中的 c 點與點與 d 點之間電壓點之間電壓ucd 及電壓源及電壓源 us1所所產(chǎn)生的功率產(chǎn)生的功率 Ps

7、1，可由解出的電流，可由解出的電流i1、i2、i3 方便地求得為方便地求得為 1112211iupiRiRusscd物電學(xué)院支路法的一般步驟支路法的一般步驟: （1） 標定各支路電流的標定各支路電流的參考方向參考方向（電壓關(guān)聯(lián)）（電壓關(guān)聯(lián)） ； （2） 選定選定(n1)個獨立節(jié)點個獨立節(jié)點，列寫，列寫KCL方程；方程； （3） 選定選定b(n1)個獨立回路個獨立回路，列寫，列寫KVL方程；方程； （4） 求解求解上述方程，得到上述方程，得到b個支路電流。個支路電流。 物電學(xué)院 例 2.1-1 圖示 2.1-3 電路中，已知R1=15，R2=1.5，R3=1, us1=15V，us2=4.5V,

8、 us3=9V。 求電壓uab及各電源產(chǎn)生的功率。 圖 2.1-3 例 2.1-1 用圖 i1i2i3物電學(xué)院 解解 設(shè)支路電流設(shè)支路電流i1, i2, i3 參考方向如圖中所標。依參考方向如圖中所標。依 KCL列列寫節(jié)點寫節(jié)點 a 的電流方程為的電流方程為 0321iii 選網(wǎng)孔作為獨立回路，并設(shè)繞行選網(wǎng)孔作為獨立回路，并設(shè)繞行方向于圖上，由方向于圖上，由KVL列寫網(wǎng)孔列寫網(wǎng)孔、的電壓方程分別為的電壓方程分別為5 . 45 . 1060153231iiii網(wǎng)孔網(wǎng)孔 (2.1-9)(2.1-10)(2.1-11)網(wǎng)孔網(wǎng)孔物電學(xué)院用克萊姆法則求解用克萊姆法則求解與與j分別為分別為 3915 .

9、1010151115 .1915 . 15 . 410611017815 . 40161510125 .585 . 45 . 1000150113物電學(xué)院所以電流所以電流 i1, i2, i3 分別為分別為 AiAiAi5 . 1395 .58239785 . 0395 .19332211電壓電壓 Vuiusab5 . 7915 . 1133物電學(xué)院設(shè)電源設(shè)電源us1, us2, us3 產(chǎn)生產(chǎn)生的功率分別為的功率分別為ps1, ps2, ps3, 由求得的由求得的支路電流，可算得支路電流，可算得 （注意電流和電壓的參考方向注意電流和電壓的參考方向）WiupWiupWiupssssss5 .1

10、35 . 19925 . 45 . 75 . 015333221111物電學(xué)院 例例 2.1-3 圖圖 2.1-5 所示電路中包含有電壓控制的電壓所示電路中包含有電壓控制的電壓源，試以支路電流作為求解變量，列寫出求解本電路所必源，試以支路電流作為求解變量，列寫出求解本電路所必需的獨立方程組。需的獨立方程組。(注意對受控源的處理，對所列方程不必注意對受控源的處理，對所列方程不必求解。求解。) 物電學(xué)院 解解 設(shè)各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖所示。應(yīng)用設(shè)各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖所示。應(yīng)用KCL、KVL 及元件及元件 VAR列寫方程為列寫方程為對節(jié)點對節(jié)點 a -i1+i2+i3 = 0對網(wǎng)孔對網(wǎng)孔

