矩陣分析學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1矩陣分析矩陣分析第一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 第三章第三章 內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與H-陣陣定義：定義： 設(shè)設(shè) 是實數(shù)域是實數(shù)域 上的上的 維線性空間，對維線性空間，對于于 中的任意兩個向量中的任意兩個向量 按照某一確定法則按照某一確定法則對應(yīng)著一個實數(shù)，這個實數(shù)稱為對應(yīng)著一個實數(shù)，這個實數(shù)稱為 與與 的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為 ，并且要求，并且要求內(nèi)積滿足下列運算條件：內(nèi)積滿足下列運算條件：VRnV, ( ,) (1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 第1頁/共134頁第二頁，編輯于星期二：十點 二

2、十六分。這里這里 是是 中任意向量，中任意向量， 為任意實數(shù)為任意實數(shù)，只有當(dāng)，只有當(dāng) 時時 ，我們稱帶有，我們稱帶有這樣內(nèi)積的這樣內(nèi)積的 維線性空間維線性空間 為為歐氏空間。歐氏空間。例例 1 在在 中，對于中，對于規(guī)定規(guī)定容易驗證容易驗證 是是 上的一個內(nèi)積，從而上的一個內(nèi)積，從而 成為一個歐氏空間。如果規(guī)定成為一個歐氏空間。如果規(guī)定, Vk0( , )0 nVnR1212(,),(,)nnx xxy yy11122( ,)nnx yx yx y 1(,)nRnR第2頁/共134頁第三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。21122( ,)2nnx yx ynx y 容易驗證容易驗證 也是也是

3、 上的一個內(nèi)積上的一個內(nèi)積，這樣，這樣 又成為另外一個歐氏空間。又成為另外一個歐氏空間。2(,)nR例例 2 在在 維線性空間維線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定容易驗證這是容易驗證這是 上的一個內(nèi)積，這樣上的一個內(nèi)積，這樣 對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。例例 3 在線性空間在線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定n mRnm( , ):()TA BTr AB , C a bn mRn mRnR第3頁/共134頁第四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。( , ):( ) ( )baf gf x g x dx容易驗證容易驗證 是是 上的一個內(nèi)積，這上的一個內(nèi)積，這樣樣 對于這個內(nèi)積成為一

4、個歐氏空間。對于這個內(nèi)積成為一個歐氏空間。定義：定義： 設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域 上的上的 維線性空間，對維線性空間，對于于 中的任意兩個向量中的任意兩個向量 按照某一確定法則按照某一確定法則對應(yīng)著一個復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)稱為對應(yīng)著一個復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)稱為 與與 的的內(nèi)積內(nèi)積，記為，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下，并且要求內(nèi)積滿足下列運算條件：列運算條件：( , )f g , C a b , C a bVCnV, ( ,) 第4頁/共134頁第五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。(1)( ,)( , )(2)(,)( ,)(3)(, )( , )( , )(4)( , )0kk 這里這里 是是 中任意向量，

5、中任意向量， 為任意復(fù)數(shù)為任意復(fù)數(shù)，只有當(dāng)，只有當(dāng) 時時 ，我們稱帶有，我們稱帶有這樣內(nèi)積的這樣內(nèi)積的 維線性空間維線性空間 為為酉空間。酉空間。歐氏空歐氏空間與酉空間通稱為間與酉空間通稱為內(nèi)積空間。內(nèi)積空間。例例 1 設(shè)設(shè) 是是 維復(fù)向量空間，任取維復(fù)向量空間，任取, 0( , )0 nVVknCn第5頁/共134頁第六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1212(,),( ,)nna aab bb規(guī)定規(guī)定容易驗證容易驗證 是是 上的一個內(nèi)積，從而上的一個內(nèi)積，從而 成為一個酉空間。成為一個酉空間。例例 2 設(shè)設(shè) 表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間 上的所上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義有連續(xù)復(fù)值函

6、數(shù)組成的線性空間，定義1 122( ,):()Tnna ba ba b (,)nCnC , C a b , a b( , ):( ) ( )baf gf x g x dx第6頁/共134頁第七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。容易驗證容易驗證 是是 上的一個內(nèi)積上的一個內(nèi)積，于是，于是 便成為一個酉空間。便成為一個酉空間。例例 3 在在 維線性空間維線性空間 中，規(guī)定中，規(guī)定其中其中 表示表示 中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置中所有元素取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗證，容易驗證 是是 上的一個內(nèi)積上的一個內(nèi)積，從而，從而 連同這個內(nèi)積一起成為酉空間。連同這個內(nèi)積一起成為酉空間。內(nèi)積空間的基本性質(zhì)內(nèi)積空

7、間的基本性質(zhì)：(,) , C a b , C a b2nn nC( , ):()HA BTr ABHBB(,)n nCn nC第7頁/共134頁第八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 歐氏空間的性質(zhì)：歐氏空間的性質(zhì)：第8頁/共134頁第九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。酉空間的性質(zhì)：酉空間的性質(zhì)：1111(1)( ,)( ,)(2)( ,)( ,)( , )(3)(,)(,)(4)( ,)( ,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk 第9頁

