高階偏導(dǎo)數(shù)及泰勒公式PPT課件

1、).,(),(),(yxfyxfyxfzyx的偏導(dǎo)數(shù)為設(shè)由于它們還是 x, y 的函數(shù). 因此, 可繼續(xù)討論.),(),(的偏導(dǎo)數(shù)yxfyxfyx一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)第1頁(yè)/共81頁(yè), .),(),( .),( 則記還可偏導(dǎo)若內(nèi)可偏導(dǎo)在區(qū)域設(shè)yxfyxfDyxfzyx xfyyxfyxzxy),(2,),(22 xfxyxfxzxx第2頁(yè)/共81頁(yè),),(22 yfyyxfyzyy yfxyxfxyzyx),(2稱(chēng)為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). .),(),( 為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)yxfyxfyxxy 第3頁(yè)/共81頁(yè)類(lèi)似, 可得三階, 四階, , n 階偏導(dǎo)數(shù).則記可偏導(dǎo)若

2、如, ,22xz,2233xzxxz.,2223等等xzyyxz第4頁(yè)/共81頁(yè)例1., 3sin3322xzyxyxz求全部二階偏導(dǎo)和設(shè)解:, 122xyxz.cos22yyxyz,2222yxz,42xyxyz. 033xz,sin2222yxyz.42xyyxz第5頁(yè)/共81頁(yè). ,122xyzyxz有中在例若不是, 那么滿(mǎn)足什么條件時(shí), 二階混合偏導(dǎo)數(shù)才相等呢?問(wèn)題: 是否任何函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等?第6頁(yè)/共81頁(yè)若 z = f (X) = f (x, y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù), ,)(),(,0000022連續(xù)且它們?cè)趦?nèi)存在的某鄰域在XXUyxXxyfyxf則xyXfyxXf)()

3、(0202定理1第7頁(yè)/共81頁(yè)分析. 按定義,),(),(lim),(0 xyxfyxxfyxfxx,),(),(lim),(0yyxgyyxgyxgyy),(yxfxy yxyxf),(,),(),(lim0yyxfyyxfxxy第8頁(yè)/共81頁(yè)yy1lim0 xyyxfyyxxfx),(),(lim0 xyxfyxxfx),(),(lim0),(),(11limlim00yyxfyyxxfxyxy),(),(yxfyxxf第9頁(yè)/共81頁(yè)),(,00yxfxy 故 ),(1limlim0000yyxxfyxxyf (x0 , y0 +y) f (x0 +x , y0) + f (x0 ,

4、 y0)同理),(00yxfyx ),(1limlim0000yyxxfyxyxf (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)第10頁(yè)/共81頁(yè)證證: 分別給 x, y 以改變量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)內(nèi).記 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0)(x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0), 有 A = (x0 +x) (x0)第11頁(yè)/共81頁(yè).)(,)(

5、00存在在從而內(nèi)存在在因XUfXUfxxy 即(x) 在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo), 故滿(mǎn)足拉格郎日中值定理?xiàng)l件.因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0), A = (x0 +1x) x,),(),(010010 xyxxfyyxxfxx. 10 ,1其中第12頁(yè)/共81頁(yè)再對(duì)變量 y 用拉格朗日中值定理. 得. 1,0 ,),(212010 yxyyxxfAxy另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y ) f (x0+x, y0) f (x0 , y0)記 (y) = f (x0 +x , y) f (x

6、0 , y),從而xyxxfyyxxfAxx),(),(010010第13頁(yè)/共81頁(yè)A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理)yyyxfyyxxfyy),(),(300300. 1,0 ,),(433040yxyyxxfyxyyy)(30第14頁(yè)/共81頁(yè)故),(),(30402010yyxxfyyxxfyxxy ,),(, . 0, 000有連續(xù)在因令yxffyxyxxy ),(),(0000yxfyxfyxxy yxyyxxfAxy ),(2010yxyyxxfAyx),(3040第15頁(yè)/共81頁(yè)1.定理1的結(jié)果可推廣到更高階的混合偏導(dǎo)的情形. 同時(shí)可推廣到二元以上的函數(shù)