11、R1i1+R2i2+0 = us對網(wǎng)孔對網(wǎng)孔 0-R2i2+(R3+R4)i3 =u1u1 = R1i1 （輔助方程（輔助方程）物電學(xué)院2.2 網(wǎng)網(wǎng) 孔孔 分分 析析 法法2.2.1 網(wǎng)孔電流網(wǎng)孔電流如果我們?nèi)绻覀冊O(shè)想設(shè)想在電路的在電路的每個網(wǎng)孔每個網(wǎng)孔里有一假想的電流沿著構(gòu)里有一假想的電流沿著構(gòu)成該網(wǎng)孔的各支路循環(huán)流動，如圖成該網(wǎng)孔的各支路循環(huán)流動，如圖 2.2-1中實線箭頭所示，中實線箭頭所示，把這一假想的電流稱作網(wǎng)孔電流。把這一假想的電流稱作網(wǎng)孔電流。 網(wǎng)孔電流是完備的變量網(wǎng)孔電流是完備的變量網(wǎng)孔電流是相互獨立的變量網(wǎng)孔電流是相互獨立的變量 物電學(xué)院2.2.2 網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法 對

12、平面電路，以假想的網(wǎng)孔電流作未知量，依對平面電路，以假想的網(wǎng)孔電流作未知量，依KVL列出網(wǎng)孔電壓方程式，求解出網(wǎng)孔電流，進而求列出網(wǎng)孔電壓方程式，求解出網(wǎng)孔電流，進而求得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱網(wǎng)孔電流法網(wǎng)孔電流法(簡稱網(wǎng)孔法簡稱網(wǎng)孔法)物電學(xué)院按網(wǎng)孔列寫按網(wǎng)孔列寫KVL方程如下：方程如下： 網(wǎng)孔網(wǎng)孔A R1iA+R5(iA+iB)+us4+R4（iA-iC)-us1=0網(wǎng)孔網(wǎng)孔B R2iB+R5(iA+iB)+R6(iB+iC)-us2=0網(wǎng)孔網(wǎng)孔C R3iC-us3+R4(ic-iA) -us4+R6(iC+iB)=0

13、按未知量順序排列并加以整理，同時將按未知量順序排列并加以整理，同時將已知激勵源也移至等式右端。得已知激勵源也移至等式右端。得 (2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)4145541)(ssCBAuuiRiRiRRR 266525)(sCBAuiRiRRRiR 4364364)(ssCBAuuiRRRiRiR 物電學(xué)院自電阻自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，即，即 111451251341114SssRRRRRRRRuuu 21522256236222SSRRRRRRRRuu314326333463334SssRRRRRRRRuuu 物電學(xué)院 歸納總結(jié)得到應(yīng)用網(wǎng)孔法分析具有

14、歸納總結(jié)得到應(yīng)用網(wǎng)孔法分析具有 3 個網(wǎng)孔個網(wǎng)孔電路的方電路的方程通式程通式(一般式一般式)，即，即 如果電路有如果電路有m 個個網(wǎng)孔，也不難得到列寫網(wǎng)孔方程的通式為網(wǎng)孔，也不難得到列寫網(wǎng)孔方程的通式為 333332312223222111131211sCBAsCBAsCBAuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR(2.2-4) smmMmmBmAmsMmBAsMmBAuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR2122222211111211(2.2-5)物電學(xué)院網(wǎng)孔法步奏第一步第一步：設(shè)網(wǎng)孔電流，及方向：設(shè)網(wǎng)孔電流，及方向第二步：第二步：觀察電路，求各網(wǎng)孔的自電阻、互電阻及網(wǎng)觀察電路，求各

15、網(wǎng)孔的自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，孔等效電壓源，第三步第三步：解方程得各網(wǎng)孔電流。：解方程得各網(wǎng)孔電流。第四步第四步：由網(wǎng)孔電流求各支路電流：由網(wǎng)孔電流求各支路電流第五步第五步： 如果需要，如果需要， 可由支路電流求電路中任何處的可由支路電流求電路中任何處的 電壓、電壓、 功率。功率。 網(wǎng)孔法的一般步驟網(wǎng)孔法的一般步驟物電學(xué)院例例 2.2-1 對圖對圖2.2-2 所示電路，求各支路電流。所示電路，求各支路電流。 圖 2.2-2 例 2.2-1 用圖第一步第一步：設(shè)網(wǎng)孔電流，及方向：設(shè)網(wǎng)孔電流，及方向iAiciB物電學(xué)院VuRRRVuRRRVuRRRsss6,11,2,612,2,5,119

