第3章 運(yùn)動(dòng)的守恒定律(尹玲)

1、81,22,23,34,36,42,43,46,49,51P 一一 理解理解動(dòng)量、沖量概念動(dòng)量、沖量概念, 掌握掌握動(dòng)量定理和動(dòng)量動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律守恒定律 . 三三 掌握掌握功的概念功的概念, 能計(jì)算變力的功能計(jì)算變力的功, 理解保守理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念, 會(huì)計(jì)算萬(wàn)有引力、重力會(huì)計(jì)算萬(wàn)有引力、重力和彈性力的勢(shì)能和彈性力的勢(shì)能 . 四四 掌握掌握動(dòng)能定理動(dòng)能定理 、功能原理和機(jī)械能守恒定、功能原理和機(jī)械能守恒定律律, 掌握掌握運(yùn)用守恒定律分析問(wèn)題的思想和方法運(yùn)用守恒定律分析問(wèn)題的思想和方法 . 五五 了解了解完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的特點(diǎn)完全彈性碰撞

2、和完全非彈性碰撞的特點(diǎn) . 二二 理解理解角動(dòng)量、沖量矩概念角動(dòng)量、沖量矩概念, 掌握掌握角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律 .質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式的微分形式212121dttF tppmmvv3.1.1 沖量沖量 動(dòng)量動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理 動(dòng)量動(dòng)量pmvdd(ddpmFttv)ddd ()F tpmv 沖量沖量 力對(duì)時(shí)間的積分（矢量）力對(duì)時(shí)間的積分（矢量）21dttIF t3.1 動(dòng)量動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式的積分形式 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 在給定的時(shí)間內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)在給定的時(shí)間內(nèi)，外力作用在

3、質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量 .212121dttF tppmmvvxyzII iI jI k 分量形式分量形式212121212121dddtxxxxttyyyyttzzzztIF tmmIF tmmIF tmmvvvvvv 例例 1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為0.05kg、速率為、速率為10ms-1的剛球的剛球,以與以與鋼板法線呈鋼板法線呈45角的方向撞擊在鋼板上角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率并以相同的速率和角度彈回來(lái)和角度彈回來(lái) .設(shè)碰撞時(shí)間為設(shè)碰撞時(shí)間為0.05s.求在此時(shí)間內(nèi)鋼板所求在此時(shí)間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力受到的平均沖力 .1vm

4、2vmxy解解 建立如圖坐標(biāo)系建立如圖坐標(biāo)系, 由動(dòng)量定理得由動(dòng)量定理得cos2 vm0sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 軸反向軸反向xxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv 例例 如圖所示，一圓錐擺擺球質(zhì)量為如圖所示，一圓錐擺擺球質(zhì)量為m，以勻速，以勻速v在在水平面內(nèi)作圓周水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),圓半徑為圓半徑為R。求擺球繞行一周過(guò)程中繩張。求擺球繞行一周過(guò)程中繩張力的沖量力的沖量解解 以擺球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力情況如圖以擺球?yàn)檠芯繉?duì)象，其受力情況如圖所示。其中所示。其中G為重力，為重力，T為繩的張力。對(duì)為繩的張力。對(duì)擺球應(yīng)用動(dòng)量

5、定理有：擺球應(yīng)用動(dòng)量定理有： GTIIP 0P TGII 擺球繞行一周時(shí)，有擺球繞行一周時(shí)，有,故有故有即擺球繞行一周時(shí)，張力的總沖量與重力的總沖即擺球繞行一周時(shí)，張力的總沖量與重力的總沖量大小相等，方向相反。量大小相等，方向相反。取如圖所示坐標(biāo)系，重力的沖量的方向沿取如圖所示坐標(biāo)系，重力的沖量的方向沿y軸負(fù)方向，張力的軸負(fù)方向，張力的沖量大小可以通過(guò)計(jì)算重力的沖量求得。擺球繞行一周所需時(shí)沖量大小可以通過(guò)計(jì)算重力的沖量求得。擺球繞行一周所需時(shí)間為間為2 RTv022tGRmRgImgdtmgvv2TmRgIv擺球繞行一周重力的沖量大小為擺球繞行一周重力的沖量大小為 故繩中張力的沖量大小為故繩中