8、/共134頁第十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。定義：設(shè)定義：設(shè) 是是 維酉空間，維酉空間， 為其一組基為其一組基底，對于底，對于 中的任意兩個向量中的任意兩個向量那么那么 與與 的內(nèi)積的內(nèi)積Vn iV11,nniijjijxy11,1( ,)(,)(,)nnniiiiijijiji jxyx y 令令(,),1,2,ijijgi jn 第10頁/共134頁第十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。111212122212nnnnnnggggggGggg稱稱 為基底為基底 的的度量矩陣度量矩陣，而且，而且定義定義：設(shè)：設(shè) ，用，用 表示以表示以 的元的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記素的共軛

9、復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記G i,( )TijijggGGn nACAA第11頁/共134頁第十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。( )HTAA則稱則稱 為為 的的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣。不難驗證。不難驗證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：HAA(1)()(2)()(3)()(4)()HTHHHHHHHHAAABABkAkAABB A第12頁/共134頁第十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11(5)()()(6)()(7)(8)()()kHHkHHHHAAAAAAAA定義定義：設(shè)：設(shè) ,如果如果 ，那么，那么稱稱 為為Hermite矩陣；如果矩陣；如果 ，那么，

10、那么稱稱 為反為反Hermite矩陣。矩陣。例例 判斷下列矩陣是判斷下列矩陣是H-陣還是反陣還是反H-陣。陣。n nACHAAAHAA A第13頁/共134頁第十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。4242(1)2142126123(2)1291317iiiiiiiiiiiii 第14頁/共134頁第十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。018(3)1048403132(4)134152155iiiiiiiiiiii 第15頁/共134頁第十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。（5） 實對稱矩陣實對稱矩陣（6） 反實對稱矩陣反實對稱矩陣（7） 歐氏空間的度量矩陣歐氏空間的度量矩陣（8） 酉空間

11、的度量矩陣酉空間的度量矩陣內(nèi)積空間的度量內(nèi)積空間的度量定義：定義：設(shè)設(shè) 為酉（歐氏）空間，向量為酉（歐氏）空間，向量 的的長度長度定義為非負實數(shù)定義為非負實數(shù)例例 在在 中求下列向量的長度中求下列向量的長度VV( , ) 4C第16頁/共134頁第十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。(1)(12 ,3,22 )(2)(1, 2,3,4)iii解解： 根據(jù)上面的公式可知根據(jù)上面的公式可知一般地，我們有一般地，我們有: 對于對于 中的任意向量中的任意向量其長度為其長度為5196211491630 nC12(,)na aa第17頁/共134頁第十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。21niia這里

12、這里 表示復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù) 的模。的模。定理定理：向量長度具有如下性質(zhì)：向量長度具有如下性質(zhì) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時， iaia(1)000(2),kkkC(3)(4)( ,) 第18頁/共134頁第十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例例 1： 在線性空間在線性空間 中，證明中，證明例例 2 設(shè)設(shè) 表示閉區(qū)間表示閉區(qū)間 上的所有連上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對于任意的續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對于任意的 ，我們有，我們有( )n nMC()()()HHHTr ABTr AATr BB , C a b , a b( ), ( ) , f x g xC a b22( ) (

13、) ( )( )( )( )( )bbbaaaf x g x d xf xd xg xd x第19頁/共134頁第二十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。定義：定義：設(shè)設(shè) 為歐氏空間，兩個非零向量為歐氏空間，兩個非零向量 的的夾角夾角定義為定義為于是有于是有定理定理：V, ( ,),: arccos 0,2 ,( ,)02 第20頁/共134頁第二十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。因此我們引入下面的概念因此我們引入下面的概念;定義定義：在酉空間：在酉空間 中，如果中，如果 ，則，則稱稱 與與 正交。正交。定義定義： 長度為長度為1的向量稱為單位向量，對于任的向量稱為單位向量，對于任何一個非零

14、的向量何一個非零的向量 ，向量，向量總是單位向量，稱此過程為總是單位向量，稱此過程為單位化單位化。 V( ,)0 第21頁/共134頁第二十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。標準正交基底與標準正交基底與Schmidt正交化方法正交化方法定義：設(shè)定義：設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，如為一組不含有零向量的向量組，如果果 內(nèi)的任意兩個向量彼此正交，則稱其為內(nèi)的任意兩個向量彼此正交，則稱其為正正交的向量組。交的向量組。定義：如果一個正交向量組中任何一個向量都定義：如果一個正交向量組中任何一個向量都是單位向量，則稱此向量組為是單位向量，則稱此向量組為標準的正交向量標準的正交向量組。組。例例 在在 中

15、向量組中向量組 i i3C第22頁/共134頁第二十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12321 222 1, , , 33 333 31 2 2 , 3 3 3 與向量組與向量組都是標準正交向量組。都是標準正交向量組。123 cos ,0,sin ,0,1,0 sin ,0, cos ii 第23頁/共134頁第二十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。定義：在定義：在 維內(nèi)積空間中，由維內(nèi)積空間中，由 個正交向量組個正交向量組成的基底稱為成的基底稱為正交基底正交基底；由；由 個標準的正交向個標準的正交向量組成的基底稱為量組成的基底稱為標準正交基底。標準正交基底。注意：注意：標準正交基底不唯