16、,6,1,10333332312223222111131211代入代入(2.2-4)式得式得 61126122519610CBACBACBAiiiiiiiii(2.2-6)第二步：第二步：自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，即自電阻、互電阻及網(wǎng)孔等效電壓源，即 物電學(xué)院 第三步第三步：解方程得各網(wǎng)孔電流。用克萊姆法則解：解方程得各網(wǎng)孔電流。用克萊姆法則解(2.2-6)式方程組，各相應(yīng)行列式為式方程組，各相應(yīng)行列式為 885112625126119,29511262516110A59062625119110,2951166212161910CB物電學(xué)院于是各網(wǎng)孔電流分別為于是各網(wǎng)孔電流分別為 AiA

17、iAiCCBBAA229559012952953295885物電學(xué)院 第四步第四步：由網(wǎng)孔電流求各支路電流由網(wǎng)孔電流求各支路電流。 設(shè)各支路電流參設(shè)各支路電流參考方向如圖所示，根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系，考方向如圖所示，根據(jù)支路電流與網(wǎng)孔電流之間的關(guān)系， 得得 ,321,2,3531AiiiAiiAiiCBcAAiiiAiiiAiiBAcAB4) 1(31231642 第五步第五步： 如果需要，如果需要， 可由支路電流求電路中任何處的可由支路電流求電路中任何處的電壓、電壓、 功率。功率。 物電學(xué)院例例 2.2-2 對圖 2.2-3 所示電路，求電阻 R 上消耗的功率 pR。 圖 2.2-

18、3 例 2.2-2 用圖 物電學(xué)院56393931936CBACBACBAiiiiiiiii解解 (2.2-7)第二個方程可兩端相約化簡得第二個方程可兩端相約化簡得 563331936CBACBACBAiiiiiiiii物電學(xué)院由化簡的方程組求得由化簡的方程組求得 1265313311936,63631131136C進而可求得進而可求得 WRipAiiRRCCR82226312622物電學(xué)院例例 2.2-3 求圖求圖 2.2-4 所示電路中的電壓所示電路中的電壓 uab。圖 2.2-4 例 2.2-3 用圖 物電學(xué)院解解 設(shè)網(wǎng)孔電流設(shè)網(wǎng)孔電流 iA, iB 如圖中所標，觀察電路，應(yīng)用方如圖中所

19、標，觀察電路，應(yīng)用方程通式列基本方程為程通式列基本方程為 426226212xBAxBAuiiuii由圖可以看出控制量由圖可以看出控制量 ux 僅與回路電流僅與回路電流 iB 有關(guān)，故有輔助方有關(guān)，故有輔助方程程 Bxiu4（2.2-8）（2.2-9）將將(2.2-9)式代入式代入(2.2-8)式并經(jīng)化簡整理，得式并經(jīng)化簡整理，得 212BABAiiii（2.2-10）物電學(xué)院解解(2.2-10)方程組，方程組， 得得 ViUAiAiBxBA123443,1所以所以 VUiuxAab14122) 1(10210物電學(xué)院例例 2.2-4 對圖對圖 2.2-5 所示電路，求各支路電流所示電路，求各

20、支路電流。 圖 2.2-5 例 2.2-4 用圖 物電學(xué)院sABiii用網(wǎng)孔法求解圖用網(wǎng)孔法求解圖(a)電路所需的方程為電路所需的方程為 sBAsxBAsxBAiiiuuiRRiRuuiRiRR23231331)()(物電學(xué)院 將圖將圖(a)電路伸縮扭動變形，如圖電路伸縮扭動變形，如圖(b)電路所示。則電路所示。則 sBii 21221)(sssAuuiRiRR21221RRiRuuisssA所以所以 物電學(xué)院進一步可求得電流進一步可求得電流 21121123212211RRiRuuiiiiiRRiRuuiissssssssA物電學(xué)院 以以各節(jié)點電位各節(jié)點電位為未知量，將為未知量，將各支路電流