6、張力的沖量大小為其方向沿其方向沿y軸正向軸正向.質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系3.1.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1m2m12f21f1F2F 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量系統(tǒng)動(dòng)量的增量.21011dnntiiiitiiF tmmvv21121 1221 10220()d()()ttFFtmmmmvvvv2122122220()dttFftmmvv211121 11 10()dttFftmmvv因?yàn)閮?nèi)力因?yàn)閮?nèi)力 ，故，故12210ff0Ipp注意注意內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量?jī)?nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量gbm2m000bgvv初始速度初始速度

7、則則00pbgvv20p推開(kāi)后速度推開(kāi)后速度 且方向相反且方向相反 則則推開(kāi)前后系統(tǒng)動(dòng)量不變推開(kāi)前后系統(tǒng)動(dòng)量不變0pp 例例 一柔軟鏈條長(zhǎng)為一柔軟鏈條長(zhǎng)為l,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 .鏈條放鏈條放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周圍堆在小孔周圍.由于某種擾動(dòng)由于某種擾動(dòng),鏈條因自身重量開(kāi)始落下鏈條因自身重量開(kāi)始落下 .求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系 . 設(shè)鏈與各處的設(shè)鏈與各處的摩擦均略去不計(jì)摩擦均略去不計(jì),且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi)且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi) . 解解 以豎

8、直懸掛的鏈條以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo)由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得ddF tpm1m2Oyy1Fm gyg則則則則tddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ddF tp 若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零 則系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，即則系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，即 保持不變保持不變 .0iiFFiipp3.1.3 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律 1）系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系

9、統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系）系統(tǒng)的動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的統(tǒng)內(nèi)任一物體的動(dòng)量是可變的, 各物體的動(dòng)量必相各物體的動(dòng)量必相 對(duì)于同一慣性參考系對(duì)于同一慣性參考系 . 2）守恒條件）守恒條件 合外力為零合外力為零 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可時(shí)，可 略去外力的作用略去外力的作用, 近似地近似地認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒認(rèn)為系統(tǒng)動(dòng)量守恒 . 例如在碰撞例如在碰撞, 打擊打擊, 爆炸等問(wèn)題中爆炸等問(wèn)題中. 0iiFFFf3）若某一方向合外力為零）若某一方向合外力為零, 則此方向動(dòng)量守恒則此方向動(dòng)量守恒 . 4） 動(dòng)量守恒定律只在慣性參考系中成立動(dòng)量守恒定律只在慣性參考系中成立, 是自是自然界最普遍，最

10、基本的定律之一然界最普遍，最基本的定律之一 .0,0,0,xxiixxyyiiyyzziizzFpmCFpmCFpmCvvv守恒例二續(xù)例二例例: 光滑水平面上放有一質(zhì)量為光滑水平面上放有一質(zhì)量為M的三棱柱體，其上又放一質(zhì)量的三棱柱體，其上又放一質(zhì)量為為m的小三棱柱體它們的橫截面都是直角三角形，的小三棱柱體它們的橫截面都是直角三角形，M的水平直的水平直角邊的邊長(zhǎng)為角邊的邊長(zhǎng)為a。m的水平直角邊的邊長(zhǎng)為的水平直角邊的邊長(zhǎng)為b，兩者的接觸面，兩者的接觸面(傾傾角為角為)亦光滑。設(shè)它們由靜止開(kāi)始滑動(dòng)，求當(dāng)亦光滑。設(shè)它們由靜止開(kāi)始滑動(dòng)，求當(dāng)m的下邊緣滑到水的下邊緣滑到水平面時(shí)，平面時(shí)，M在水平面上移動(dòng)的