16、一。在上面的例題中可標準正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現(xiàn)這一問題。以發(fā)現(xiàn)這一問題。定理定理：向量組：向量組 為正交向量組的充分必要條為正交向量組的充分必要條件是件是 ;向量組向量組 為標準正交向量組的充分必要條件為標準正交向量組的充分必要條件是是nnn i(,)0,ijij i第24頁/共134頁第二十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。定理定理：正交的向量組是一個線性無關(guān)的向量組。：正交的向量組是一個線性無關(guān)的向量組。反之，由一個線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一反之，由一個線性無關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。個正交向量組，甚至是一個標準正交向量組。Sch

17、midt正交化與單位化過程正交化與單位化過程: 設(shè)設(shè) 為為 維內(nèi)積空間維內(nèi)積空間 中的中的 個線性無關(guān)的向量，利用這個線性無關(guān)的向量，利用這 個向量個向量完全可以構(gòu)造一個標準正交向量組。完全可以構(gòu)造一個標準正交向量組。 1(,)0ijijijij Vnr12,r r第25頁/共134頁第二十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11212211111111111,rrrrrrrr 第一步第一步 正交化正交化容易驗證容易驗證 是一個正交向量組是一個正交向量組。12,r 第26頁/共134頁第二十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。第二步第二步 單位化單位化顯然顯然 是一個標準的正交向量組是一個標準

18、的正交向量組。例例 1 運用正交化與單位化過程將向量組運用正交化與單位化過程將向量組化為標準正交向量組?；癁闃藴收幌蛄拷M。解解：先正交化：先正交化 121212,rrr12,r 1231,1,0,0 ,1,0,1,0 ,1,0,0,1 第27頁/共134頁第二十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1121221113132331211221,1,0,0,11,1,0,22,1 1 1, , ,1,3 3 3 再單位化再單位化 第28頁/共134頁第二十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11122233311,0,022112,06661113,2 3 2 3 2 3 2 3 那么那么 即為

19、所求的標準正交向量組。即為所求的標準正交向量組。例例 2 求下面齊次線性方程組求下面齊次線性方程組123, 第29頁/共134頁第三十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1234123412340234023450 xxxxxxxxxxxx其解空間的一個標準正交基底。其解空間的一個標準正交基底。解解： 先求出其一個基礎(chǔ)解系先求出其一個基礎(chǔ)解系下面對下面對 進行正交化與單位化：進行正交化與單位化：121, 2,0,1 ,2, 3,0,1XX12,XX第30頁/共134頁第三十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。112122111111222(,)214,1 ;(,)333121,06662143,

20、3030303XXX 即為其解空間的一個標準正交基底。即為其解空間的一個標準正交基底。12, 第31頁/共134頁第三十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 酉變換與正交變換酉變換與正交變換定義：定義：設(shè)設(shè) 為一個為一個 階復(fù)矩陣，如果其滿足階復(fù)矩陣，如果其滿足則稱則稱 是是酉矩陣酉矩陣，一般記為，一般記為 設(shè)設(shè) 為一個為一個 階實矩陣，如果其滿足階實矩陣，如果其滿足則稱則稱 是是正交矩陣正交矩陣，一般記為，一般記為 AnHHA AAAIAn nAUAnTTA AAAIAn nAE第32頁/共134頁第三十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例：例：22022(1)10022022是一個正交矩

21、陣是一個正交矩陣第33頁/共134頁第三十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。212333221(2)333122333是一個正交矩陣是一個正交矩陣是一個正交矩陣是一個正交矩陣cossin(3)sincos第34頁/共134頁第三十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。（5）設(shè)）設(shè) 且且 ，如果，如果 則則 是一個酉矩陣。通常稱為是一個酉矩陣。通常稱為Householder矩矩陣陣。 1nC1H 2HAIAcos0sin(4)010sin0cosii是一個酉矩陣是一個酉矩陣第35頁/共134頁第三十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)：設(shè)設(shè) ，那么，那

22、么設(shè)設(shè) ，那么，那么,n nA BU1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE第36頁/共134頁第三十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理：定理： 設(shè)設(shè) ， 是一個酉矩陣的充分是一個酉矩陣的充分必要條件為必要條件為 的的 個列（或行）向量組是標個列（或行）向量組是標準正交向量組。準正交向量組。定義定義： 設(shè)設(shè) 是一個是一個 維酉空間，維酉空間， 是是 的的一個線性變換，如果對任意的一個線性變換，如果對任意的 都有都有n nACAnAVnV,V ( ( ),( )( ,) 第