7、情形. 即,若混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 則混合偏導(dǎo)相等(即求混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)).注第16頁(yè)/共81頁(yè)2.若多元函數(shù) f (X)在區(qū)域 D內(nèi)有(直到) k 階連續(xù)偏導(dǎo). 則記為 f (X)Ck (D). k為非負(fù)整數(shù).若 f (x, y)Ck (D), 則不論求導(dǎo)順序如何, 只要是對(duì) x 求導(dǎo) m 次, 對(duì) y 求導(dǎo) k m 次, 都可寫(xiě)成)( , ,kyxmkmkmkmfyxf或第17頁(yè)/共81頁(yè)例2. ., .d)sin(d)(d),(),(2bayxbyxxayxuyxyxuu求常數(shù)處的全微分在任何點(diǎn)設(shè)解:.sin ,2xbyxuayxuyx有均可導(dǎo)知,yxuu).( ,sin1 ),( ,

8、連續(xù)連續(xù)xbuauyxxy yxxyuuyx 有在任何點(diǎn)從而),(,.sin1 axb即比較知 a = 1, b = 0.第18頁(yè)/共81頁(yè)),( ,:2為積分變量以積分由本題也可xayxux).(31 3ycaxyxu得).( ycaxuy從而. 0, 1sin baxbyxuy比較可得與第19頁(yè)/共81頁(yè)例3. 解: 設(shè) u=x+y+z, v=xyz,. , ),(22zxwCfxyzzyxfw求設(shè)從而 w = f (u, v)是x , y , z,的復(fù)合函數(shù). 由鏈?zhǔn)椒▌t.第20頁(yè)/共81頁(yè)yzffxw 211).,(),(21xyzzyxfyzxyzzyxf注意：.,),(),(111

9、的復(fù)合函數(shù)仍是zyxxyzzyxfvuff,21再求偏導(dǎo)時(shí)以及對(duì) ff還要用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)求.第21頁(yè)/共81頁(yè))(212fyzzzfzxw 11 zuf zvf12zfyzf y2221211f yfxyf yz1(21 f)22xyf ).( .)(211222221211fff yf zxyfyzxyf ),(),(111xyzzyxfvuff),(),(222xyzzyxfvuff第22頁(yè)/共81頁(yè)例4. 解:. .),(222yxwCfxyyxfw求設(shè) 2212xyfxyfxw.2221fxyfxy., 21求導(dǎo)時(shí)要用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)它們的復(fù)合函數(shù)仍是注意yxffyfxyfxyfxyf xyx

10、w2222112122第23頁(yè)/共81頁(yè)xyfxf x212221211(xf )112xf 2xy221(xf )122xf 22312113221212fxyf yf yxfxf x . 2112ff 其中yfxyfxyfxyf xyxw2222112122),(2xyyxfw 第24頁(yè)/共81頁(yè)例5. 解: (1). ,tg),(2222xzezyxyxzzz求所確定由方程設(shè)zezyxzyxFtg),(22記由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,zxFFxz,2xFx有從而,zexxzz2sec2.sec2zzezF第25頁(yè)/共81頁(yè)(2)上式兩端對(duì) x 求偏導(dǎo). 此時(shí)右邊的z看作 x 的的函數(shù). y要看作

11、常數(shù).222)sec()tgsecsec2(2)sec(2zezzzzzexzezzxxzzxx 有zexxzz2sec22222)sec()tgsec2(2)sec(2zezzzexzezxzz322222)sec()tgsec2(4)sec(2zezzexzezzz第26頁(yè)/共81頁(yè)例6. 設(shè)方程組解: (1)先求一階偏導(dǎo). 2. 12222vuyxvuyx., 22xuxvxu求注意, u, v 看作 x, y 的函數(shù).得022201xvvxuuxxvxu方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo).xvvuuvuxxxx1 ,即第27頁(yè)/共81頁(yè)xvvuuvuxxxx1, 11 uvvuDvxvxD 11 1

12、, 11 2xuxuD從而,uvxuxvuvvxDDxu ,1第28頁(yè)/共81頁(yè)(2), ,uvxuxvuvvxxu從而,xuvvxxu222)()()(1 (uvuvvxuvvxxx2)()()(1uvuvvxuvxuvxuvuvxu32)()2)()(2uvxvuvxuvxuv第29頁(yè)/共81頁(yè)例7. 設(shè)u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 . 0,1xCfdxdu其中求解:u = f (x, x3, z) (x2, 3lnx, z) = 0易見(jiàn) z, u均 x 的函數(shù), 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù).xxzffxfu 322131032321 xzxx