11、距離在水平面上移動(dòng)的距離.0 xxmvMVxxxvvVxVxv 解解 由于水平方向所受外力為零，故由于水平方向所受外力為零，故M與與m組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)m和和M沿水平方向的速度分別為沿水平方向的速度分別為和和則則由相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系有由相對(duì)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系有xv都是相對(duì)地面的。設(shè)都是相對(duì)地面的。設(shè)m相對(duì)斜面下滑的速度為相對(duì)斜面下滑的速度為xV由于動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系，所以這里的速度由于動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系，所以這里的速度和和xv()0 xxmvMm V00()0ttxxm v dtMmV dt0txv dtab可得可得設(shè)小三棱柱設(shè)小三棱柱m從頂端

12、到地面的時(shí)間為從頂端到地面的時(shí)間為t，上式兩邊乘以，上式兩邊乘以dt并積分有并積分有 0txV dtx 顯然，顯然，即為，即為M在時(shí)間在時(shí)間t內(nèi)在水平面上移動(dòng)的距離。而內(nèi)在水平面上移動(dòng)的距離。而()()0m abMmx 則有則有 ()()m abxMm 所以所以 負(fù)號(hào)表示負(fù)號(hào)表示M的移動(dòng)方向與的移動(dòng)方向與x軸正方向相反。軸正方向相反。3.2 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理N個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）的質(zhì)心位置個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）的質(zhì)心位置3.2.1 質(zhì)心質(zhì)心xyzmiOm212,.inm mmm12,.inrrrrcr 1limdNiiNicr mr mrMM質(zhì)量連續(xù)分布的系統(tǒng)的質(zhì)心位置質(zhì)量

13、連續(xù)分布的系統(tǒng)的質(zhì)心位置m1111NNi ii iiiNiim rm rMmir1rCr例例 已知一半圓環(huán)半徑為已知一半圓環(huán)半徑為 R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M解解 建坐標(biāo)系如圖建坐標(biāo)系如圖yxO dmd ddlRddMmRRcos sinx RyR0cx0sindd2cMRRy mRRyMM取取 dldm = dl幾何對(duì)稱性幾何對(duì)稱性(1) 彎曲鐵絲的質(zhì)心并不在鐵絲上彎曲鐵絲的質(zhì)心并不在鐵絲上(2) 質(zhì)心位置只決定于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和質(zhì)量分布情況，與質(zhì)心位置只決定于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量和質(zhì)量分布情況，與其它因素?zé)o關(guān)其它因素?zé)o關(guān)說(shuō)明說(shuō)明求求 它的質(zhì)心位置它的質(zhì)心位置3.2.2 3.2.2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

14、質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度ddddiiccrmrtvtM 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)集中整個(gè)系統(tǒng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，該質(zhì)點(diǎn)集中整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)量，質(zhì)量，并集中系統(tǒng)受的外力并集中系統(tǒng)受的外力（2）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決系統(tǒng)所受外力，內(nèi)力不能使質(zhì)心產(chǎn)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決系統(tǒng)所受外力，內(nèi)力不能使質(zhì)心產(chǎn)生加速度生加速度（1）質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)：說(shuō)明說(shuō)明兩邊再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)兩邊再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù),有有22ciciidvd rMMamdtdt由牛頓第二定律由牛頓第二定律,對(duì)第對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn),有有22iiiid rFFmdt外內(nèi)對(duì)對(duì)i求和求和,并由牛頓第三定律可得并由牛頓第三定律可得ciiFFMa外0ddtacxcxvMmMxmxxc

15、21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls例例 如圖所示，人與船構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系，當(dāng)人從船頭走到船尾如圖所示，人與船構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)系，當(dāng)人從船頭走到船尾 解解 在水平方向上，外力為零，則在水平方向上，外力為零，則開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心位置開(kāi)始時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心位置 終了時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心位置終了時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心位置 )() (1122xxmxxMx2x1xx1x2O求求 人和船各移動(dòng)的距離人和船各移動(dòng)的距離ccxx解得解得SSl v3.3.1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量LrprmvvrLLrpmo 質(zhì)點(diǎn)以角速度質(zhì)點(diǎn)以角速度 作半徑作半徑為為 的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量角動(dòng)量r2LmrLrxyzom 質(zhì)量