23、37頁/共134頁第三十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。則稱則稱 是是 的一個的一個酉變換酉變換。定理定理：設(shè)：設(shè) 是一個是一個 維酉空間，維酉空間， 是是 的一的一個線性變換，那么下列陳述等價：個線性變換，那么下列陳述等價：（1） 是酉變換；是酉變換；（3）將）將 的標準正交基底變成標準正交基底；的標準正交基底變成標準正交基底；（4）酉變換在標準正交基下的矩陣表示為酉矩）酉變換在標準正交基下的矩陣表示為酉矩陣。陣。注意注意：關(guān)于：關(guān)于正交變換正交變換也有類似的刻劃。也有類似的刻劃。VVnV(2)( ),V V第38頁/共134頁第三十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 冪等矩陣冪等矩陣

24、定義：設(shè)定義：設(shè) ，如果，如果 滿足滿足則稱則稱 是一個是一個冪等矩陣冪等矩陣。例例是一個分塊冪等矩陣。是一個分塊冪等矩陣。 n nACA2AAA(),rn nrn rIMACMCOO第39頁/共134頁第四十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。冪等矩陣的一些性質(zhì)冪等矩陣的一些性質(zhì)：設(shè)：設(shè) 是冪等矩陣，那是冪等矩陣，那么有么有（1） 都是冪都是冪等矩陣；等矩陣；（2）（3） （4） 的充分必要條件是的充分必要條件是（5）A,THTHAAIA IAIA()()0A IAIA A( )()N AR IAAxx( )xR A1( )( )nCR AN A第40頁/共134頁第四十一頁，編輯于星期二：十

25、點 二十六分。定理：定理：設(shè)設(shè) 是一個秩為是一個秩為 的的 階矩陣，那么階矩陣，那么 為一個冪等矩陣的充分必要條件是存在為一個冪等矩陣的充分必要條件是存在 使得使得推論推論：設(shè)：設(shè) 是一個是一個 階冪等矩陣，則有階冪等矩陣，則有定義定義：設(shè)：設(shè) 為一個為一個 維標準正維標準正交列向量組，那么稱交列向量組，那么稱 型矩陣型矩陣 AnrAn nnPC1rIOP APOO( )( )Tr ARank AAn12,r nnr第41頁/共134頁第四十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。112,rU 為一個為一個次酉矩陣次酉矩陣。一般地將其記為。一般地將其記為定理定理： 設(shè)設(shè) 為一個為一個 階矩陣，則階

26、矩陣，則 的充分必要條件是存在一個的充分必要條件是存在一個 型次酉矩陣型次酉矩陣 使得使得其中其中 。An2HAAAnr1n rrUU1n rrUU11HAUU( )rRank A第42頁/共134頁第四十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。引理引理： 的充分必要條件是的充分必要條件是證明證明：設(shè)：設(shè) ，那么，那么1n rrUU11Hr rU UI112,rU 121()()()TTHTrU第43頁/共134頁第四十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。必要性：如果必要性：如果 為一個為一個 維標準維標準正交列向量組，那么正交列向量組，那么12,r n第44頁/共134頁第四十五頁，編輯于星期二

27、：十點 二十六分。121112111212122212()(),()()()()()()()()()()TTHrTrTTTrTTTrTTTrrrrU U 第45頁/共134頁第四十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。111r rI充分性：設(shè)充分性：設(shè) ， 那么由那么由 ，可得，可得112,rU 11Hr rU UI第46頁/共134頁第四十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1212111212122212()(),()()()()()()()()()()TTrTrTTTrTTTrr rTTTrrrrI 第47頁/共134頁第四十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。即這表明 是一個 維標準正交

28、列向量組。定理的證明定理的證明：必要性：因 ，故 有 個線性無關(guān)的列向量，將這 個列向量用Schmidt方法得出 個兩兩正交的單位向量，以這 個向量為列構(gòu)成一個 型次酉矩陣1(,)()0Tijjiijij 12,r nrankrAArrrrnr第48頁/共134頁第四十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。Ar 。注意到 的 個列向量都可以由 的 個列向量線性表出。即如果那么可得nU1212,n rrrnUUA n rrUU第49頁/共134頁第五十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1212112111222212,nrnnHrrnrACCCCCCUVCCC 第50頁/共134頁第五十一頁，編輯

29、于星期二：十點 二十六分。其中111212122212rrn rnnnrCCCCCCVCCCC，由于向量組 的秩為 ，所以 的秩為 。rr12,n HV第51頁/共134頁第五十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。下面證明 。 由 可得 ，即注意到 ，所以VU2HAAAHAA AHHHUVVU UVHr rU UIHHUVVV即因為 ，所以 ，這樣得到于是()0HUV Vrank()HVrrank()0UVUVHAUU第52頁/共134頁第五十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。充分性：若 ，則HAUU2HAAASchur引理與正規(guī)矩陣引理與正規(guī)矩陣定義：定義：設(shè) ，若存在 ，使得則稱 酉相似

30、酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一個 階復(fù)矩陣 酉相似于一個上(下)三角矩陣。,()n nn nA BCR或n nUU()n nE或11()HTU AUUAUBU AUUAUB或ABAn第53頁/共134頁第五十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。證明：證明：用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為1時定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時定理成立，考慮 的階數(shù)為 時的情況。 取 階矩陣 的一個特征值 ，對應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ，AAA1k kkkA111112,kU 112112,kkAUAAAAA因為 構(gòu)成 的一個標準正交基，故12,k kC第5