21、各支路電流通過支路通過支路VAR 用未知節(jié)點電位用未知節(jié)點電位表示，依表示，依KCL 列節(jié)點電流列節(jié)點電流方程方程(簡稱節(jié)點方程簡稱節(jié)點方程)，求解出各節(jié)點電位變量，求解出各節(jié)點電位變量，進而求得電路中需要求的電流、電壓、進而求得電路中需要求的電流、電壓、 功率等，功率等，這種分析法稱為這種分析法稱為節(jié)點電位法節(jié)點電位法。2.3 節(jié)節(jié) 點點 電電 位位 法法 物電學(xué)院圖 2.3-1 節(jié)點法分析用圖 2.3.1 節(jié)點電位節(jié)點電位 選選任一節(jié)點任一節(jié)點作參考點作參考點4=03442111)(vGivvGi23155)(vvGp其余各節(jié)點電位其余各節(jié)點電位11，22，33節(jié)點電位是節(jié)點電位是完備完備

22、的變量的變量物電學(xué)院對電路中任何一個回路列寫對電路中任何一個回路列寫KVL方程，方程，0312312uuu將上式中各電壓寫為電位差表示，將上式中各電壓寫為電位差表示， 即有即有 0133221vvvvvv節(jié)點電位變量是節(jié)點電位變量是相互獨立相互獨立的變量的變量。 對電路中任何一個回路列寫對電路中任何一個回路列寫KVL方程方程，0312312uuu物電學(xué)院)()()(315534432332222111vvGivGivvGivGivvGi(2.3-2)物電學(xué)院KCL方程方程(2.3-3)將將(2.3-2)式代入式代入(2.3-3)式，式， 得得 0)()(0)()(0)()(3153233422

23、113232221315211vvGvvGvGivvGvvGvGiivvGvvGsss(2.3-4)00053421322151iiiiiiiiiiisss節(jié)點節(jié)點 3 節(jié)點節(jié)點 1 節(jié)點節(jié)點 2 物電學(xué)院為了方便應(yīng)用克萊姆法則求解，將為了方便應(yīng)用克萊姆法則求解，將(2.3-4)式按未知量式按未知量順序重新排列，已知的電流源移至等式右端并加以整順序重新排列，已知的電流源移至等式右端并加以整理，得理，得 0)()()(35432315233232111213521151vGGGvGvGivGvGGGvGiivGvGvGGsss(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)自自電導(dǎo)都取電導(dǎo)都取正正 ;

24、互互電導(dǎo)都取電導(dǎo)都取負負;等效電流源為等效電流源為流入流入該節(jié)該節(jié)點的電流源點的電流源代數(shù)和代數(shù)和;物電學(xué)院0,332225433333253132332122121sssiiiGGGGGGGGGGGGGGGG 歸納總結(jié)得到應(yīng)用節(jié)點法分析具有歸納總結(jié)得到應(yīng)用節(jié)點法分析具有 3 個獨立節(jié)點電路個獨立節(jié)點電路的方程通式的方程通式(一般式一般式)， 即即 333332321312232322212111313212111sssivGvGvGivGvGvGivGvGvG(2.3-8)物電學(xué)院 如果電路有如果電路有 n 個獨立節(jié)點個獨立節(jié)點，我們也不難得到列寫節(jié)點，我們也不難得到列寫節(jié)點方程的通式為方程