16、為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以速度的質(zhì)點(diǎn)以速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量mrvsinLrmv大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則.L3.3 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的位矢有關(guān)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的位矢有關(guān).同一質(zhì)同一質(zhì)點(diǎn)對(duì)不同的固定點(diǎn)的位矢不同點(diǎn)對(duì)不同的固定點(diǎn)的位矢不同,因而角動(dòng)量也不同因而角動(dòng)量也不同.(在在講角動(dòng)量時(shí)講角動(dòng)量時(shí),必須指明是對(duì)那一給定點(diǎn)而言的必須指明是對(duì)那一給定點(diǎn)而言的)說(shuō)明說(shuō)明例例 一質(zhì)點(diǎn)一質(zhì)點(diǎn)m，速度為

17、，速度為v，如圖，如圖所示，所示，A、B、C 分別為三分別為三個(gè)參考點(diǎn)個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)此時(shí)m 相對(duì)三個(gè)相對(duì)三個(gè)點(diǎn)的距離分別為點(diǎn)的距離分別為d1 、d2 、 d3求求 此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩動(dòng)量矩)1ALdmv1BLd mv0CL解解md1d2 d3ABCv在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,角動(dòng)量在各坐標(biāo)軸上的分量為角動(dòng)量在各坐標(biāo)軸上的分量為xzyyxzzyxLyPzPLzPxPLxPyP角動(dòng)量的單位角動(dòng)量的單位: 千克二次方米每秒千克二次方米每秒21kg ms?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(ddddtLMdd 作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)作

18、用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的力矩的力矩 ，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的的角角動(dòng)量動(dòng)量隨時(shí)間的隨時(shí)間的變化率變化率.FrtprtLdddd0,ddptrvv3.3.2 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律prL力矩力矩續(xù)4是力矩的矢量表達(dá)：而即力矩大小方向垂直于所決定的平面，由右螺旋法則定指向。得質(zhì)點(diǎn) 對(duì)給定參考點(diǎn) 的角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的微分形式 如果各分力與如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。 質(zhì)點(diǎn)所受

19、對(duì)參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn) O 的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)參考點(diǎn) O 的角動(dòng)量為一恒矢量的角動(dòng)量為一恒矢量. LM,0 恒矢量恒矢量 沖量矩沖量矩tMttd21 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)：對(duì)同一參考點(diǎn) O ，質(zhì)點(diǎn)所受，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量.12d21LLtMtt 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律:tLMdd說(shuō)明說(shuō)明(1) 沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量角動(dòng)量)變化的原因變化的原因(2) 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量角動(dòng)量)的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果 例例1

20、 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)一質(zhì)量為量為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動(dòng)并可在圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開(kāi)始小球開(kāi)始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心 O 的水平面上的水平面上),然后從然后從 A 點(diǎn)開(kāi)始下滑點(diǎn)開(kāi)始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì)設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計(jì).求求小球滑到點(diǎn)小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角動(dòng)量和角速度的角動(dòng)量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩為零支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里重力矩垂直紙面向里由質(zhì)

21、點(diǎn)的角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理cosmgRM tLmgRddcostLmgRddcostmgRLdcosd考慮到考慮到2,ddmRmRLtvdcosd32gRmLL得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式0320dcosdgRmLLL2123)sin2(gmRL 21)sin2(Rg2mRL 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量慣性系中某給定參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理將對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點(diǎn)內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和稱為微分形式續(xù)12將對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消內(nèi)內(nèi)外外某給定參考點(diǎn)內(nèi)外外內(nèi)外得外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的

22、矢量和稱為微分形式外質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動(dòng)量增量的積分形式 若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動(dòng)量或力矩只含正反若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動(dòng)量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。兩種方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律外由若則或恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩為零時(shí)，其角動(dòng)量守恒。同高從靜態(tài)開(kāi)始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量得不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量