31、4頁/共134頁第五十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1(2,3, )kiijjjAaik，因此12131111210,0kkaaaAUA 其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足1k 1k 1AW11HW AWR(上三角矩陣)第55頁/共134頁第五十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。令那么21k kUUW12112112100kHHbbUUAUUR第56頁/共134頁第五十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。注意注意: 等號右端的三角矩陣主對角線上的元素等號右端的三角矩陣主對角線上的元素為矩陣為矩陣 的全部特征值的全部特征值.定理定理(Schur不等式不等式): 設(shè)設(shè) 為

32、矩陣為矩陣 的特征值的特征值, 那么那么例例: 已知矩陣已知矩陣 A12,n nnAC A221,niijii ja第57頁/共134頁第五十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。308316205A試求酉矩陣試求酉矩陣 使得使得 為上三角矩為上三角矩陣陣.解解: 首先求矩陣首先求矩陣 的特征值的特征值UHU AUA3(1)IA第58頁/共134頁第五十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。所以所以 為矩陣為矩陣 的三重特征值的三重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時時, 有單位特征向量有單位特征向量再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個單位解向量求得一個單位解向量1 A1 A1211,666T123

33、20 xxx2333,333T第59頁/共134頁第六十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。再解與再解與 內(nèi)積為零的方程組內(nèi)積為零的方程組求得一個單位解向量求得一個單位解向量取取12, 123123200 xxxxxx3220,22T第60頁/共134頁第六十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。123036132326132326U計算可得計算可得第61頁/共134頁第六十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。117 27 31235 60435 6062HUAU令令第62頁/共134頁第六十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。15 6435 662A再求矩陣再求矩陣 的特征值的特征值所以所以 為

34、矩陣為矩陣 的二重特征值的二重特征值. 當(dāng)當(dāng) 時時, 有單位特征向量有單位特征向量1A21(1)IA1 1A1 1A第63頁/共134頁第六十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11015,55T再解與其內(nèi)積為零的方程再解與其內(nèi)積為零的方程求得一個單位解向量求得一個單位解向量1210150 xx21510,55T第64頁/共134頁第六十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。取取計算可得計算可得1101555151055V11 125 61601HVAV第65頁/共134頁第六十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。210010150551510055U令令于是有于是有第66頁/共134頁第六十七

35、頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12230515561300661302 53056WUU則則第67頁/共134頁第六十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。107 30 /60125 6 /6001HW AW矩陣矩陣 即為所求的酉矩陣即為所求的酉矩陣. 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣定義定義: 設(shè)設(shè) , 如果如果 滿足滿足Wn nACA第68頁/共134頁第六十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。HHAAA A那么稱矩陣那么稱矩陣 為一個為一個正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣.設(shè)設(shè) , 如果如果 同樣滿足同樣滿足那么稱矩陣那么稱矩陣 為一個為一個實正規(guī)矩陣實正規(guī)矩陣.例例: (1) 為實正規(guī)矩陣為實正規(guī)矩陣 An nAR

36、AHHAAA AA1111第69頁/共134頁第七十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。abcdbadccdabdcba (2)其中其中 是不全為零的實數(shù)是不全為零的實數(shù), 容易驗證這容易驗證這是一個實正規(guī)矩陣是一個實正規(guī)矩陣., , ,a b c d第70頁/共134頁第七十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 (3)這是一個正規(guī)矩陣這是一個正規(guī)矩陣. (4) H-陣陣, 反反H-陣陣, 正交矩陣正交矩陣, 酉矩陣酉矩陣, 對角對角矩陣都是正規(guī)矩陣矩陣都是正規(guī)矩陣.正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理434624432662261iiiiiiii 第71頁/共134頁第七十二頁，編

37、輯于星期二：十點 二十六分。引理引理 1 : 設(shè)設(shè) 是一個正規(guī)矩陣是一個正規(guī)矩陣, 則與則與 酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣.引理引理 2 : 設(shè)設(shè) 是一個正規(guī)矩陣是一個正規(guī)矩陣, 且又是三角且又是三角矩陣矩陣, 則則 必為對角矩陣必為對角矩陣.由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理定理定理 : 設(shè)設(shè) , 則則 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣的充要條件是存在一個酉矩陣 使得使得AAAAn nACAU第72頁/共134頁第七十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12HnU AU其中其中 是矩陣是矩陣 的特征值的特征值.推論推

38、論 1 : 階正規(guī)矩陣有階正規(guī)矩陣有 個線性無關(guān)的特個線性無關(guān)的特征向量征向量 . 12,n Ann第73頁/共134頁第七十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。推論推論 2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼彼此正交此正交. 例例 1 : 設(shè)設(shè)求正交矩陣求正交矩陣 使得使得 為對角矩陣為對角矩陣.解解: 先計算矩陣的特征值先計算矩陣的特征值324202423AQ1Q AQ第74頁/共134頁第七十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。2(1) (8)IA其特征值為其特征值為對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個基礎(chǔ)解系求得其一個基礎(chǔ)解系現(xiàn)在將