25、的通式為 snnnnnnnsnnsnnivGvGvGivGvGvGivGvGvG2211222222121111212111(2.3-9)物電學(xué)院節(jié)點電位法的一般步驟第一步第一步：觀察電路設(shè)參考點：觀察電路設(shè)參考點第二步：第二步：求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源第三步第三步：代入通式：代入通式(2.3-8)，得，得 第四步第四步：解方程，求得各節(jié)點電位。：解方程，求得各節(jié)點電位。 第五步第五步：求解其他電路變量：求解其他電路變量物電學(xué)院 例例 2.3-1 如圖如圖 2.3-2 所示電路，求電導(dǎo)所示電路，求電導(dǎo)G1、G2、G3 中的中的電流及圖中電流及圖中 3 個電流源分

26、別產(chǎn)生的功率。個電流源分別產(chǎn)生的功率。 圖 2.3-2 例 2.3-1 用圖 第一步第一步：觀察電路設(shè)參考點：觀察電路設(shè)參考點物電學(xué)院AiAiAiSGSGSGSGSGSGSGSGSGsss25,3,118311425,2,42,6321,34,3,743332211333231232221131211第三步第三步：代入通式：代入通式(2.3-8)，得，得 251124326311437321321321vvvvvvvvv2.3-10第二步：第二步：求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源求自電導(dǎo)、互電導(dǎo)、等效電流源物電學(xué)院 第四步第四步：解方程，求得各節(jié)點電位。：解方程，求得各節(jié)點電位。物電學(xué)院 第五步第

27、五步：求解其他電路變量：求解其他電路變量AvGiAvvuGiAvvuGi15358) 13(4)(43) 12(3)(3333133122122111WvipWvvipWvipssssss753253) 1(3)(8183332122111物電學(xué)院 例例 2.3-2 如圖如圖 2.3-3(a)所示電路中，各電壓源、電阻的所示電路中，各電壓源、電阻的數(shù)值如圖上所標，求各支路上的電流。數(shù)值如圖上所標，求各支路上的電流。 圖 2.3-3 例 2.3-2 用圖 物電學(xué)院 解解 設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點 3 為參考點，并設(shè)節(jié)點為參考點，并設(shè)節(jié)點 1、2 的電位分別為的電位分別為 v1, v2, 可得方程組為可得方程

28、組為 41010420110141214121410341214121201512121vvvv化簡上方程組，得化簡上方程組，得 102110943211432121vvvv(2.3-11)物電學(xué)院解解(2.3-11)方程組，方程組， 得得 8016210214321118027010910214321180271094343121物電學(xué)院所以，節(jié)點電位所以，節(jié)點電位 VvVv682780162108027802702211物電學(xué)院各支路電流，由支路各支路電流，由支路VAR, 得得 AviAviAvviAvviAviAvi2 . 01064104,4 . 0206205 . 144104)(1

29、0,2261025 . 0201020,15101551526251242131211 注意：電阻要換算為注意：電阻要換算為電導(dǎo)電導(dǎo)；電壓源；電壓源等效的大小和方向。等效的大小和方向。 物電學(xué)院例 2.3-3 對圖對圖 2.3-4 所示電路，求所示電路，求 u 與與 i。 圖 2.3-4 例 2.3-3 用圖 物電學(xué)院 解解 ：1、4節(jié)點間有一理想電壓源支路（節(jié)點間有一理想電壓源支路（等效電流源等效電流源)，選，選擇其理想電壓源支路所連的兩個節(jié)點之一作參考點擇其理想電壓源支路所連的兩個節(jié)點之一作參考點，421111114221212132vv(2.3-12)VvVv1,532解方程得解方程得物電學(xué)院由歐姆定律，求得由歐姆定律，求得 VvvuuAvvui6) 1(54131) 1(21311133223Vu1046因為電壓因為電壓 所以電壓所以電壓 物電學(xué)院 若若以節(jié)點以節(jié)點 3 作參考點作參考點，設(shè)節(jié)點，設(shè)節(jié)點