23、不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。3.4 功功 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理3.4.1 3.4.1 功功 cosWF r變力的功變力的功dWd cosF r空間積累：功空間積累：功時(shí)間積累：沖量時(shí)間積累：沖量F研究力在空間的積累效應(yīng)研究力在空間的積累效應(yīng) 功、動(dòng)能、功、動(dòng)能、勢(shì)能、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律。勢(shì)能、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律。 W Fr xyzOab求質(zhì)點(diǎn)求質(zhì)點(diǎn)M 在變力作用下，沿曲線在變力作用下，沿曲線軌跡由軌跡由a 運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到b，變力作的功，變力作的功dWdF r 一段上的功：一段上的功：FMFrdrrdr 在在drMF Mabr恒力的功恒力的功在直角坐標(biāo)系中在直角

24、坐標(biāo)系中 dddbxyza LWF xFyF z（）說(shuō)明說(shuō)明(1) 功是標(biāo)量，且有正負(fù)功是標(biāo)量，且有正負(fù)(2) 合力的功等于各分力的功的代數(shù)和合力的功等于各分力的功的代數(shù)和 cos dba LWFsdbaLWFr 12dddbbbna La La LFrFrFr在在ab一段上的功一段上的功F在自然坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中ddrs12nW WW 1d() dbbaLaLWF rF FFr 2n(3) 一般來(lái)說(shuō)，功的值與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)一般來(lái)說(shuō)，功的值與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān) 力的功率功算例動(dòng)能定理續(xù)定理功能例一保守力 保守力做功的大小，只與運(yùn)動(dòng)物體的始 末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。 非保守力做功的大小，

25、不僅與物體的始 末位置有關(guān)，而且還與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。保守力3.3.1 3.5.1 保守力與非保守力保守力與非保守力 勢(shì)勢(shì)能能勢(shì)能定義初態(tài)初態(tài)勢(shì)能勢(shì)能末態(tài)末態(tài)勢(shì)能勢(shì)能保守力做正功，物體系的勢(shì)能減少；保守力做正功，物體系的勢(shì)能減少；保守力做負(fù)功，物體系的勢(shì)能增加。保守力做負(fù)功，物體系的勢(shì)能增加。通常寫成通常寫成初態(tài)初態(tài)勢(shì)能勢(shì)能末態(tài)末態(tài)勢(shì)能勢(shì)能勢(shì)能性質(zhì)3.5.2 常見(jiàn)保守力的功及其勢(shì)能形式常見(jiàn)保守力的功及其勢(shì)能形式引力的功續(xù)引力功彈力的功彈彈彈小結(jié)勢(shì)能曲線為勢(shì)能零點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)選地面選地面：離地面高度離地面高度為勢(shì)能零點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)選選為勢(shì)能零點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)選無(wú)形變處選無(wú)形變處 成對(duì)力的功成對(duì)力的功

26、系統(tǒng)內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)1122221221()dWfdrfdrfd rrfdr一對(duì)力所做的功，等于一對(duì)力所做的功，等于其中一個(gè)物體所受的力其中一個(gè)物體所受的力沿兩個(gè)物體相對(duì)移動(dòng)的沿兩個(gè)物體相對(duì)移動(dòng)的路徑所做的功。路徑所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f21dr2dr221BABAWf dr3.6 功能原理功能原理 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，各質(zhì)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為點(diǎn)的質(zhì)量分別為12,nm mm對(duì)各質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理，有對(duì)各質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理，有機(jī)械能.功能原理功能原理 若某一過(guò)程中外力和非保守內(nèi)力都不對(duì)若某一過(guò)程中外力和非

27、保守內(nèi)力都不對(duì)系統(tǒng)做功，或這兩種力對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和系統(tǒng)做功，或這兩種力對(duì)系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，則系統(tǒng)的機(jī)械能在該過(guò)程中保持不變。為零，則系統(tǒng)的機(jī)械能在該過(guò)程中保持不變。 例例2 一質(zhì)量一質(zhì)量 的登月飛船的登月飛船, 在離在離月球表面高度月球表面高度 處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng).飛船飛船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 當(dāng)飛船位于點(diǎn)當(dāng)飛船位于點(diǎn) A 時(shí)時(shí),它向外側(cè)短它向外側(cè)短時(shí)間噴氣時(shí)間噴氣 , 使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn)使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn) B , 且且OA 與與 OB 垂直垂直 . 飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為 . 已知已知月球半徑月球半徑 ;