39、現(xiàn)在將 單位化并正交化單位化并正交化, 得到兩個標得到兩個標準正交向量準正交向量1231,8 11 ()0IA X 121,2,0,1,0,1TTXX 12,XX第75頁/共134頁第七十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1212425,0,3553 5 2 5TT對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個基礎(chǔ)解系求得其一個基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個單位向量將其單位化得到一個單位向量28(8)0IA X32,1,2TX 第76頁/共134頁第七十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。32 1 2, ,3 3 3T將這三個標準正交向量組成矩陣將這三個標準正交向量組成矩陣123142

40、353 5221,353 552033Q 第77頁/共134頁第七十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。則矩陣則矩陣 即為所求正交矩陣且有即為所求正交矩陣且有Q1118Q AQ例例 2 : 設(shè)設(shè)434624432662261iiiAiiiii 第78頁/共134頁第七十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。求酉矩陣求酉矩陣 使得使得 為對角矩陣為對角矩陣.QHQ AQ第79頁/共134頁第八十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。解解: 先計算矩陣的特征值先計算矩陣的特征值其特征值為其特征值為對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個基礎(chǔ)解系求得其一個基礎(chǔ)解系2(81)(9)IA123

41、9i,9 19i ( 9)0iIA X1/2,1,1TXi 第80頁/共134頁第八十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。現(xiàn)在將現(xiàn)在將 單位化單位化, 得到一個單位向量得到一個單位向量1X12 2,3 3 3Ti對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個基礎(chǔ)解系求得其一個基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個單位向量將其單位化得到一個單位向量29i(9)0iIA X2, 1/2,1TXi 第81頁/共134頁第八十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。221 2,333Ti對于特征值對于特征值 解線性方程組解線性方程組求得其一個基礎(chǔ)解系求得其一個基礎(chǔ)解系將其單位化得到一個單位向量將其單位化得到

42、一個單位向量39(9)0IA X3,1, 1/2TXi3221,3 33Ti第82頁/共134頁第八十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。將這三個標準正交向量組成矩陣將這三個標準正交向量組成矩陣12322333212,333221333iiiQ 則矩陣則矩陣 即為所求酉矩陣且有即為所求酉矩陣且有Q第83頁/共134頁第八十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。999HiQ AQi第84頁/共134頁第八十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例例 3 證明證明: (1) H-矩陣的特征值為實數(shù)矩陣的特征值為實數(shù); H-矩陣屬于矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的不同特征值的特征向量是正交的. (2

43、) 反反H-矩陣的特征值為零或純虛數(shù)矩陣的特征值為零或純虛數(shù). (3) 酉矩陣的特征值模長為酉矩陣的特征值模長為1.定理定理: 設(shè)設(shè) 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, 則則 (1) 是是H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值的特征值為實數(shù)為實數(shù) . AAA第85頁/共134頁第八十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 (2) 是反是反H-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值的特征值的實部為零的實部為零 . (3) 是是U-陣的充要條件是陣的充要條件是 的特征值的的特征值的模長為模長為1 . 注意注意: 正規(guī)矩陣絕不僅此三類正規(guī)矩陣絕不僅此三類.例例 4 : 設(shè)設(shè) 是一個反是一個反H-陣陣, 證明證

44、明:是是U-陣陣.證明證明: 根據(jù)根據(jù)U-陣的定義陣的定義AAA1()()WAIAIAA第86頁/共134頁第八十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11()() () ()HHHWWA I A IA IA I由于由于 是反是反H-陣陣, 所以所以, 這樣這樣于是可得于是可得 A()HAIAI 11() ()HAIAI 第87頁/共134頁第八十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11111111()() () ()()() () ()()()() ()()()() ()()() () ()HHHHWWA I A IA IA IA I A IA IA IA IA I A IA IA IA I

45、A IA IA I A IA IA II 這說明這說明 為酉矩陣為酉矩陣.W第88頁/共134頁第八十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例例 5 : 設(shè)設(shè) 是一個是一個 階階H-陣且存在自然數(shù)陣且存在自然數(shù) 使得使得 , 證明證明: .證明證明: 由于由于 是正規(guī)矩陣是正規(guī)矩陣, 所以存在一個酉矩所以存在一個酉矩陣陣 使得使得Ank0kA 0A n nUUA12,HinAUUR第89頁/共134頁第九十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。于是可得于是可得從而從而這樣這樣120kkkHknAUU0,kiiR第90頁/共134頁第九十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。0,1,2,iin即即 He

46、rmite二次型二次型(Hermite二次齊次多項式二次齊次多項式)Hermite矩陣的基本性質(zhì)矩陣的基本性質(zhì)引理引理: 設(shè)設(shè) , 則則 (1) 都是都是H-陣陣.0A ,HHHAAAAA An nAC第91頁/共134頁第九十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 (2) 是反是反H-陣陣. (3) 如果如果 是是H-陣陣, 那么那么 也是也是H-陣陣, 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù). (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-陣陣, 那么那么 也是也是可逆的可逆的H-陣陣. (5) 如果如果 是是H-陣陣(反反H-陣陣), 那么那么 是反是反H-矩陣矩陣(H-陣陣), 這里這里 為虛數(shù)單位為虛數(shù)單位

