第三講 對稱的數學本質

1、第三講 “對稱”的數學本質一、身邊的對稱一、身邊的對稱數學中，許多數學公式（式子）都表現出對稱性 2)()(1cbascsbsassS其中，、海倫公式：CcBbAasinsinsin2、正弦定理2321322132213xxxxxxxxxf、對稱多項式李政道同毛澤東談對稱 對稱這個概念絕不是靜止的，它要比通常的含義普遍很多，而且適用于一切自然現象，從宇宙的產生到每個微觀的亞核反應過程。 李政道 “對稱是一個廣闊的主題，在藝術和自然兩個方面都意義重大。數學則是它的根本”。 德國數學家外爾（H.Weyl） 二、平面圖形的對稱性二、平面圖形的對稱性問問 題：題：如何比較下列圖形的對稱性？或怎樣“量化

2、”它們的對稱性？1K2K3K4K5K6K初中教科書關于對稱圖形的定義： 定義：定義：如果一個平面圖形沿著平面上一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線稱為它的對稱軸。POQl2.1、在運動中看、在運動中看“對稱對稱” “如果一個操作使體系從一個狀態(tài)變換到另一個與之等價的狀態(tài)，或者說，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說這個體系對于這個操作是對稱的，而這個操作叫做這個體系的一個對稱操作?！?德國數學家外爾（H.Weyl） 2.2、平面圖形的、平面圖形的“對稱集對稱集” 保距變換保距變換： 在平面中，我們把反射、旋轉、平移以及它們的相繼實施，統(tǒng)稱為“保距變換”。特別的

3、，平面“不動”也是一種“保距變換”。通常稱為“恒等變換”。描述平面圖形對稱性（及對稱性強弱）的一種方法:對稱集的大小 把所有使平面圖形K整體不變的“保距變換”放在一起，構成一個集合，記為S(K)，并稱S(K)為“K的對稱集”。 如果S(K1)中的元素個數 多于S(K2)中的元素個數 ,即， 就說“K1的對稱性強于K2的對稱性”，或者說“K1比K2更對稱”。) 1(KS)2(KS)2() 1(KSKS) 1(KS8)2(KS12) 3(KS6)4(KS2)5(KS1)6(KS三、對稱的本質三、對稱的本質 “變中有不變”的性質，不僅是“平面圖形對稱”的本質，也是各種客觀事物對稱性的本質。四、對任意

4、客觀事物之對稱性的描述：四、對任意客觀事物之對稱性的描述： 子集的對稱子集的對稱 進一步的任務： 把討論“平面圖形的對稱”中形成的數學思想提煉出來，用“子集的對稱”的語言來統(tǒng)一地描述任一客觀事物的“對稱”。 ORR2Ro 4.1 集合上的可逆變換，子集的對稱變換 設M是一個集合，則M到自身的一個映射稱為“M上的一個變換”；M到自身的一個可逆映射稱為“M上的一個上的一個可逆變可逆變換換”。 集合M上的可逆變換 使M中的每一元素都發(fā)生了“變化”，但在整體上又保持M的不變。不過，對于M的某個子集N，情況就不一樣了，可能 在整體上保持N不變；也可能不能在整體上保持N不變： 即 。 子集子集N的對稱變換

5、的對稱變換：N是M的一個子集，若 是集合M上的可逆變換，在M上的可逆變化中，我們稱滿足 的可逆變換為“N的對稱變換”。NN )（NN )(ORRK2R4.2、子集的對稱集 集合M上的可逆變換 ，在變換集合M的同時，一般也變換了M中我們所考察的子集N，使之成為 ，但有些可逆變換卻使N整體上保持不變，即 。 我們稱使N整體上保持不變的那些可逆變換為N的對稱變換，并且把所有這樣的“對稱變換”放在一起，記作 S（N）, ，稱S（N）為“N的對稱集”。)N（NN )(NNNS)()(五、對稱群及群的概念五、對稱群及群的概念5.1 平面圖形的對稱變換群平面圖形的對稱變換群 我們把平面圖形對稱集S（N）中保

6、距變換的“相繼實施”，稱作S（N）中元素的一種“運算”，記作“”，叫作“乘法”。 該乘法運算滿足以下四條規(guī)律：封閉律結合律幺元律1. 逆元律5.2 群的概念群的概念 設G是一個帶有運算“”的非空集合，且其中的運算滿足以下四條，則稱G；是一個群。 1、封閉律 2、結合律 3、幺元律 4、逆元律 ;,GbaGba有);()(,cbacbaGcba有為幺元；稱有使存在eaeaaeGaGe,.,的逆元為稱，使存在abebaabGbGa單位圓xyO1 sin,cosP-yx,六、六、 對稱群的一個應用：誘導公式的推導對稱群的一個應用：誘導公式的推導 單位圓的對稱性，以及單位圓上的點身兼角與坐標兩種性質的表示，揭示了誘導公式的得出，就是反映了兩種群表示之間的一個一一對應關系。正方形對稱群