28、在飛船登月過(guò)程中在飛船登月過(guò)程中,月球的月球的重力加速度視為常量重力加速度視為常量 .試問(wèn)登月飛船在登月過(guò)程試問(wèn)登月飛船在登月過(guò)程中所需消耗燃料的質(zhì)量中所需消耗燃料的質(zhì)量 是多少是多少?m0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g 解解 設(shè)飛船在點(diǎn)設(shè)飛船在點(diǎn) A 的的速度速度 , 月球質(zhì)量月球質(zhì)量 mM ,由萬(wàn)有引力和牛頓定律由萬(wàn)有引力和牛頓定律0vhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 0vAvBBvuvhORAkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm1700R2sm62. 1g已知已知求求

29、所需消耗燃料的質(zhì)量所需消耗燃料的質(zhì)量 .m得得12120sm1612)(hRgRv21)(220vvvARmhRmBvv)(01sm1709)(RhR0Bvv得得 當(dāng)飛船在當(dāng)飛船在A點(diǎn)以相對(duì)速度點(diǎn)以相對(duì)速度 向外噴氣的短時(shí)間里向外噴氣的短時(shí)間里 , 飛船的飛船的質(zhì)量減少了質(zhì)量減少了m 而為而為 , 并獲得并獲得速度的增量速度的增量 , 使飛船的速度使飛船的速度變?yōu)樽優(yōu)?, 其值為其值為vAvmu質(zhì)量質(zhì)量 在在 A 點(diǎn)和點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用點(diǎn)只受有心力作用 , 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒m0vAvBBvuvhORA飛船在飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后點(diǎn)噴出氣體后, 在到在到達(dá)月球的過(guò)程中達(dá)月球的過(guò)程中,

30、 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒21)(220vvvA1sm1709BvRmmGhRmmGMM2B2Avmvm2121RmGhRmGMM222B2Avv即即1sm1615Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv0vAvBBvuvhORA功能例二力勢(shì)關(guān)系 勢(shì)能是標(biāo)量，保守勢(shì)能是標(biāo)量，保守力是矢量。兩者之間力是矢量。兩者之間是否存在某種普遍的是否存在某種普遍的空間關(guān)系？空間關(guān)系？ 普遍關(guān)系三維空間中某質(zhì)點(diǎn)在保守力三維空間中某質(zhì)點(diǎn)在保守力 作用下勢(shì)能發(fā)生微變作用下勢(shì)能發(fā)生微變碰撞系統(tǒng)動(dòng)量彈性碰撞完全非彈碰非彈碰恢復(fù)系數(shù)正碰例題斜碰例題斜碰：兩粒子不是沿它們的中心連線發(fā)生

31、碰撞。 若斜碰為彈性碰撞，且粒子系統(tǒng)所受外力若斜碰為彈性碰撞，且粒子系統(tǒng)所受外力可以忽略，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒?？梢院雎?，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒、動(dòng)能守恒。續(xù)373.8 能量守恒定律能量守恒定律 能量不能消失，也不能創(chuàng)造，只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一能量不能消失，也不能創(chuàng)造，只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。對(duì)一個(gè)封閉系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，不論發(fā)生何種變化，各種種形式。對(duì)一個(gè)封閉系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，不論發(fā)生何種變化，各種形式的能量可以互相轉(zhuǎn)換，但它們總和是一個(gè)常量。這一形式的能量可以互相轉(zhuǎn)換，但它們總和是一個(gè)常量。這一結(jié)論稱為能量轉(zhuǎn)換和守恒定律。結(jié)論稱為能量轉(zhuǎn)換和守恒定律。 3. 機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)內(nèi)的體現(xiàn) 1. 能量守恒定律可以適用于任何變化過(guò)程能量守恒定律可以適用于任何變化過(guò)程 2. 功是能量交換或轉(zhuǎn)換的一種度量功是能量交換或轉(zhuǎn)換的一種度量例如：