47、. (6) 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么也是也是H-陣陣, 這里這里 均為實數(shù)均為實數(shù). (7) 如果如果 都是都是H-陣陣, 那么那么 也也是是H-陣的充分必要條件是陣的充分必要條件是HAAAkAkA1AAiAi,A BkAlB, k l,A BABABBAAB第92頁/共134頁第九十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。n nAC定理定理: 設(shè)設(shè) , 則則 (1) 是是H-陣的充分必要條件是對于任陣的充分必要條件是對于任意的意的 是實數(shù)是實數(shù). (2) 是是H-陣的充分必要條件是對于任陣的充分必要條件是對于任意的意的 階方陣階方陣 為為H-陣陣.H-陣的結(jié)構(gòu)定理陣的結(jié)構(gòu)定理定理定

48、理: 設(shè)設(shè) , 則則 是是H-陣的充分必陣的充分必要條件是存在一個酉矩陣要條件是存在一個酉矩陣 使得使得A,nHXCXAXAn,HBB ABn nACAn nUU第93頁/共134頁第九十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12HnU AU其中其中 , 此定理經(jīng)常敘述此定理經(jīng)常敘述為為: H-陣酉相似于實對角矩陣陣酉相似于實對角矩陣.推論推論: 實對稱陣正交相似于實對角矩陣實對稱陣正交相似于實對角矩陣. 12,nR 第94頁/共134頁第九十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例例 : 設(shè)設(shè) 為一個冪等為一個冪等H-陣陣, 則存在酉矩陣則存在酉矩陣 使得使得證明證明: 由于由于 為一個為一個H

49、-陣陣, 所以存在酉所以存在酉矩陣矩陣 使得使得An nUU000rHIU AUAn nWU第95頁/共134頁第九十六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12HnWAW又由于又由于 為一個冪等為一個冪等H-陣陣, 從而從而 或或?qū)?放在一起放在一起, 將將0放在一起放在一起, 那么可找到一個酉那么可找到一個酉矩陣矩陣 使得使得A0i1in nUU第96頁/共134頁第九十七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。000rHIU AU這里這里 為矩陣為矩陣 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齊次多項式二次齊次多項式)定義定義: 由由 個復(fù)變量個復(fù)變量 , 系系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊

50、次多項式數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項式Arn12,nx xx第97頁/共134頁第九十八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1211(,)nnnijijijf x xxa x x稱為稱為Hermite二次型二次型, 這里這里如果記如果記 ijjiaa第98頁/共134頁第九十九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12111212122212,TnnnnnnnnXx xxCaaaaaaAaaa第99頁/共134頁第一百頁，編輯于星期二：十點 二十六分。那么上面的那么上面的Hermite二次型可以記為二次型可以記為稱為稱為Hermite二次型對應(yīng)的矩陣二次型對應(yīng)的矩陣 , 并稱并稱 的秩的秩為為Hermit

51、e二次型的秩二次型的秩. 對于對于Hermite二次型作可逆的線性替換二次型作可逆的線性替換則則12(,)Hnf x xxXAXAXCY12(,)()HHHnHf x xxXAXYC AC YY BY第100頁/共134頁第一百零一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。這里這里Hermite二次型中最簡單的一種是只含有純二次型中最簡單的一種是只含有純的平方項無交叉項的二次型的平方項無交叉項的二次型我們稱這種形狀的我們稱這種形狀的Hermite二次型為二次型為標準形的標準形的Hermite二次型二次型.定理定理: 對于任意一個對于任意一個Hermite二次型二次型 ,HHBC ACBB1211122

52、2(,)nnnnf y yyy yy yy y12(,)Hnf x xxXAX第101頁/共134頁第一百零二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。必存在酉線性替換必存在酉線性替換可以將可以將Hermite二次型二次型 化為標準形化為標準形其中其中 是是H-矩陣矩陣 的特征值的特征值.進一步進一步, 我們有我們有定理定理: 對于對于Hermite二次型二次型 XUY( )f x111222( )nnnf xy yy yy y12,n A12(,)Hnf x xxXAX第102頁/共134頁第一百零三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。必存在可逆的線性替換必存在可逆的線性替換可以將可以將Hermite

53、二次型二次型 化為化為其中其中 .我們稱上面的標準形為我們稱上面的標準形為Hermite二次型二次型的的規(guī)范形規(guī)范形.例例: 寫出下面寫出下面Hermite二次型的矩陣表達式二次型的矩陣表達式,并并用酉線性替換將其化為標準形用酉線性替換將其化為標準形.XPY( )f x1111( )ssssrrf xy yy yyyy y( )rrank A( )f x第103頁/共134頁第一百零四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。123121312131231 1121321233 13 133(1)(,)(2)(,)(1)(1)2f x x xix xx xix xx xf x x xx xix xi