13、第30頁(yè)/共81頁(yè)得321232xxzx從而33212221323fxxfxfux第31頁(yè)/共81頁(yè)和一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)也有高階微分的概念. 我們只介紹二元函數(shù)的高階微分.,.d),(d),(d,),( 的函數(shù)仍是則可微設(shè)yxyyxfxyxfzyxfzyx若 dz 還可微, 則記 d2z = d(dz), 稱(chēng)為z 的二階微分.,d1),(, 1可微且仍存在階微分的若一般zkyxfzk.),d(dd1階微分的稱(chēng)為則記kzzzkk 二、高階微分二、高階微分第32頁(yè)/共81頁(yè)下邊推導(dǎo) z 的 k 階微分的計(jì)算公式.設(shè)以 x, y 為自變量為自變量 的函數(shù) z = f (x, y)Ck .由于x

14、, y 為自變量,故dx = x, dy = y,與 x, y 的取值無(wú)關(guān).yyxfxyxfzyxd),(d),(d 有固定x, y, (即將它們看作常數(shù)), 求dz的微分.).(),(, .d, 2二階可微存在二階微分則若即可微存在連續(xù)偏導(dǎo)時(shí)當(dāng)易見(jiàn)yxfzCfzffyx第33頁(yè)/共81頁(yè)且 d2z = d(dz)d),(d),(dyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyxfxyxfyxyyxfxyxfyxd),(dd),(dyyyxfxyxfxyyxfxyxfyyyxxyxxdd),(d),( dd),(d),( 2222222ddd2dyyzyxyxzxxz第34頁(yè)/共81頁(yè).,存在三

15、階微分存在連續(xù)偏導(dǎo)時(shí)當(dāng)易見(jiàn)zfffyyxyxx 記zyyxxyyzxxzdddd.),(,3形式將更加繁雜但其存在三階微分則即若yxfzCf引進(jìn)記號(hào).這相當(dāng)于規(guī)定了 將字母 z 移到括號(hào)外 的方法。第35頁(yè)/共81頁(yè)實(shí)際上，確定了一個(gè)映射。yyzxxzdd它把C1中的每一個(gè)z, 通過(guò)上述運(yùn)算, 映成了dz.ddd ,1yyzxxzzCz即若記這個(gè)映射為g , yyzxxzzgddd(z).ddzyyxx則第36頁(yè)/共81頁(yè)比較兩端式子, 可看出,.dd)(zyyxxzg.ddgyyxx就是我們的映射不過(guò)是用一個(gè)我們陌生的式子yyxxdd來(lái)代替字母 g 而已.gyyxxdd即, 我們把這個(gè)映射稱(chēng)

16、為一階微分算子.第37頁(yè)/共81頁(yè)zyyyxyxxxyyzyxyxzxxz22222222222222ddd2dddd2d .:2yxyxyx的乘積與形式上規(guī)定,222xxxx,222yyyy類(lèi)似, 記第38頁(yè)/共81頁(yè)并規(guī)定:.2222yxyxyx,2yxabybxa.2222222axxaxa第39頁(yè)/共81頁(yè)22222222ddd2d zd yyzyxyxzxxz則zyyxx2ddzyyyxyxxx2222222ddd2d第40頁(yè)/共81頁(yè).dd2為二階微分算子稱(chēng)映射yyxx)d(ddd 2zzyyxx由于)(zgg故, 二階微分算子實(shí)際上就是一階微分算子 g 復(fù)合二次. 只不過(guò)這種復(fù)合

17、運(yùn)算在上述規(guī)定下, 可以看作是一階微分算子.dd的平方而已yyxx第41頁(yè)/共81頁(yè)一般, 若形式上規(guī)定.SLSLSSLLyxyx.)(SLSLSLSLSLSLyxbayxbyxaLLLxx第42頁(yè)/共81頁(yè)zyyxxzkkdd d 則zyxyxCkiikiikikiiik0ddkiikiikikikyxyxzC0ddzyyxxCkiikiik0dd第43頁(yè)/共81頁(yè)(1) 當(dāng) z = f (x, y)Ck 時(shí), z 有 k 階微分.(2) .dd 是一種運(yùn)算符號(hào)kyyxx只有把它按上述規(guī)定, 展開(kāi)后, 再將各項(xiàng) 乘以 z (即, 將 z 補(bǔ)寫(xiě)在 k 后面), 一切記號(hào)才回復(fù)到導(dǎo)數(shù)和微分的意義