54、x xix xx xi x xx xx x解解: 11231232301(1)(,),00100ixf x x xx x xixx第104頁/共134頁第一百零五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。11231232311(2)(,),01112iixf x x xx x xixix第105頁/共134頁第一百零六頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 正定正定Hermite二次型與正定二次型與正定Hermite矩陣矩陣定義定義: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形如果對于任意一組不全為零復(fù)數(shù)如果對于任意一組不全為零復(fù)數(shù) 都有都有1211()(,)nnnHijijijf Xf x xxa

55、x xXAX12,nx xx第106頁/共134頁第一百零七頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12(,)0(0)nf x xx則稱該則稱該Hermite二次形為二次形為正定的正定的(半正定的半正定的) , 并稱相應(yīng)的并稱相應(yīng)的H-矩陣矩陣 為為正定的正定的(半正定的半正定的) . 例例: 判斷下列判斷下列Hermite二次形的類別二次形的類別 A123112233(,)483f y yyy yy yy y1232233(,)129f y yyy yy y123112233(,)76f y yyy yy yy y 第107頁/共134頁第一百零八頁，編輯于星期二：十點 二十六分。12311223

56、3(,)43f y yyy yy yy y 1231133(,)613f y yyy yy y 與正定的實二次形一樣與正定的實二次形一樣, 關(guān)于正定的關(guān)于正定的Hermite二二次形我們有次形我們有定理定理: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形下列敘述是等價的下列敘述是等價的 ()Hf XXAX第108頁/共134頁第一百零九頁，編輯于星期二：十點 二十六分。 (1) 是正定的是正定的 (2) 對于任何對于任何 階可逆矩陣階可逆矩陣 都有都有為正定矩陣為正定矩陣 (3) 的的 個特征值都大于零個特征值都大于零 (4) 存在存在 階可逆矩陣階可逆矩陣 使得使得 (5) 存在存在 階可

57、逆矩陣階可逆矩陣 使得使得 (6) 存在正線上三角矩陣存在正線上三角矩陣 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.例例 1 : 設(shè)設(shè) 是一個正定的是一個正定的H-陣陣, 且又是酉矩且又是酉矩陣陣, 則則證明證明: 由于由于 是一個正定是一個正定H-陣陣, 所以必存在所以必存在()f XnPHP APAnnPHP APInQHAQ QRHAR RAAIA第109頁/共134頁第一百一十頁，編輯于星期二：十點 二十六分。酉矩陣酉矩陣 使得使得由于由于 又是酉矩陣又是酉矩陣, 所以所以12,0HinAUURn nUUA1i第110頁/共134頁第一百一十一頁，編輯于星期二：十點 二十六分。這

58、樣必有這樣必有 , 從而從而例例 2 : 設(shè)設(shè) 是一個正定的是一個正定的H-陣陣, 是一是一個反個反H-陣陣, 證明證明: 與與 的特征值實部的特征值實部為零為零. 證明證明: 設(shè)設(shè) 為矩陣的任意一個特征值為矩陣的任意一個特征值, 那么那么有有 . 由于由于 是一個正定是一個正定H-陣陣, 所以存在可逆矩陣所以存在可逆矩陣 使得使得將其代入上面的特征多項式有將其代入上面的特征多項式有1iAIABABBA0IABAQHAQ Q第111頁/共134頁第一百一十二頁，編輯于星期二：十點 二十六分。1110()()()HHHHHHHHHHIABIQ QBQQQ QBQQQIQBQQIQBQ這說明這說明

59、 也是矩陣也是矩陣 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩陣面注意矩陣 為為H-反陣反陣, 從而從而 實部為實部為零零.同樣可以證明另一問同樣可以證明另一問. HQBQHQBQ第112頁/共134頁第一百一十三頁，編輯于星期二：十點 二十六分。例例 3 : 設(shè)設(shè) 是一個正定的是一個正定的H-陣陣, 是一個是一個反反H-陣陣, 證明證明: 是可逆矩陣是可逆矩陣.證明證明: 由于由于 是一個正定是一個正定H-陣陣, 所以存在可所以存在可逆矩陣逆矩陣 使得使得這表明這表明 是可逆的是可逆的. 于是于是另一方面注意矩陣另一方面注意矩陣 仍然為正定仍然為正定H-陣陣, 而而矩陣矩陣 為為H-反陣反陣,

60、 由上面的例題結(jié)論可知由上面的例題結(jié)論可知ABABAQHAQ QA11ABAAA BA IA B1AB第113頁/共134頁第一百一十四頁，編輯于星期二：十點 二十六分。矩陣矩陣 的特征值實部為零的特征值實部為零, 那么矩陣那么矩陣的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 從而從而1AB1IAB10IAB定理定理: 對于給定的對于給定的Hermite二次形二次形下列敘述是等價的下列敘述是等價的: (1) 是半正定的是半正定的()Hf XXAX()f X第114頁/共134頁第一百一十五頁，編輯于星期二：十點 二十六分。(2) 對于任何對于任何 階可逆矩陣階可逆矩陣 都有都有為半正定矩陣為半正