18、.注第44頁(yè)/共81頁(yè)(3) .dd 階微分算子為稱(chēng)kyyxxk它本質(zhì)上是一個(gè)映射. 它將 Ck 中的元素 z 映成 dk z . (4) 若 x, y 不是自變量, dk z 一般不具有上述形式.第45頁(yè)/共81頁(yè)1 18 8方向?qū)?shù)第46頁(yè)/共81頁(yè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率.比如, y = f (x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如圖. ., 平均變化率即就是平均改變量是函數(shù)改變量其中xyyxoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)一、方向?qū)?shù)的概念一、方向?qū)?shù)的概念第47頁(yè)/共81頁(yè)xoyx0 x0+xx0+xyx0y = f (x)xxfxxf

19、xfx)()(lim)(0000表示在 x0處沿 x 軸正方向的變化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在 x0處沿 x 軸負(fù)方向的變化率.第48頁(yè)/共81頁(yè)又比如, z = f (x, y), 偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000分別表示函數(shù)在點(diǎn) (x0, y0)沿 x 軸方向,沿 y 軸方向的變化率.第49頁(yè)/共81頁(yè)如圖xoyzx0(x0, y0)y),(),(0000yxfyyxfzy),(0yxfz ),(00yyx第50頁(yè)/共81頁(yè)yyxfyyxfyzyyy),(),(

20、limlim,000000特別表示在 (x0, y0)處沿 y 軸正方向的變化率.表示在 (x0, y0)處沿 y 軸負(fù)方向的變化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而第51頁(yè)/共81頁(yè)但在許多實(shí)際問(wèn)題中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的變化率.比如, 設(shè) f (X)表示某物體內(nèi)部點(diǎn) X 處的溫度. 那么, 這個(gè)物體的熱傳導(dǎo)就依賴(lài)于溫度沿各方向下降的速度.因此有必要引進(jìn) f (X)在 X0 沿一給定方向的方向?qū)?shù).第52頁(yè)/共81頁(yè)把偏導(dǎo)數(shù)概念略加推廣即可得到方向?qū)?shù)的概念.yxzoz = f (x, y)X0M0即 f x (x0, y0) 表示

21、y = y0 與 z = f (x, y)的交線(xiàn)在 M0處的切線(xiàn)對(duì) x 的斜率.T11 : z = f (x, y0)1y0第53頁(yè)/共81頁(yè)yxzoz = f (x, y)M0X022 : z = f (x0 , y)即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 與 z = f (x, y)的交線(xiàn)在 M0處的切線(xiàn)對(duì) y 的斜率.x0T2第54頁(yè)/共81頁(yè)如圖xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN第55頁(yè)/共81頁(yè)設(shè) z = f (X) = f (x, y)在點(diǎn) X0 = (x0, y0)的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.以 X0 為端點(diǎn)引射線(xiàn) l , 其單位方

22、向向量為 e = (cos, cos), 設(shè)X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一點(diǎn). xoyzM0lX0=(x0, y0)X = (x0+x, y0+y)MN定義第56頁(yè)/共81頁(yè)若當(dāng) X 沿 l 趨于 X0 時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量與線(xiàn)段X0X的長(zhǎng) | X0X |的比值.|)()(00的極限存在XXXfXfX = (x0+x, y0+y)xoyzM0lX0=(x0, y0)MN則稱(chēng)它為 z = f (X) = f (x, y)在點(diǎn) X0 = (x0, y0)沿 l 的方向?qū)?shù).第57頁(yè)/共81頁(yè).),( ,)( 000lyxflXf記作.),( ,)( 000eyxfeXf或xoyz

23、M0lX0=(x0, y0)MNX = (x0+x, y0+y)lyxf),( 00即.22yx其中|)()(lim000XXXfXfXX沿l,),(),(lim2200000yxyxfyyxxf沿l第58頁(yè)/共81頁(yè)1.定義中要求點(diǎn) X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趨向于X0 . |)()(00XXXfXf的分母大于0.如圖另外比值xoyX0=(x0, y0)lX = (x0+x, y0+y)yx注第59頁(yè)/共81頁(yè)2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)處偏導(dǎo)存在.則在 X0 處沿 x 軸正向的方向?qū)?shù),),0, 0,(xy此時(shí)lyxf),

24、(0022000000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx第60頁(yè)/共81頁(yè)在 X0 處沿 x 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù),),0, 0,(xy此時(shí)lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf|),(),(lim00000|xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同樣可得沿 y 軸正向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0), 而沿 y 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0).第61頁(yè)/共81頁(yè)3.定義中的極限表示式可用另一

25、形式給出.由于l的單位方向向量為e = (cos, cos ), 從而 l 的參數(shù)式方程為x = x0 + t c o sy = y0 + tcos t 0或 (x, y) = (x0, y0) + t (cos , cos ), 而 X X0 就是 t 0+.tteXXXX | | |00且即 X = X0+ te第62頁(yè)/共81頁(yè)從而lXf)(0tXfteXft)()(lim00這正是教材中給出的定義式.|)()(lim000XXXfXfXX沿 l第63頁(yè)/共81頁(yè)若 z = f (X) = f (x, y) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0) 可微, 則 z = f (X) 在 X0沿任一

26、方向e = (cos, cos)的方向?qū)?shù)存在. e為單位向量.且cos)(cos)()(000yXfxXfeXf)cos,(cos)(,)(00 yXfxXf= Jf (X0) e. (最后兩式為數(shù)量積) 二、方向?qū)?shù)的計(jì)算二、方向?qū)?shù)的計(jì)算定理4第64頁(yè)/共81頁(yè)證: 如圖xoyX0 = (x0, y0) eyxlX0 = (x0+x, y0+y)在射線(xiàn) l 上取點(diǎn)X = (x0+x, y0+y) 其中, X =(x, y)因向量X = X X0 = X0 X / e , 故 X = te , (t 0), X = X0 +te , | X0 X | = | X | = t= X0 + X

27、第65頁(yè)/共81頁(yè)由方向?qū)?shù)定義|)()(lim)(0000XXXfXfeXfXXtXfteXft)()(lim000看 f (X0 + te) f (X0).沿 l第66頁(yè)/共81頁(yè)因 f (X)在X0可微,知 z = f (X0 + X ) f (X0)= f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0)(022yxybxa由定理1|)(|0)()(00XyyXfxxXf= Jf (X0) X + 0(| X |)第67頁(yè)/共81頁(yè)上式對(duì)任何x, y 都成立. 特別, 當(dāng) X = X0 + X 在射線(xiàn) l 上時(shí), 當(dāng)然成立.即, 當(dāng) X0 + X = X0 + te 時(shí), 有

28、f (X0 + te ) f (X0)= Jf (X0) ( te ) + 0(| te |)= t (Jf (X0) e + 0 ( t )除以 t 0, 并令 t 0+, 有 即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |)第68頁(yè)/共81頁(yè)eXf)(0tXfteXft)()(lim000tteXJft)(0)(lim00= Jf (X0) e cos)(cos)(00yXfxXf第69頁(yè)/共81頁(yè)即, 若 u = f (x, y, z) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0 , z0) 可微, 則 u 在該點(diǎn)處沿任何方向e = (cos, cos

29、, cos )的方向?qū)?shù)存在eXf)( 0= Jf (X0) e cos)(cos)(cos)(000zXfyXfxXf且公式可推廣到三元函數(shù)中去.第70頁(yè)/共81頁(yè)例例5.求 u = xyz 在點(diǎn) X0 = (1, 1, 1)處沿從該點(diǎn)到點(diǎn) X1 = (1, 2, 2)方向的方向?qū)?shù).解:(1)先求出這個(gè)方向上的單位向量 e .向量 X0X1 = (0, 1, 1)從而與 X0X1 同向單位向量|e1010XXXX22 ,22 , 0第71頁(yè)/共81頁(yè)(2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 處偏導(dǎo)數(shù).,yzxu,xzyu.xyzu(3)由公式得方向?qū)?shù)1)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(zuyuxu從而22 ,22 , 0) 1 , 1 , 1 () 1 , 1 , 1 (ef